武漢市地鐵網(wǎng)絡復雜特性與魯棒性研究

甘俊杰，聶規(guī)劃，徐 迪

(武漢理工大學經(jīng)濟學院，湖北 武漢 430070)

隨著我國經(jīng)濟的快速發(fā)展，城市人口急速上升，在我國城市化進程腳步加快的背景下，我國大城市道路交通擁堵的現(xiàn)象日益嚴重。為了降低城市路面交通的負荷量，城市地鐵因其污染小、載客量大、安全系數(shù)高等優(yōu)勢，逐漸成為各大城市及國家關注的熱點[1]。從1969年我國第一條地鐵線建成運營，至2016年末，我國累計30個城市建成投運地鐵線路共計134條，其中上海、北京、廣州等一線城市均已建成相當規(guī)模的地鐵網(wǎng)絡。武漢市作為我國中心城市之一，在經(jīng)濟快速發(fā)展的同時，軌道交通同樣發(fā)展迅速。截至2016年12月28日，武漢市已投入運營地鐵線路5條共123座車站，運營規(guī)模直追北上廣等一線城市。

近年來隨著對“復雜網(wǎng)絡”研究的發(fā)展，國際上掀起了一輪利用復雜網(wǎng)絡理論研究現(xiàn)實網(wǎng)絡的熱潮。復雜網(wǎng)絡理論興起于20世紀60年代，其不僅能夠用以研究現(xiàn)實網(wǎng)絡的幾何性質，更能用以研究顯示網(wǎng)絡的形成機制與演化規(guī)律等[2]。武漢市地鐵網(wǎng)作為一種典型的現(xiàn)實網(wǎng)絡，基于復雜網(wǎng)絡理論對其進行特性分析，能夠直觀地反映地鐵網(wǎng)絡的各項結構特征，為武漢市地鐵的規(guī)劃建設提供理論依據(jù)與政策建議。

國內外學者對復雜網(wǎng)絡及地鐵網(wǎng)絡的復雜特性均有了初步的研究。在國外，Watts等[3]為了描述從一個局部有序系統(tǒng)到隨機網(wǎng)絡的轉移過程，提出了小世界網(wǎng)絡模型(WS);Latora等[4]研究了波士頓地鐵網(wǎng)絡的特性，并創(chuàng)造性地提出了網(wǎng)絡構造規(guī)則；Seaton等[5]對比分析了維也納和波士頓地鐵網(wǎng)絡，指出地鐵網(wǎng)絡具有聚類系數(shù)高和路徑長度短的特點，呈現(xiàn)出小世界網(wǎng)絡的特征。在國內，丁益民等[6]對我國北京、上海、廣州等城市的地鐵網(wǎng)絡進行了實證研究，并提出了一種基于社團結構的城市地鐵網(wǎng)絡模型，該模型很好地解釋了我國各城市交通運輸網(wǎng)的網(wǎng)絡特性；張晉等[7]基于復雜網(wǎng)絡理論和平面圖理論，針對北京市地鐵實際網(wǎng)絡及運營關系，分別構建了Space-L和Space-P拓撲結構模型，通過計算模型的統(tǒng)計特征指標，得出北京市地鐵網(wǎng)絡具有小世界性和無標度性；王燚等[8]、慈立坤等[9]利用復雜網(wǎng)絡理論研究了上海等大城市地鐵網(wǎng)絡的結構復雜性和結構脆弱性。

中國城市地鐵建設發(fā)展飛快，武漢市地鐵發(fā)展速度尤為驚人，但目前對我國城市地鐵網(wǎng)絡的研究多集中于北京、上海等大型城市，對于武漢這樣的中心城市尚缺乏研究。因此，本文以武漢市地鐵網(wǎng)絡系統(tǒng)為例進行了實證研究，通過運用復雜網(wǎng)絡理論和方法構建了武漢市地鐵網(wǎng)絡的Space-L和Scape-P網(wǎng)絡拓撲結構模型，分析了武漢市地鐵網(wǎng)絡的復雜特性，并對武漢市地鐵網(wǎng)絡的魯棒性進行了研究。該研究成果可為武漢市地鐵網(wǎng)絡的日常維護及安全運營提供合理的建議。

1 武漢市地鐵網(wǎng)絡及統(tǒng)計參量

網(wǎng)絡圖是用來構建并分析現(xiàn)實網(wǎng)絡的基礎研究方法，一個具體的現(xiàn)實網(wǎng)絡可利用圖論方法抽象為一個由點集V和邊集E組成的一個對，一般表述為圖G=(V,E)。本文通過定義地鐵網(wǎng)的拓撲結構來研究實際的地鐵網(wǎng)絡。將地鐵站點定義為節(jié)點，站點間的相互聯(lián)系定義為連邊，但根據(jù)節(jié)點連接關系的不同表述，建立實際地鐵網(wǎng)絡模型和復雜網(wǎng)絡模型的方法常分為Space-L網(wǎng)絡拓撲結構模型和Space-P網(wǎng)絡拓撲結構模型。在Space-L網(wǎng)絡拓撲結構模型中，點集代表站臺集合，若站臺i和站臺j是相鄰站臺，則節(jié)點i和節(jié)點j之間存在連邊；與之不同的是，在Space-P模型中，若站臺i和站臺j是處于同一地鐵線路中，則節(jié)點i和節(jié)點j之間存在連邊。

圖1給出了兩種不同網(wǎng)絡拓撲結構模型(Space-L網(wǎng)絡拓撲結構模型和Space-P網(wǎng)絡拓撲結構模型)表示的一個簡單的地鐵網(wǎng)絡，分別用數(shù)字1,2,…,9對站點進行編號。該地鐵網(wǎng)絡實際包含兩條地鐵線路，編號1～5的節(jié)點構成線路1，節(jié)點3及節(jié)點6～9構成線路2。圖1(a)中，Space-L網(wǎng)絡拓撲結構模型很好地還原了實際地鐵網(wǎng)絡的地理結構，保留了地鐵網(wǎng)絡的基本網(wǎng)絡特性；圖1(b)中Space-P網(wǎng)絡拓撲結構模型則很好地反映了地鐵網(wǎng)絡的換乘狀況。

圖1 地鐵網(wǎng)絡的拓撲結構模型Fig.1 Topological structure models of metro network

由圖1可見，城市地鐵網(wǎng)絡由一系列節(jié)點與節(jié)點間的連邊組成，因此常引入一些統(tǒng)計變量用以描述地鐵網(wǎng)絡的復雜特性。本文對地鐵網(wǎng)絡的復雜特性描述如下[10]：

(2) 節(jié)點的聚類系數(shù)。節(jié)點的聚類系數(shù)Ci是用來衡量網(wǎng)絡節(jié)點分布的密集程度的物理量，其定義為節(jié)點i的所有鄰接節(jié)點之間實際存在的連邊數(shù)目Ei除以可能的最大連邊數(shù)目，即Ci=2Ei/[ki·(ki-1)]。在交通運輸網(wǎng)絡中，節(jié)點的聚類系數(shù)反映了網(wǎng)絡站點分布的疏密程度。

2 武漢市地鐵網(wǎng)絡的復雜特性分析

本文選取武漢市2017年底地鐵規(guī)劃線路圖(見圖2)進行實證分析。結合武漢市地鐵實際網(wǎng)絡，利用圖論思想構建地鐵網(wǎng)絡的鄰接矩陣，并利用Ucinet 6.2版本軟件分別構建了Space-L網(wǎng)絡拓撲結構模型和Space-P網(wǎng)絡拓撲結構模型，對武漢市地鐵網(wǎng)絡的復雜網(wǎng)絡特性進行分析。統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)：在2017版武漢市規(guī)劃的地鐵網(wǎng)絡中，共有7條地鐵線路148個站點。

圖2 武漢市2017年底地鐵規(guī)劃線路圖(數(shù)據(jù)來源：武漢市地鐵網(wǎng))Fig.2 Metro planning line map of Wuhan City at the end of 2017

2.1 Space-L網(wǎng)絡拓撲結構模型分析

2.1.1 節(jié)點的度與度分布

在Ucinet軟件中沿路徑Network—Centrality—Degree得到網(wǎng)絡節(jié)點的度值，利用Origin進行數(shù)據(jù)處理并作圖，得到Space-L網(wǎng)絡拓撲結構模型中武漢市地鐵網(wǎng)絡節(jié)點的度與度分布，見圖3。

圖3 Space-L網(wǎng)絡拓撲結構模型中武漢市地鐵網(wǎng)絡節(jié)點的度與度分布Fig.3 Node degree and node distribution of Wuhan metro network based on Space-L network topological structure model

由圖3可見，武漢市地鐵網(wǎng)絡節(jié)點度的最大值為6，最小值為1(各線路起始站)，而網(wǎng)絡節(jié)點度的平均值為2.23；節(jié)點度為2的站點占比76.4%，說明武漢市地鐵網(wǎng)絡中大部分站點只與同線路中的兩個相鄰站點具有連接關系。

2.1.2 節(jié)點的聚類系數(shù)

上述分析結果表明大部分節(jié)點的度值為2，說明在武漢市地鐵網(wǎng)絡中大部分節(jié)點只與同線路的2個節(jié)點建立連接，因此在Space-L網(wǎng)絡拓撲結構模型中節(jié)點間表現(xiàn)出很微弱的集聚性。沿路徑Network—Cohesion—Clustering coefficient計算各節(jié)點的聚類系數(shù)C并繪制散點圖，見圖4。

圖4 Space-L網(wǎng)絡拓撲結構模型中武漢市地鐵網(wǎng)絡 節(jié)點的聚類系數(shù)散點圖Fig.4 Scatter plot of the node clustering coefficient of Wuhan metro network based on Space-L network topological structure model

由圖4可見，除17、18、19、20、38、120號節(jié)點具有較小的聚類系數(shù)(C=0.167)外，其余各節(jié)點的聚類系數(shù)均為0，武漢市地鐵網(wǎng)絡節(jié)點的平均聚類系數(shù)為0.007。

2.1.3 節(jié)點間的最短路徑長度

沿操作路徑Cohesion—Distance計算節(jié)點間最短路徑長度L的概率分布和累計概率分布并繪圖,見圖5。

圖5 Space-L網(wǎng)絡拓撲結構模型中的武漢市地鐵網(wǎng)絡 節(jié)點間最短路徑長度的概率分布和累計概率分布Fig.5 Probability distribution and cumulative probability distribution of the shortest path length between the nodes of Wuhan metro network based on Space-L network topological structure model

由圖5可見，武漢市地鐵網(wǎng)絡節(jié)點間最短路徑長度L的概率分布圖形擬合為一個非對稱的單值函數(shù)，各節(jié)點間最短路徑長度的最大值為28，大部分節(jié)點間的最短路徑長度為10，這意味著大部分站點間的可達距離為10站，網(wǎng)絡的平均最短路徑長度為10.617[見圖5(a)]；約50%節(jié)點間的最短路徑長度小于10，約90%節(jié)點間的最短路徑長度小于15[見圖5(b)]，說明在武漢市乘坐地鐵具有很高的出行效率。

2.2 Space-P網(wǎng)絡拓撲結構模型分析

2.2.1 節(jié)點的度與度分布

由于同一線路的節(jié)點彼此相連，因此Space-P網(wǎng)絡拓撲結構模型中的節(jié)點比Space-L網(wǎng)絡拓撲結構模型中的節(jié)點擁有更大的節(jié)點度。本文利用第2.1.1節(jié)中節(jié)點度計算路徑的相同方法分析，得到Space-P網(wǎng)絡拓撲結構模型中節(jié)點度的最大值為55，最小值為11，而網(wǎng)絡節(jié)點度的平均值為25.70。由于節(jié)點度值的差異較大，因此本文采用累積分布函數(shù)研究節(jié)點的度分布，即在雙對數(shù)坐標下對節(jié)點的累計度分布進行圖像擬合，其擬合結果見圖6。

圖6 雙對數(shù)坐標下Space-P網(wǎng)絡拓撲結構模型中 武漢市地鐵網(wǎng)絡節(jié)點的累計度分布Fig.6 Cumulative distribution of node degree of Wuhan metro network based on Space-L network topological structure model in double logarithmic coordinates

由圖6可見，在Space-P網(wǎng)絡拓撲結構模型下的武漢市地鐵網(wǎng)絡具有無標度網(wǎng)絡的特性。分析原因認為：不同地鐵站由于其所處地理位置的不同，一些處于最佳商業(yè)位置的地鐵站點會擁有更大的可能性連接其他節(jié)點，因此導致節(jié)點度的冪率分布。

2.2.2 節(jié)點的集聚系數(shù)

與Space-L網(wǎng)絡拓撲結構模型不同，Space-P網(wǎng)絡拓撲結構模型中的節(jié)點表現(xiàn)出非常高的密集度。圖7為Space-P網(wǎng)絡拓撲結構模型中武漢市地鐵網(wǎng)絡節(jié)點的集聚系數(shù)C。

圖7 Space-P網(wǎng)絡拓撲結構模型中武漢市地鐵 網(wǎng)絡節(jié)點的聚類系數(shù)CFig.7 Clustering coefficient of nodes C of Wuhan metro network based on Space-L network topological structure model

由圖7可見，約72.3%的節(jié)點擁有0.9以上的集聚系數(shù)，而網(wǎng)絡節(jié)點的平均集聚系數(shù)為0.883。分析原因認為：在Space-P網(wǎng)絡拓撲結構模型中由于絕大部分站點只屬于一條線路，這樣的站點只與該線路上的其他節(jié)點相連，因此表現(xiàn)出節(jié)點的集聚系數(shù)接近于1的特性。

2.2.3 節(jié)點間的最短路徑長度

在Space-P網(wǎng)絡拓撲結構模型中，節(jié)點i與節(jié)點j之間的最短路徑長度dij用來表示兩站點間的換乘次數(shù)，即換乘次數(shù)=dij-1。圖8為Space-P網(wǎng)絡拓撲結構模型中武漢市地鐵網(wǎng)絡節(jié)點間最短路徑長度的概率分布。

圖8 Space-P網(wǎng)絡拓撲結構模型中武漢市地鐵網(wǎng)絡 節(jié)點間最短路徑長度的概率分布Fig.8 Probability distribution of the shortest path length between the nodes of Wuhan metro network based on Space-L network topological structure model

由圖8可見，武漢市地鐵網(wǎng)絡各節(jié)點間最短路徑長度的最大值為3，說明從任意一個站點到其他任何站點最多需要換乘2次；網(wǎng)絡中約66%的節(jié)點間的最短路徑長度為2，節(jié)點間的平均最短路徑長度為1.99，表明在武漢市乘坐地鐵一般只需要換乘1次即可，這體現(xiàn)了武漢市地鐵出行的高效性。

3 武漢市地鐵網(wǎng)絡的魯棒性分析

3. 1 地鐵網(wǎng)絡魯棒性的評價指標

式中:G為網(wǎng)絡最大連通子圖節(jié)點比例；N′為遭受破壞后的網(wǎng)絡包含的最大連通分支中的節(jié)點數(shù)；N為全局網(wǎng)絡的節(jié)點數(shù)。

3.2 地鐵網(wǎng)絡隨機故障和蓄意攻擊兩種策略

地鐵網(wǎng)絡遭受的故障可能包括自然環(huán)境災難、機器故障或信號問題等，遭受的攻擊可能包括惡意攻擊和恐怖襲擊。故障具有隨機性，而攻擊則包含很強的目的性，為造成最大的攻擊效果，一般會選擇攻擊網(wǎng)絡中的重要節(jié)點。為了更好地還原實際地鐵網(wǎng)絡的拓撲結構，本文以武漢市地鐵網(wǎng)絡為例，采用Space-L網(wǎng)絡拓撲結構模型對武漢市地鐵網(wǎng)絡在遭受隨機故障和蓄意攻擊后的網(wǎng)絡拓撲結構進行了仿真模擬。在本次仿真模擬過程中，通過MATLAB產(chǎn)生隨機數(shù)的方式模擬站點故障，通過去除最高節(jié)點度值的節(jié)點用以模擬蓄意攻擊，同等度值的節(jié)點同樣通過隨機數(shù)的方式進行選擇性剔除。為了避免仿真模擬結果產(chǎn)生較大的偏差，本次在同等條件下進行5次仿真模擬試驗，并對每次試驗后的網(wǎng)絡最大連通子圖節(jié)點比例Gi取平均值,以得到最后的G值。最后模擬得到武漢市地鐵網(wǎng)絡在遭受隨機故障和蓄意攻擊兩種情況下，模擬節(jié)點3失效后網(wǎng)絡拓撲結構的仿真結果，見圖9。

圖9 武漢市地鐵網(wǎng)絡遭受隨機故障和蓄意攻擊后的 網(wǎng)絡拓撲結構示意圖Fig.9 Schematic diagram of the network topology of Wuhan metro network after random failure and deliberate attack

3.3 節(jié)點失效策略下地鐵網(wǎng)絡連接效率的仿真試驗

依照前述提出的衡量地鐵網(wǎng)絡魯棒性的指標以及相應的仿真模擬策略，本文基于Space-L網(wǎng)絡拓撲結構模型對武漢市地鐵網(wǎng)絡在遭受隨機故障和蓄意攻擊后的連接效率進行了仿真試驗，以檢測地鐵網(wǎng)絡的魯棒性。通過MATLAB仿真模擬并計算得到武漢市地鐵網(wǎng)絡在遭受隨機故障和蓄意攻擊時網(wǎng)絡最大連通子圖節(jié)點比例G(即網(wǎng)絡連接效率)的變化曲線，見圖10。

圖10 節(jié)點失效策略下武漢市地鐵網(wǎng)絡連接效率的 變化曲線Fig.10 Curves of the link efficiency of Wuhan metro network under node failure strategy

由圖10可見，當武漢市地鐵網(wǎng)絡站臺節(jié)點遭受隨機故障時，15個節(jié)點連接失效將導致全局網(wǎng)絡最大連通子圖節(jié)點比例下降到72%，網(wǎng)絡整體失效率為28%，單個節(jié)點失效平均造成全局網(wǎng)絡失效率達1.87%，即表明在武漢市地鐵網(wǎng)絡中，當有10%度數(shù)大的站點遭遇隨機故障而停止運營時，網(wǎng)絡全局效率為無站點故障時的72%。以上仿真模擬試驗數(shù)據(jù)表明：武漢市地鐵網(wǎng)絡具有較好的魯棒性，能夠有效應對可能出現(xiàn)的站點隨機故障問題。這是因為在武漢市地鐵網(wǎng)絡中，度數(shù)為2的節(jié)點占比達76.4%，這意味著在隨機選擇故障節(jié)點時，有極大的概率選中這些度數(shù)為2的節(jié)點，而這些節(jié)點失效對網(wǎng)絡全局效率的影響非常有限。

此外，由圖10還可見，當武漢市地鐵網(wǎng)絡站臺節(jié)點遭受蓄意攻擊時，15個節(jié)點連接失效直接導致全局網(wǎng)絡最大連通子圖節(jié)點比例下降到42%，網(wǎng)絡整體失效率高達58%，單個節(jié)點失效平均造成全局網(wǎng)絡失效率高達3.87%，為隨機故障時的2.07倍，即表明在武漢市地鐵網(wǎng)絡中，當有10%度數(shù)大的站點遭受蓄意攻擊而停止運營時，網(wǎng)絡全局效率僅為無站點遭受攻擊時的42%，此時整個地鐵網(wǎng)絡幾近癱瘓。這是因為當人為蓄意攻擊地鐵站點時，攻擊者往往會選擇攻擊度數(shù)較大的節(jié)點，而這些節(jié)點一般處于地鐵網(wǎng)絡的中心位置，節(jié)點失效會造成多條通過該節(jié)點的線路失效，從而嚴重影響地鐵網(wǎng)絡的連通性。

通過對上述仿真試驗結果分析可知，武漢市地鐵網(wǎng)絡對隨機故障具有較好的魯棒性，但是對可能遭受的蓄意攻擊表現(xiàn)出脆弱性，這是無標度網(wǎng)絡魯棒性的體現(xiàn)。因此，對于地鐵網(wǎng)絡的管理者而言，對地鐵網(wǎng)絡中度數(shù)較大的站點應加強巡視與安檢力度，以最大限度地保證整個地鐵網(wǎng)絡暢通運行，從而提高服務效率。本文列出了武漢市地鐵網(wǎng)絡中節(jié)點度值排名前15位的站點，詳見表1。

由表1可知，歸屬地鐵線路1、2、3、6號線的站點數(shù)均為5個，歸屬地鐵線路4、7號線的站點數(shù)為4個，歸屬地鐵線路8號線的站點數(shù)為3個，說明在武漢市地鐵網(wǎng)絡中，1、2、3、6號線承擔著主要的換乘任務，共計覆蓋的換乘站點數(shù)達到88%，體現(xiàn)出這些站點在地鐵網(wǎng)絡中的重要性。

表1 武漢市地鐵網(wǎng)絡中節(jié)點度值排名前15位的站點

4 結 論

本文對武漢市地鐵網(wǎng)絡進行了實證研究。首先利用復雜網(wǎng)絡理論分別構建了武漢市地鐵網(wǎng)絡的Space-P和Space-L網(wǎng)絡拓撲結構模型，并分別對其進行了復雜網(wǎng)絡特性分析；然后研究了武漢市地鐵網(wǎng)絡的魯棒性，通過制定武漢市地鐵網(wǎng)絡隨機故障和蓄意攻擊兩種策略，基于Space-L網(wǎng)絡拓撲結構模型對武漢市地鐵網(wǎng)絡在遭受隨機故障和蓄意攻擊后的連接效率進行了仿真試驗，以檢測武漢市地鐵網(wǎng)絡的魯棒性。得到的主要結論如下：

(1) 通過對武漢市地鐵網(wǎng)絡的Space-L網(wǎng)絡拓撲結構模型進行復雜網(wǎng)絡特性分析，結果表明：網(wǎng)絡中76.4%的節(jié)點度為2，說明絕大多數(shù)站點只與前后兩個站點相連；網(wǎng)絡的平均最短路徑長度為10.617，說明網(wǎng)絡節(jié)點中地鐵站間的平均可達站臺數(shù)為10，即居民出行平均乘坐地鐵站點數(shù)為10個；90%節(jié)點間最短路徑長度小于15，最大節(jié)點間距離為28，這表明乘坐武漢市地鐵出行的高效性。

(2) 通過對武漢市地鐵網(wǎng)絡的Space-P網(wǎng)絡拓撲結構模型進行復雜網(wǎng)絡特性分析，結果表明：網(wǎng)絡節(jié)點度服從冪率分布，說明武漢市地鐵網(wǎng)絡具有無標度性；網(wǎng)絡節(jié)點間最短路徑長度平均值為2，說明武漢市居民乘坐地鐵出行時，從起點到終點一般只用換乘1次，這再次驗證了武漢市地鐵網(wǎng)絡運行的高效性與設計的科學性。

(3) 對武漢市地鐵網(wǎng)絡中的站點分別采用隨機故障和蓄意攻擊兩種方式使其失效，以仿真試驗檢驗武漢市地鐵網(wǎng)絡的魯棒性。結果表明：武漢市地鐵網(wǎng)絡在遭遇站點隨機故障時，具有很好的魯棒性；而以最大度節(jié)點作為蓄意攻擊目標時，網(wǎng)絡表現(xiàn)出脆弱性，且度值越大的節(jié)點失效造成全局網(wǎng)絡效率下降越快，當較多度值大的節(jié)點實效后，整個網(wǎng)絡將幾近癱瘓。對武漢市地鐵網(wǎng)絡魯棒性進行仿真模擬的實際意義在于：地鐵管理者應加強對節(jié)點度值較高站臺的日常維護與安全檢查，以保障重要節(jié)點的正常運行，防止造成地鐵網(wǎng)絡大面積的癱瘓。