基于分?jǐn)?shù)階阻抗模型的磷酸鐵鋰電池荷電狀態(tài)估計(jì)

孫國(guó)強(qiáng), 任佳琦， 成樂祥， 朱 瑛， 衛(wèi)志農(nóng)， 臧海祥

(1. 河海大學(xué)能源與電氣學(xué)院， 江蘇省南京市 210098； 2. 國(guó)網(wǎng)南京供電公司, 江蘇省南京市 210019)

0 引言

為改善生態(tài)環(huán)境和應(yīng)對(duì)化石能源利用危機(jī)，以電能為核心和可再生能源開發(fā)利用為基礎(chǔ)的能源變革正蓬勃興起。電儲(chǔ)能系統(tǒng)作為關(guān)鍵裝備，具有響應(yīng)迅速、安裝便捷的特點(diǎn)，在電動(dòng)汽車、抑制新能源發(fā)電出力波動(dòng)和電網(wǎng)輔助服務(wù)等方面發(fā)揮了重要作用[1-6]。其中，鋰離子電池(以下簡(jiǎn)稱鋰電池)因其能量密度高、安全可靠等特點(diǎn)已被廣泛應(yīng)用。2017年，全球新增投運(yùn)的電化學(xué)儲(chǔ)能項(xiàng)目裝機(jī)規(guī)模達(dá)914 MW，其中鋰離子電池占比超過90%。截至2017年底，中國(guó)電化學(xué)儲(chǔ)能累計(jì)裝機(jī)規(guī)模達(dá)389.8 MW，鋰離子電池的累計(jì)裝機(jī)規(guī)模占比最大為51%，且增長(zhǎng)迅速。

荷電狀態(tài)(SOC)估計(jì)是儲(chǔ)能系統(tǒng)安全高效運(yùn)行的重要保障。文獻(xiàn)[7]依據(jù)鋰電池內(nèi)部帶電粒子的傳質(zhì)過程和離子濃度的擴(kuò)散過程并考慮電化學(xué)反應(yīng)中的熱行為建立模型，估計(jì)精度較高。但模型由多個(gè)偏微分方程組成，計(jì)算復(fù)雜。文獻(xiàn)[8-9]計(jì)及鋰電池充放電過程中的遲滯特性，建立二階RC網(wǎng)絡(luò)模型，并采用擴(kuò)展卡爾曼濾波有效減小鋰電池SOC估計(jì)誤差。但該方法將狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣泰勒展開并忽略高階項(xiàng)，可能導(dǎo)致截?cái)嗾`差。文獻(xiàn)[10-11]根據(jù)鋰電池電化學(xué)阻抗譜建立簡(jiǎn)化分?jǐn)?shù)階阻抗模型，同時(shí)為了降低參數(shù)辨識(shí)復(fù)雜度，將描述鋰電池濃差極化的Warburg阻抗簡(jiǎn)化為0.5階，這也在一定程度上限制了模型的準(zhǔn)確性。針對(duì)鋰電池的強(qiáng)非線性工作特點(diǎn)，文獻(xiàn)[12-14]利用無跡變換(unscented transformation,UT)近似計(jì)算狀態(tài)預(yù)測(cè)的后驗(yàn)均值和協(xié)方差，保證濾波精度為二階甚至更高。為了進(jìn)一步減小不確定性噪聲的影響，文獻(xiàn)[15-16]分別提出利用模型輸出殘差更新噪聲協(xié)方差和平方根采樣以提高估計(jì)算法的適應(yīng)性，但上述方法中鋰電池模型的精度不高，存在估計(jì)發(fā)散的可能性。

針對(duì)鋰電池內(nèi)部電化學(xué)反應(yīng)的不確定性和復(fù)雜性，本文建立了一種鋰電池的分?jǐn)?shù)階阻抗模型，該模型利用分?jǐn)?shù)階元件準(zhǔn)確描述鋰電池固液界面(solid electrolyte interphase,SEI)輸運(yùn)現(xiàn)象和極化反應(yīng)，其物理意義更為明確。同時(shí)針對(duì)該鋰電池分?jǐn)?shù)階阻抗模型強(qiáng)非線性的特點(diǎn)，基于分?jǐn)?shù)階阻抗模型的分?jǐn)?shù)階無跡卡爾曼濾波(fractional-order unscented Kalman filter,FUKF)算法估計(jì)鋰電池SOC，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，鋰電池分?jǐn)?shù)階阻抗模型可準(zhǔn)確描述鋰電池工作特性，F(xiàn)UKF算法在SOC估計(jì)精度和跟蹤速度上較無跡卡爾曼濾波(unscented Kalman filter,UKF)和分?jǐn)?shù)階卡爾曼濾波(fractional-order Kalman filter,FKF)有一定的提升，具備工程應(yīng)用價(jià)值。

1 鋰電池分?jǐn)?shù)階阻抗模型

電化學(xué)阻抗譜技術(shù)是對(duì)鋰電池施加不同頻率的小幅值正弦波電流信號(hào)測(cè)其交流阻抗，在不同SOC狀態(tài)下其形狀基本一致。圖1描述了鋰電池不同等效電路模型的阻抗特性曲線，由電化學(xué)阻抗譜理論可知，整數(shù)階等效電路模型中RC網(wǎng)絡(luò)在阻抗譜中為一個(gè)半圓，難以完整和準(zhǔn)確地描述鋰電池電化學(xué)阻抗曲線。因此，有必要引入分?jǐn)?shù)階元件分段擬合電化學(xué)阻抗曲線，以建立精確的電池模型[17-19]。鋰電池電化學(xué)阻抗如圖1所示。

圖1 鋰電池等效電路模型阻抗特性對(duì)比Fig.1 Comparison of impedance characteristics for lithium-ion battery equivalent circuit models

由圖1可知，阻抗特性曲線可分為高頻、中頻、低頻3個(gè)部分。阻抗曲線高頻部分與實(shí)軸相交處表征鋰電池體相阻抗(bulk resistance)，由Rbulk表示；阻抗曲線高頻部分為扁平半圓曲線的一部分，表征鋰電池內(nèi)部離子在SEI的輸運(yùn)現(xiàn)象，由常相位元件CPE1和電阻R1并聯(lián)表示；阻抗曲線中頻部分為扁平半圓曲線的一部分，表征鋰電池內(nèi)部的電荷轉(zhuǎn)移過程(活化極化)，由常相位元件CPE2和電阻R2表示；阻抗曲線低頻部分為直線段，表征鋰電池電化學(xué)反應(yīng)離子的擴(kuò)散現(xiàn)象(濃差極化)，用韋伯阻抗ZW[10]表示。根據(jù)上述分析建立鋰電池等效電路模型，如圖2所示，其中Vo和Vocv為鋰電池端電壓和開路電壓。

圖2 鋰電池分?jǐn)?shù)階阻抗模型Fig.2 Fractional-order impedance model of lithium-ion battery

引入分?jǐn)?shù)階微積分來描述常相位元件，即

(1)

式中:C為系數(shù)且C∈R;r為分?jǐn)?shù)階階次且r∈[-1,1]。當(dāng)r=0時(shí)，分?jǐn)?shù)階元件相當(dāng)于電阻；當(dāng)r=1時(shí)，分?jǐn)?shù)階元件相當(dāng)于電容；當(dāng)r=-1時(shí)，分?jǐn)?shù)階元件相當(dāng)于電感。

鋰電池模型中常相位元件和韋伯阻抗模型為：

(2)

式中：C1，C2，W為系數(shù)且C1，C2，W∈R;α1,α2,β為分?jǐn)?shù)階階次且α1,α2,β∈[0,1]。

為簡(jiǎn)化模型表達(dá)，將Δr作為微積分算子，即

(3)

式中：t0和a分別為積分上、下限；τ為積分變量。

電流電壓參考方向如圖2所示，分?jǐn)?shù)階元件端電壓為V1，V2，VW，由等效電路模型分析可知：

(4)

量測(cè)方程為：

Vo=Vocv-V1-V2-IRbulk

(5)

其中開路電壓Vocv的計(jì)算常以查表方式進(jìn)行。

結(jié)合式(4)和式(5)，選取分?jǐn)?shù)階元件端電壓和SOC為狀態(tài)量，即x=[V1,V2,VW,SSOC]T，可得到鋰電池分?jǐn)?shù)階模型的狀態(tài)轉(zhuǎn)換方程和量測(cè)方程為：

(6)

γ=[α1α2β1]

(7)

(8)

(9)

y=Vo

(10)

(11)

D=[-Rbulk]

(12)

式中：QN為鋰電池容量。

根據(jù)隨機(jī)系統(tǒng)理論將上述方程離散化，并引入Grünwald-Letnikov分?jǐn)?shù)階理論定義[20-21]，即

(13)

(14)

(15)

式中：Ik為k時(shí)刻鋰電池輸出端電流；xk為k時(shí)刻狀態(tài)量；yk為k時(shí)刻鋰電池外部端電壓值；wk-1為k-1時(shí)刻系統(tǒng)過程噪聲;vk為k時(shí)刻量測(cè)噪聲。

2 基于FUKF的SOC估計(jì)

本文提出基于分?jǐn)?shù)階阻抗模型的鋰電池SOC估計(jì)方法，針對(duì)鋰電池高度非線性的工作特點(diǎn)，采用UKF算法估計(jì)鋰電池SOC。該方法引入對(duì)非線性系統(tǒng)采用較高精度的無跡變換[13,22]，實(shí)現(xiàn)狀態(tài)量的快速跟蹤，具體步驟如下。

(16)

(17)

(18)

式中：Pk-1為k-1時(shí)刻誤差協(xié)方差；Q為過程噪聲協(xié)方差；R為量測(cè)噪聲協(xié)方差。

依據(jù)比例修正采樣策略獲得k-1時(shí)刻采樣點(diǎn)集ξi,k-1和權(quán)系數(shù)Wi。

(19)

(20)

ξi,k-1經(jīng)過非線性變換f(·)傳播，則

(21)

(22)

Cov(xk-1,Δγxk|Yk-1)=

(23)

其中,a2=aaT;Yk-1=[y1,y2,…,yk-1]，yk-1為k-1時(shí)刻實(shí)際端電壓值。

(24)

(25)

ξi,k|k-1經(jīng)過量測(cè)方程h(·)非線性傳播后，則

(26)

Cov(yk|Yk-1)≈Py,k|k-1=

(27)

Cov(xk,yk|Yk-1)≈Pxy,k|k-1=

(28)

計(jì)算互協(xié)方差陣Pxy,k|k-1與系統(tǒng)量測(cè)估計(jì)自協(xié)方差Py,k|k-1比值得到卡爾曼增益矩陣Kk，結(jié)合k時(shí)刻的實(shí)際量測(cè)信息yk更新狀態(tài)量和協(xié)方差，完成k時(shí)刻最優(yōu)估計(jì),即

(29)

(30)

(31)

3 實(shí)驗(yàn)與數(shù)據(jù)分析

本文實(shí)驗(yàn)對(duì)象為中聚能源生產(chǎn)的磷酸鐵鋰電池單體，額定容量為20 Ah，電池單體截止電壓上、下限分別為3.68 V和2.5 V。附錄A給出所建立的鋰電池測(cè)試平臺(tái)，主要由LAND鋰電池測(cè)試系統(tǒng)CT2001D、恒溫箱、計(jì)算機(jī)組成，鋰電池測(cè)試系統(tǒng)采樣頻率設(shè)置為1 Hz，實(shí)驗(yàn)環(huán)境溫度設(shè)置為25 ℃。實(shí)驗(yàn)內(nèi)容包括10 A恒流放電實(shí)驗(yàn)和動(dòng)態(tài)壓力測(cè)試工況。另外，實(shí)施了靜態(tài)容量測(cè)試、Vocv-SOC測(cè)試和混合動(dòng)力脈沖特性測(cè)試，用來獲取鋰電池開路電壓Vocv真值和模型參數(shù)。在MATLAB仿真平臺(tái)上對(duì)實(shí)際實(shí)驗(yàn)平臺(tái)記錄數(shù)據(jù)按照時(shí)間順序逐點(diǎn)讀取，驗(yàn)證本文模型準(zhǔn)確性和SOC估計(jì)算法的有效性，SOC參考值由采集數(shù)據(jù)基于安時(shí)積分法獲得，如式(32)所示。

(32)

式中：SSOC,init為鋰電池SOC初始量。

3.1 參數(shù)辨識(shí)

鋰電池電化學(xué)阻抗譜需要電化學(xué)工作站額外完成，其等效電路模型參數(shù)無法實(shí)時(shí)獲得。本文在室溫下對(duì)鋰電池進(jìn)行混合動(dòng)力脈沖特性(hybrid pulse power characteristic,HPPC)測(cè)試，利用最小二乘遺傳算法[23]對(duì)其在不同SOC區(qū)間的電壓響應(yīng)進(jìn)行擬合。最小二乘遺傳算法的基本思想是，將參數(shù)辨識(shí)過程模擬為生物個(gè)體的進(jìn)化過程，利用遺傳操作(復(fù)制、交叉、變異)生成新個(gè)體，通過適應(yīng)度函數(shù)逐步淘汰適應(yīng)值低的解。附錄B給出鋰電池SOC為50%時(shí)的電壓響應(yīng)，其電壓響應(yīng)可分為4個(gè)部分，分別表征鋰電池電化學(xué)反應(yīng)過程中的歐姆極化、SEI輸運(yùn)現(xiàn)象、活化極化和濃差極化現(xiàn)象。

在參數(shù)辨識(shí)過程中需要查表獲知開路電壓Vocv，而鋰電池工作特性受多重因素影響，包括放電深度、負(fù)載情況、環(huán)境溫度等。因此，鋰電池的開路電壓Vocv與SOC呈強(qiáng)非線性[24]。本文選擇恒流充放電間歇法，將鋰電池充滿并靜置2 h，然后對(duì)鋰電池實(shí)施放電脈沖并保持ΔSSOC為10%，循環(huán)至放電截止電壓，靜置2 h后實(shí)施充電脈沖，分別獲取放電和充電過程中SSOC=10i；i=0,1,…,10時(shí)的開路電壓離散序列，取其均值得到Vocv數(shù)據(jù)。為保證Vocv-SOC曲線的單調(diào)性，本文采用分段三次Hermite插值法，對(duì)開路電壓離散序列進(jìn)行插值處理，附錄C給出鋰電池Vocv-SOC關(guān)系曲線。與高次擬合相比，Hermite插值理論具有分段插值特點(diǎn)并保證一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，減小誤差在整個(gè)定義域內(nèi)的影響，避免造成病態(tài)曲線。

3.2 恒流放電實(shí)驗(yàn)

為驗(yàn)證鋰電池分?jǐn)?shù)階阻抗模型的準(zhǔn)確性，本文進(jìn)行恒流放電實(shí)驗(yàn)，放電電流為10 A。同時(shí)在辨識(shí)模型參數(shù)基礎(chǔ)上，選擇本文模型IM1與文獻(xiàn)[10]中分?jǐn)?shù)階阻抗模型IM2和文獻(xiàn)[12]中一階RC網(wǎng)絡(luò)等效電路模型(用1RC表示)對(duì)比，圖3為實(shí)際量測(cè)電壓和模型預(yù)測(cè)端電壓絕對(duì)誤差曲線。

圖3 10 A恒流放電測(cè)試端電壓誤差Fig.3 Estimated terminal voltage error under 10 A constant current test

由圖3可知，本文所用分?jǐn)?shù)階阻抗模型準(zhǔn)確性相比IM2模型和1RC網(wǎng)絡(luò)模型有一定提高，端電壓估計(jì)誤差基本維持在±5 mV誤差帶以內(nèi)，并且能較好地跟蹤實(shí)際量測(cè)值。

一階RC網(wǎng)絡(luò)等效電路模型因其計(jì)算量適中，常與非線性濾波器UKF聯(lián)合進(jìn)行鋰電池SOC估計(jì)。而鋰電池分?jǐn)?shù)階阻抗模型描述其動(dòng)態(tài)特性更為準(zhǔn)確，?；贔KF算法進(jìn)行SOC估計(jì)。因此，本文選取上述兩種方法作為本文的對(duì)比算法具有一定的代表性。為驗(yàn)證算法的跟蹤性能，選取狀態(tài)量SOC初始值與真實(shí)值相差20%，初始估計(jì)方差陣P0選取為單位陣，其估計(jì)值對(duì)比如圖4所示，附錄D給出恒流放電實(shí)驗(yàn)中不同算法SOC估計(jì)絕對(duì)誤差對(duì)比。

圖4 恒流放電實(shí)驗(yàn)中，SOC參考值與FUKF，F(xiàn)KF，UKF算法估計(jì)值對(duì)比Fig.4 Comparison between estimation values of FUKF, FKF and UKF algorithms and SOC reference value under constant current test

由圖4可知，基于分?jǐn)?shù)階阻抗模型的FUKF和FKF算法均能快速跟蹤SOC參考值，而基于一階RC網(wǎng)絡(luò)等效電路模型的UKF算法跟蹤速度較慢。在精度方面，定義為輸出穩(wěn)定后與參考值的最大誤差。采用FUKF算法估計(jì)絕對(duì)誤差最終保持在1%以內(nèi)，較UKF算法(1.5%)和FKF算法(2.5%)有一定提高。

為進(jìn)一步驗(yàn)證FUKF算法的適用性，在恒流放電實(shí)驗(yàn)后對(duì)其進(jìn)行了鋰電池恒流(10 A)充電實(shí)驗(yàn)，附錄E給出恒流充電實(shí)驗(yàn)下SOC估計(jì)結(jié)果對(duì)比，基于分?jǐn)?shù)階阻抗模型的FUKF算法SOC估計(jì)誤差保持在1%以內(nèi)，優(yōu)于UKF算法(1.5%)和FKF算法(2.5%)。

3.3 動(dòng)態(tài)壓力測(cè)試工況

對(duì)磷酸鐵鋰電池采用循環(huán)動(dòng)態(tài)壓力測(cè)試(dynamic stress test,DST)工況，以做進(jìn)一步數(shù)據(jù)分析，DST測(cè)試中系統(tǒng)采集到的端電壓Vo和負(fù)載電流I如附錄F所示。圖5為鋰電池DST測(cè)試數(shù)據(jù)在UKF算法、FKF算法以及本文提出的FUKF算法的作用下的SOC估計(jì)曲線，與安時(shí)積分法獲得的SOC參考值進(jìn)行比較，附錄F給出鋰電池DST測(cè)試中不同算法SOC估計(jì)絕對(duì)誤差對(duì)比。

圖5 動(dòng)態(tài)壓力測(cè)試工況中，SOC參考值與FUKF，F(xiàn)KF，UKF算法估計(jì)值對(duì)比Fig.5 Comparison between estimation values of FUKF, FKF and UKF algorithms and SOC reference value under dynamic stress test

由圖5可知，F(xiàn)KF算法能夠較快地跟蹤鋰電池SOC變化，最大估計(jì)誤差為3.5%；UKF算法估計(jì)誤差為1.5%，能較準(zhǔn)確地估計(jì)鋰電池SOC，但跟蹤速度較慢；FUKF算法通過準(zhǔn)確的分?jǐn)?shù)階阻抗模型和UT的共同作用，誤差維持在1%以內(nèi)，較上述兩種算法有效提高了估計(jì)精度。另外，F(xiàn)UKF算法在預(yù)測(cè)步中包含了歷史狀態(tài)量估計(jì)值和協(xié)方差矩陣的權(quán)值求和分量，在開始階段狀態(tài)量估計(jì)值與真實(shí)值存在較大偏差時(shí)能夠快速靠近真實(shí)狀態(tài)，因而具有更快的跟蹤速度。

4 結(jié)語

本文根據(jù)鋰電池“灰箱化”的工作特點(diǎn)，提出一種基于分?jǐn)?shù)階阻抗模型的鋰電池SOC估計(jì)方法，并建立實(shí)驗(yàn)平臺(tái)實(shí)施了恒流放電實(shí)驗(yàn)和動(dòng)態(tài)壓力測(cè)試工況實(shí)驗(yàn)，所得結(jié)論如下。

1)對(duì)鋰電池電化學(xué)阻抗譜特征的分析可知，相比于傳統(tǒng)整數(shù)階等效電路模型，采用分?jǐn)?shù)階元件描述鋰電池內(nèi)部電化學(xué)反應(yīng)，能夠更為準(zhǔn)確地描述鋰電池工作特性。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，所建模型預(yù)測(cè)端電壓絕對(duì)誤差維持在5 mV以內(nèi)。

2)引入Grünwald-Letnikov分?jǐn)?shù)階理論得到鋰電池分?jǐn)?shù)階阻抗模型的遞推形式，所獲結(jié)果有利于準(zhǔn)確描述鋰電池動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性和工程實(shí)現(xiàn)。

3)考慮鋰電池的非線性工作特性，文中利用UT準(zhǔn)確估計(jì)空間狀態(tài)方程的均值和協(xié)方差。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析表明，基于分?jǐn)?shù)階阻抗模型的FUKF算法能夠快速準(zhǔn)確地估計(jì)鋰電池SOC，其誤差維持在1%以內(nèi)，為鋰電池儲(chǔ)能系統(tǒng)的控制策略選擇提供有效保證。

4)文中著重于鋰電池分?jǐn)?shù)階阻抗模型的建立和鋰電池SOC的估計(jì)過程，簡(jiǎn)化了鋰電池模型參數(shù)辨識(shí)過程，該模型需要離線實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)辨識(shí)參數(shù)，在模型參數(shù)動(dòng)態(tài)更新上有一定局限性。今后的主要工作將主要集中于鋰電池分?jǐn)?shù)階阻抗模型參數(shù)辨識(shí)，并將研究擴(kuò)展到鋰電池健康狀態(tài)(state of health)估計(jì)。

本文得到國(guó)網(wǎng)江蘇省電力有限公司科技項(xiàng)目(J2017071)資助和黃蔓云博士的指導(dǎo)，特此感謝！

附錄見本刊網(wǎng)絡(luò)版(http://www.aeps-info.com/aeps/ch/index.aspx)。