基于響應(yīng)面法的鋼-砼混合梁懸索橋有限元模型修正

石帥 李永紅

（1 中南林業(yè)科技大學(xué)土木工程學(xué)院，湖南 長沙 410004；2 中南林業(yè)科技大學(xué)工程流變學(xué)湖南省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南 長沙 410004）

1 引言

有限元模型修正技術(shù)是基于靜動載試驗(yàn)結(jié)果，修改初始有限元模型的物理及幾何尺寸等參數(shù)，使得優(yōu)化調(diào)整后的有限元模型計算結(jié)果與試驗(yàn)實(shí)測值接近。響應(yīng)面修正方法是一種能夠?qū)?fù)雜的輸入變量與輸出響應(yīng)的關(guān)系建立成某個顯式關(guān)系的方法[1]。

2 有限元模型的建立與荷載試驗(yàn)

某懸索橋主梁為鋼-砼混合梁，兩邊邊跨都是108.85m混凝土箱梁，中跨是280m鋼箱梁，索塔高74.5m，主纜中心線最低標(biāo)高29.3m，主纜垂跨比1/6。作者采用Midas Civil橋梁結(jié)構(gòu)通用有限元分析與設(shè)計軟件進(jìn)行橋梁建模，有限元模型見圖1。

圖1 有限元模型

對橋梁進(jìn)行荷載試驗(yàn)，利用加載車對橋梁進(jìn)行兩次靜載試驗(yàn)，測得工況1與工況2的13個測點(diǎn)D1～D13的豎向位移。進(jìn)行脈動試驗(yàn)，采用高靈敏度的拾振器和放大器測量結(jié)構(gòu)在環(huán)境激勵下的振動，測得前三階結(jié)構(gòu)自振頻率ω1、ω2、ω3。

3 基于響應(yīng)面法的有限元模型修正

3.1 修正參數(shù)選取與顯著性檢驗(yàn)

根據(jù)工程經(jīng)驗(yàn)，初步選定8個修正參數(shù)分為別：混凝土箱梁、鋼箱梁、主纜、吊桿的彈性模量及其質(zhì)量密度，記為E1、E2、E3、E4、ρ1、ρ2、ρ3、ρ4。選用均勻設(shè)計方法進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計，然后調(diào)用有限元模型進(jìn)行計算。通過F檢驗(yàn)法分析各參數(shù)對響應(yīng)的顯著性，其中P值是進(jìn)行檢驗(yàn)決策的一個依據(jù)。在給定顯著水平α=0.05的情況下，若P≤=α0.05，則認(rèn)為模型的這個變量對響應(yīng)的影響顯著；若P＞=α0.05，則不顯著。各參數(shù)P值見圖2。由圖可知，D1、D2、D3、D11、D12、D13混凝土箱梁上的 6個位移測點(diǎn)，混凝土彈性模量E1對其影響顯著，其P值皆小于0.05。D4～ D10鋼箱梁上的7個位移測點(diǎn)，混凝土彈性模量E1、鋼箱梁彈性模量E2及主纜彈性模量E3的影響顯著，P值皆小于0.05。ω1、ω2、ω3三階自振頻率則是鋼箱梁彈性模量E2、主纜彈性模量E3及鋼箱梁的質(zhì)量密度ρ2對其影響顯著，故選用E1、E2、E3修正位移，選用E2、E3、ρ2修正頻率。

圖2 各參數(shù)對響應(yīng)的P值

3.2 響應(yīng)面擬合與驗(yàn)證

響應(yīng)面模型有很多種，常見的有多項(xiàng)式函數(shù)、冪函數(shù)、徑向基函數(shù)等[3]。多項(xiàng)式函數(shù)擬合方法是響應(yīng)面建模使用最廣泛的一種方法。一階、二階完全多項(xiàng)式模型見式（1）與式（2）。

選定修正系數(shù)后，對有限元模型計算結(jié)果進(jìn)行擬合，得到代替有限元模型的響應(yīng)面函數(shù)模型，一階完全多項(xiàng)式響應(yīng)面函數(shù)各參數(shù)的系數(shù)見表1，二階完全多項(xiàng)式響應(yīng)面函數(shù)各參數(shù)的系數(shù)限于篇幅未列出。

表1 一階響應(yīng)面函數(shù)各參數(shù)的系數(shù)

響應(yīng)面的優(yōu)劣將直接影響優(yōu)化的結(jié)果，最終影響有限元模型修正的效果[4]。檢驗(yàn)的指標(biāo)一般有多重判定系數(shù)R2及標(biāo)準(zhǔn)誤差。擬合的各響應(yīng)面函數(shù)的R2值介于0.98685～0.99999之間，R2值都很接近于1，說明擬合效果理想；標(biāo)準(zhǔn)誤差值介于0.00001～0.46709之間，都接近于0，表示函數(shù)的預(yù)測值與真值誤差較小。一、二階響應(yīng)面都能較好的反映結(jié)構(gòu)響應(yīng)與參數(shù)之間的關(guān)系，可以有效地代替有限元模型用以優(yōu)化計算。

3.3 目標(biāo)函數(shù)及優(yōu)化

建立好響應(yīng)面函數(shù)之后，通過響應(yīng)面函數(shù)的計算值與荷載試驗(yàn)實(shí)測值之間的差異來構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)F。作者分別建立了基于一階完全多項(xiàng)式響應(yīng)面目標(biāo)函數(shù)，見式3；基于二階完全多項(xiàng)式響應(yīng)面的目標(biāo)函數(shù)，見式4。

式中D1ai、ω1ai為一階響應(yīng)面計算位移與計算頻率，D2ai、ω2ai為二階響應(yīng)面計算位移與計算頻率。Dti、ωti實(shí)測位移與實(shí)測頻率。構(gòu)造出目標(biāo)函數(shù)，結(jié)構(gòu)有限元模型修正就轉(zhuǎn)化為對優(yōu)化問題minF（X）的求解。

通過遺傳算法、序列二次規(guī)劃法（SQP）分別求優(yōu)化問題的最優(yōu)解，可得目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化結(jié)果，見表2。2個目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過優(yōu)化后的最優(yōu)值都很接近于0，且遺傳算法與序列二次規(guī)劃法計算出的結(jié)果十分接近，說明優(yōu)化效果理想。本文僅選用遺傳算法修正結(jié)果進(jìn)行誤差分析。

表2 目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化結(jié)果

3.4 誤差分析

經(jīng)遺傳算法將參數(shù)優(yōu)化后，用修正后的模型計算各響應(yīng)進(jìn)行誤差分析，見圖3。

誤差=|計算值-實(shí)測值|/實(shí)測值。

圖3 一階、二階響應(yīng)面修正的響應(yīng)誤差

圖4 一階、二階響應(yīng)面修正的響應(yīng)誤差（工況2）

由圖3，初始有限元模型計算出的初始響應(yīng)誤差較大，大部分位移測點(diǎn)誤差大于10%。對于頻率，誤差在5%～8%之間?；谝浑A響應(yīng)面的修正，豎向位移誤差和頻率誤差都小于5%，滿足工程需要。其中D4、D7、D9修正效果最好，皆小于2%。前三階頻率誤差都小于2%?；诙A響應(yīng)面的修正，豎向位移誤差和頻率誤差都小于5%，其中D3、D4、D7修正效果最優(yōu)，都小于1%，部分豎向位移誤差較一階修正的結(jié)果更小。

為了驗(yàn)證修正的效果，將修正后的模型對工況2進(jìn)行模擬，并與實(shí)測數(shù)據(jù)進(jìn)行對比，誤差分析見圖4。由圖可見基于一階、二階響應(yīng)面修正模型后，位移與頻率誤差皆小于5%。綜上，基于一階、二階響應(yīng)面的修正皆符合工程要求。

4 結(jié)語

本文基于荷載試驗(yàn)所得靜力與動力信息，對某鋼-砼混合梁懸索橋進(jìn)行有限元模型修正，得出以下結(jié)論：對于此類橋梁，基于一階響應(yīng)面及二階響應(yīng)面的修正都具有較好的修正效果?；陧憫?yīng)面的有限元模型修正方法修正精度高，求解效率高。