基于攝影測(cè)量獲取巖體結(jié)構(gòu)面參數(shù)的概率分布擬合檢驗(yàn)

王明常，徐則雙，王鳳艷，孟祥羽，丁 慶，張馨月

吉林大學(xué)地球探測(cè)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，長(zhǎng)春 130061

0 引言

巖體是由結(jié)構(gòu)面和巖塊共同組成的系統(tǒng)，大多數(shù)結(jié)構(gòu)面是具有一定方向、尺度與空間分布的不連續(xù)面。結(jié)構(gòu)面的五大基本參數(shù)包括產(chǎn)狀、跡長(zhǎng)、形態(tài)、間距、張開(kāi)度，具有這些參數(shù)的不連續(xù)面隨機(jī)組合形成巖體結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)。結(jié)構(gòu)面參數(shù)中的跡長(zhǎng)反映了結(jié)構(gòu)面規(guī)模，產(chǎn)狀描述了結(jié)構(gòu)面方向，結(jié)構(gòu)面形態(tài)是巖體力學(xué)性質(zhì)和水力學(xué)性質(zhì)研究的基礎(chǔ)，間距反映了巖體完整性，張開(kāi)度用來(lái)描述結(jié)構(gòu)面開(kāi)啟性。結(jié)構(gòu)面幾何參數(shù)是不連續(xù)面三維網(wǎng)絡(luò)模擬以及巖體結(jié)構(gòu)性質(zhì)統(tǒng)計(jì)研究的基礎(chǔ)，一般由野外實(shí)測(cè)而得[1]，測(cè)量方法分為接觸測(cè)量和非接觸測(cè)量。接觸測(cè)量法主要利用皮尺和羅盤(pán)進(jìn)行結(jié)構(gòu)面信息采集[2]，操作簡(jiǎn)單但低效、不安全。非接觸測(cè)量法有三維激光掃描儀法和數(shù)字近景攝影測(cè)量法：三維激光掃描法具有掃描速度快、獲取信息量大、節(jié)約時(shí)間、使用方便等特點(diǎn)，但由于掃描距離和范圍有限、成本較高難以達(dá)到普及化應(yīng)用；數(shù)字近景攝影測(cè)量法具有成本低、容易實(shí)現(xiàn)、勞動(dòng)強(qiáng)度小、拍攝照片可以反復(fù)使用等特點(diǎn)，在工程地質(zhì)作業(yè)中受到廣泛青睞[3-5]。國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者進(jìn)行了數(shù)字近景攝影測(cè)量的相關(guān)研究：Ross-Brown等[6]首次利用攝影測(cè)量像片進(jìn)行了巖體節(jié)理走向和跡長(zhǎng)的解譯；王鳳艷等[7]利用數(shù)字近景攝影測(cè)量技術(shù)結(jié)合基于空間坐標(biāo)的結(jié)構(gòu)面幾何信息解算模型獲取巖體結(jié)構(gòu)面參數(shù)信息；胡運(yùn)海[8]基于數(shù)字近景攝影測(cè)量技術(shù)對(duì)北川縣擂鼓鎮(zhèn)鳳凰山進(jìn)行了滑坡動(dòng)態(tài)監(jiān)測(cè)；高昭良[9]建立了基于數(shù)字?jǐn)z影測(cè)量的滑坡監(jiān)測(cè)系統(tǒng)，對(duì)滑坡體進(jìn)行有效監(jiān)測(cè)。

近些年來(lái)，大量研究發(fā)現(xiàn)巖體結(jié)構(gòu)面具有統(tǒng)計(jì)相似性特征，因而開(kāi)展結(jié)構(gòu)面的間距、規(guī)模、張開(kāi)度、產(chǎn)狀等幾何參數(shù)概率分布的研究?；跀z影測(cè)量方法獲取巖體結(jié)構(gòu)面參數(shù)并研究分布規(guī)律，可求出巖體結(jié)構(gòu)面參數(shù)理論分布，從而建立巖體結(jié)構(gòu)面參數(shù)概率模型，但如何找到合適的概型是比較困難的；采用統(tǒng)計(jì)推斷和隨機(jī)數(shù)學(xué)的方法可以有效解決這個(gè)問(wèn)題[10]。隨機(jī)變量的概率統(tǒng)計(jì)一般有如下分布類型：正態(tài)、對(duì)數(shù)正態(tài)、伽馬、負(fù)指數(shù)、泊松、均勻或威爾分布等，參數(shù)一般是未知的。常用的假設(shè)檢驗(yàn)方法有A-D檢驗(yàn)法、χ2法、K-S檢驗(yàn)法、K檢驗(yàn)法、W檢驗(yàn)法、C-M檢驗(yàn)法、D檢驗(yàn)法等；其中K-S檢驗(yàn)法具有很強(qiáng)通用性[11-12]，國(guó)內(nèi)外諸多學(xué)者基于K-S檢驗(yàn)法進(jìn)行了大量相關(guān)研究；Massey L. H.[13]進(jìn)行了K-S檢驗(yàn)法的最優(yōu)擬合研究：Lilliefors H.[14]在均值和方差未知的情況下進(jìn)行正態(tài)分布的K-S假設(shè)檢驗(yàn)；李勇等[15]基于非參數(shù)試驗(yàn)對(duì)松塔壩址構(gòu)造域邊界進(jìn)行識(shí)別；陳劍平[16]基于K-S假設(shè)檢驗(yàn)原理對(duì)三峽壩址永久船閘人工巖石高邊坡的不連續(xù)面觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行了假設(shè)檢驗(yàn)；馬建全等[17]采用K-S檢驗(yàn)法對(duì)四川省雅安經(jīng)石棉至瀘沽高速公路進(jìn)行假設(shè)驗(yàn)證，確定變量的分布類型。

本文基于數(shù)字近景攝影測(cè)量理論，以VirtuoZo數(shù)字?jǐn)z影測(cè)量站為平臺(tái)提取結(jié)構(gòu)面特征點(diǎn)的三維坐標(biāo)，利用Matlab程序?qū)崿F(xiàn)巖體結(jié)構(gòu)面跡長(zhǎng)、產(chǎn)狀、間距等信息的快速獲取，并基于K-S檢驗(yàn)原理對(duì)獲取的巖體幾何參數(shù)編程實(shí)現(xiàn)概率分布檢驗(yàn)，分析參數(shù)所服從的分布規(guī)律，尋找最優(yōu)擬合概型，以期為跡長(zhǎng)模型估計(jì)、連通率計(jì)算、巖石質(zhì)量指標(biāo)計(jì)算及巖體穩(wěn)定性評(píng)價(jià)提供基礎(chǔ)。

1 方法

1.1 常用概率分布函數(shù)

根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)原理，將樣本觀測(cè)值分成若干區(qū)間，制作頻率直方圖。由頻率直方圖可以觀察觀測(cè)值分布特征，但頻率直方圖缺少數(shù)學(xué)描述，于是給出常見(jiàn)的概率分布函數(shù)(表1)。但哪個(gè)函數(shù)可以準(zhǔn)確地描述觀測(cè)值概率分布特征，直覺(jué)上較難判斷，需要進(jìn)行觀測(cè)值的假設(shè)檢驗(yàn)。概率密度函數(shù)是假設(shè)檢驗(yàn)的前提，常用的概率密度函數(shù)有正態(tài)分布、對(duì)數(shù)正態(tài)分布、伽馬分布、瑞利分布、指數(shù)分布、均勻分布、泊松分布等(表1)。

1.2 K-S檢驗(yàn)法

在工程地質(zhì)問(wèn)題研究過(guò)程中，先估計(jì)結(jié)構(gòu)面幾何參數(shù)服從的分布，再進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。檢驗(yàn)法以χ2檢驗(yàn)和K-S檢驗(yàn)最為常用，但由于χ2檢驗(yàn)受分組影響以及樣本數(shù)量限制，K-S檢驗(yàn)結(jié)果更為精確。當(dāng)樣本容量n很大時(shí)，K-S檢驗(yàn)通過(guò)對(duì)樣本每個(gè)點(diǎn)進(jìn)行檢驗(yàn)，得到樣本所服從分布的直觀判斷。

假設(shè)H0:F(x)=F0(x)，其中，F(xiàn)0(x)是完全已知的連續(xù)型分布?？紤]一個(gè)樣本具有n個(gè)觀測(cè)值，首先將樣本數(shù)據(jù)按照從小到大的順序進(jìn)行排序，這些數(shù)據(jù)可以構(gòu)造一個(gè)階梯狀的累積頻率函數(shù)：

(1)

式中：x1,x2, …,xn為排序后的樣本數(shù)據(jù)值；1≤k≤n。

圖1表明了Sn(x)與F(x)的關(guān)系。

圖1 累積頻率及其理論分布Fig.1 Distribution of the cumulative frequency and its theoretical

表1 常用概率密度函數(shù)及概率分布函數(shù)

注：具體參數(shù)意義見(jiàn)文獻(xiàn)[18]。

K-S檢驗(yàn)中，Sn(x)和F(x)在整個(gè)區(qū)間范圍內(nèi)的最大差值就是理論模型和觀測(cè)數(shù)據(jù)之間差值的度量，即假設(shè)檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量，表示為

Dn=max|F(x)-Sn(x)|。

(2)

理論上，Dn的分布取決于n的大小。

(3)

PlimDn=

(4)

因此，當(dāng)n足夠大時(shí)可用累積頻率函數(shù)來(lái)代替理論概率分布函數(shù)[19-21]。

1.3 最優(yōu)擬合度

當(dāng)結(jié)構(gòu)面參數(shù)的K-S檢驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)服從多種概率分布情況時(shí)，需進(jìn)一步判別最優(yōu)概率分布。引入擬合度φ比較各種概率分布與實(shí)際情況的接近程度。擬合度是對(duì)預(yù)測(cè)概率模型進(jìn)行檢驗(yàn)并對(duì)預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)際發(fā)生情況的接近程度進(jìn)行描述的參數(shù)：

(5)

φ越大，則概率分布模型擬合度越優(yōu)[22]。

2 工程實(shí)例

2.1 研究區(qū)概況

研究區(qū)域位于長(zhǎng)春市東南部的凈月開(kāi)發(fā)區(qū)東升村，地理坐標(biāo)為125°30′ E、43°48′ N。研究區(qū)內(nèi)存在大量廢棄的采石場(chǎng)，邊坡開(kāi)發(fā)嚴(yán)重、出露面積較大，需要進(jìn)行大量巖體隨機(jī)結(jié)構(gòu)面調(diào)查，為邊坡穩(wěn)定性評(píng)價(jià)提供數(shù)據(jù)。選擇其中一個(gè)出露完整的邊坡為實(shí)驗(yàn)對(duì)象(圖2)，該邊坡長(zhǎng)約50 m，高約30 m，走向240°，傾角80°。由于邊坡底部有大量積水，地勢(shì)險(xiǎn)峻，很難進(jìn)行野外人工接觸作業(yè)；選用近景攝影測(cè)量方法可以有效解決野外作業(yè)環(huán)境險(xiǎn)峻、人工測(cè)量難以靠近等問(wèn)題。

2.2 數(shù)據(jù)獲取

研究數(shù)據(jù)是基于數(shù)字近景攝影測(cè)量技術(shù)獲取的，分為野外數(shù)據(jù)和室內(nèi)數(shù)據(jù)。野外數(shù)據(jù)采集主要包括攝影測(cè)量時(shí)所進(jìn)行的研究區(qū)地面控制測(cè)量和建立立體模型的邊坡控制點(diǎn)測(cè)量；室內(nèi)數(shù)據(jù)處理包括立體模型的建立以及結(jié)構(gòu)面信息的提取。

2.2.1 野外數(shù)據(jù)采集

1)控制測(cè)量

整體控制測(cè)量：研究區(qū)地形起伏較大，山體由于采石被分割成幾個(gè)分散陡峭的邊坡。根據(jù)地形特點(diǎn)，分別采用導(dǎo)線測(cè)量和三角高程測(cè)量進(jìn)行邊坡平面和高程控制，經(jīng)平差計(jì)算得到研究區(qū)整體控制測(cè)量成果。

圖2 研究區(qū)影像圖Fig.2 Image maps of the research area

邊坡控制測(cè)量：由于研究區(qū)內(nèi)的邊坡底部有大量的積水，邊坡面陡峭，不易靠近，采用免棱鏡全站儀空間極坐標(biāo)測(cè)量法進(jìn)行邊坡控制測(cè)量。野外需要盡可能多地采集易辨識(shí)控制點(diǎn)以便內(nèi)業(yè)處理時(shí)選用，實(shí)際作業(yè)時(shí)每個(gè)坡面上至少選擇11個(gè)控制點(diǎn)以保證邊坡三維模型的精度。

2)邊坡影像獲取

采用非量測(cè)相機(jī)進(jìn)行邊坡攝影，實(shí)驗(yàn)使用相機(jī)型號(hào)為佳能EOS 5D Mark II。利用室內(nèi)三維控制架進(jìn)行相機(jī)標(biāo)定，獲取相機(jī)內(nèi)方位元素及鏡頭畸變系數(shù)；攝影距離根據(jù)地形情況確定，攝影基線與邊坡走向一致，采用近似正直攝影方式獲取邊坡立體像對(duì)，最后結(jié)合相機(jī)標(biāo)定參數(shù)校正邊坡影像。

2.2.2 室內(nèi)數(shù)據(jù)處理

基于外業(yè)的控制測(cè)量成果和校正的邊坡立體像對(duì)，利用VirtuoZo工作站進(jìn)行邊坡三維模型建立，包括測(cè)區(qū)建立、相對(duì)定向、絕對(duì)定向和非水平核線影像生成等環(huán)節(jié)。所建模型點(diǎn)位測(cè)量精度為±0.05 m。基于立體模型，利用VirtuoZo中的IGS(integrated graphic system)模塊采集結(jié)構(gòu)面特征點(diǎn)坐標(biāo)信息并標(biāo)記屬性，再結(jié)合結(jié)構(gòu)面參數(shù)解算模型獲取邊坡全景露頭大量結(jié)構(gòu)面的跡長(zhǎng)、產(chǎn)狀、間距等參數(shù)。

2.3 結(jié)構(gòu)面參數(shù)K-S檢驗(yàn)

根據(jù)文獻(xiàn)[22]，選取正態(tài)、對(duì)數(shù)正態(tài)、指數(shù)、伽馬、均勻、瑞利、泊松7種分布函數(shù)，采用Matlab編制K-S檢驗(yàn)程序?qū)PSS軟件中未有的分布類型進(jìn)行補(bǔ)充并對(duì)獲取的結(jié)構(gòu)面跡長(zhǎng)、產(chǎn)狀、間距等結(jié)構(gòu)面參數(shù)進(jìn)行K-S檢驗(yàn)。

2.3.1 結(jié)構(gòu)面跡長(zhǎng)檢驗(yàn)

以研究區(qū)內(nèi)坡2為例，基于近景攝影測(cè)量方法獲取坡2結(jié)構(gòu)面幾何參數(shù)，并將跡線投影至工程坐標(biāo)系所定義的3個(gè)相互垂直投影面上，得到683條跡線的二維分布情況(圖3)。

對(duì)683條二維跡長(zhǎng)進(jìn)行K-S檢驗(yàn)，結(jié)果如圖4和表2所示。由圖4可見(jiàn)，二維跡長(zhǎng)服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布。由表2可見(jiàn)，P≈Sig，并且，由Ksstat和Z分別計(jì)算Dn，得到近似相等的值；可知程序運(yùn)行結(jié)果與SPSS軟件驗(yàn)證結(jié)果一致。

a. xoy面；b. xoz面；c. yoz面。圖3 結(jié)構(gòu)面跡線二維分布Fig.3 Two-dimensional distribution map of structural plane trace

a. xoy面；b. xoz面；c. yoz面。圖4 二維跡長(zhǎng)K-S檢驗(yàn)結(jié)果擬合曲線Fig.4 Fitting curve of two-dimensional trace length by K-S test

表2 跡長(zhǎng)K-S檢驗(yàn)與SPPS檢驗(yàn)結(jié)果

由于跡長(zhǎng)分布存在較嚴(yán)重的拖尾情況，將跡長(zhǎng)大于10的部分去除后進(jìn)行K-S檢驗(yàn)，此時(shí)三維跡長(zhǎng)服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布規(guī)律(圖5，表2)。

2.3.2 結(jié)構(gòu)面產(chǎn)狀檢驗(yàn)

基于目標(biāo)函數(shù)法將產(chǎn)狀進(jìn)行優(yōu)勢(shì)分組，共分成5組，對(duì)每一組進(jìn)行檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)產(chǎn)狀服從正態(tài)分布、伽馬分布、瑞利分布以及泊松分布(表3，圖6)。由最優(yōu)擬合度計(jì)算可知產(chǎn)狀趨于服從伽馬分布規(guī)律。同時(shí)，第五組傾角不服從任何一種分布。

2.3.3 結(jié)構(gòu)面間距檢驗(yàn)

檢驗(yàn)xoy、xoz面間距，可知其服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布(圖7a、b，表4)。將yoz面間距數(shù)據(jù)進(jìn)行去除極大值和極小值處理(去除間距對(duì)數(shù)值大于1和小于負(fù)1.5的值)，處理后的yoz面間距服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布(圖7c，表4)。

圖5 三維跡長(zhǎng)的K-S檢驗(yàn)結(jié)果擬合曲線Fig.5 Fitting graph of three-dimensional trace length by K-S test results

表3 巖體結(jié)構(gòu)面產(chǎn)狀的K-S檢驗(yàn)結(jié)果

a. xoy面間距；b.xoz面間距；c.yoz面間距。圖7 面間距K-S檢驗(yàn)結(jié)果擬合曲線Fig.7 Fitting curve of discontinuities spacing by K-S test

表4 巖體結(jié)構(gòu)面間距的K-S檢驗(yàn)結(jié)果

3 結(jié)論

1)基于數(shù)字近景攝影測(cè)量原理，利用數(shù)字?jǐn)z影測(cè)量工作站VirtuoZo，可建立研究區(qū)邊坡的高精度立體模型，模型點(diǎn)位測(cè)量精度為±0.05 m，結(jié)合基于空間坐標(biāo)的結(jié)構(gòu)面參數(shù)解算模型，獲取了邊坡全景露頭大量隨機(jī)結(jié)構(gòu)面的參數(shù)。

2)經(jīng)K-S檢驗(yàn)知：結(jié)構(gòu)面二維跡長(zhǎng)服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布；去除極大值后的三維跡長(zhǎng)亦服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布；分組后的產(chǎn)狀服從正態(tài)分布、伽馬分布、瑞利分布、泊松分布4種分布，由最優(yōu)擬合度計(jì)算可知產(chǎn)狀趨向于服從伽馬分布規(guī)律；二維xoy，xoz面間距服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，經(jīng)極大值和極小值去除后的yoz面間距亦服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布。

3)基于Matlab編程實(shí)現(xiàn)了巖體結(jié)構(gòu)面參數(shù)的K-S檢驗(yàn)，程序可實(shí)現(xiàn)正態(tài)、對(duì)數(shù)正態(tài)、指數(shù)、伽馬、瑞利、均勻、泊松多種分布函數(shù)的檢驗(yàn)，補(bǔ)充了SPSS軟件中不具備的對(duì)數(shù)正態(tài)、伽馬、瑞利3種分布函數(shù)；同時(shí)用SPSS軟件中具有的指數(shù)、均勻、泊松、正態(tài)分布函數(shù)驗(yàn)證了程序正確性。該程序還可以進(jìn)行其他任一變量的概率分布檢驗(yàn)。

4)對(duì)于研究中出現(xiàn)的某結(jié)構(gòu)面參數(shù)不服從任何一種分布的情況，需要進(jìn)一步研究。