數(shù)形結(jié)合思想在高中三角函數(shù)解題中的應(yīng)用

大慶第一中學(xué) 黑龍江大慶 163000

三角函數(shù)的自變量與其它類型的函數(shù)有著很大的區(qū)別，它以自身為自變量，與三角函數(shù)和圓形、三角形等幾何圖形之間存在很大的聯(lián)系。作為歷屆高考中的數(shù)學(xué)必考知識(shí)點(diǎn)，三角函數(shù)的題型多種多樣，且難度也存在明顯差異。高中生多由于知識(shí)體系缺失、解題方法單一等原因，導(dǎo)致了解題困難、解題效率低等一系列問題的出現(xiàn)。在這種情況下，高中生需要加強(qiáng)對(duì)三角函數(shù)題目的解題訓(xùn)練，并著重培養(yǎng)自身的數(shù)形結(jié)合思想，從而在面對(duì)三角函數(shù)相關(guān)題目時(shí)，能夠做到游刃有余。

1 關(guān)于數(shù)形結(jié)合思想的概述

1.1 數(shù)形結(jié)合思想的基本含義

數(shù)字和圖形是數(shù)學(xué)中兩個(gè)最基本的研究對(duì)象，兩者可以進(jìn)行轉(zhuǎn)化。一般情況下，高中數(shù)學(xué)內(nèi)容多為數(shù)字與圖形兩種類型，數(shù)形結(jié)合是高中階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容。

數(shù)形結(jié)合思想主要有兩種應(yīng)用方式，一種是通過數(shù)字來對(duì)圖形的某些屬性進(jìn)行描述，因?yàn)?，一般情況下題目中所給出的圖形都十分簡單，此時(shí)需要通過具體的數(shù)值觀察圖形中的邊、角、面積等規(guī)律；另一種則是通過簡單明了的圖形對(duì)數(shù)字的屬性和規(guī)律進(jìn)行深入研究[1]。

1.2 數(shù)形結(jié)合思想的實(shí)際用途

高中數(shù)學(xué)相較于初中階段，難度有了明顯的提高，并且，高中數(shù)學(xué)在相關(guān)知識(shí)方面數(shù)字與圖形的結(jié)合程度更高。例如，在集合類型的題目中，我們可以通過數(shù)軸表示已知條件所給出的數(shù)值范圍；在不等式和方程中通?？梢詫⒎匠痰母醋鲀蓚€(gè)函數(shù)圖像的交叉點(diǎn)；在線性規(guī)劃中可以通過圖形判斷函數(shù)的最值問題；在數(shù)列中可以將數(shù)列進(jìn)行排序從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律。除此之外，我們還可以通過數(shù)軸解決絕對(duì)值等一系列問題，另外，在三角函數(shù)中我們還能夠確定其單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間[2]。

1.3 數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用要點(diǎn)

數(shù)形結(jié)合思想有三個(gè)應(yīng)用要點(diǎn)：首先，通過數(shù)形結(jié)合可以十分直觀和形象地表達(dá)出某種信息，在很大程度上可以將抽象符號(hào)形象化；其次，充分利用數(shù)字與圖形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，來尋找不同知識(shí)點(diǎn)之間存在的聯(lián)系，如圖像和函數(shù)、方程和曲線之間存在的聯(lián)系；第三，在很多題目中借助圖像可以使解題過程簡化，降低解題難度，從而節(jié)約答題時(shí)間。

1.4 數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用類型

數(shù)形結(jié)合思想在應(yīng)用過程中主要可以分成三種基本形式：其一，將數(shù)字轉(zhuǎn)化成圖形，如果解題信息較為抽象，那么就可以通過圖像解決，其中主要考慮立體幾何、平面幾何以及解析幾何等知識(shí)點(diǎn)；其二，將圖形賦予數(shù)字。當(dāng)圖形十分復(fù)雜的時(shí)候，我們不能直接通過圖形快速找出具有一定價(jià)值的信息，因此，需要借助數(shù)字進(jìn)行精準(zhǔn)計(jì)算；其三，構(gòu)建數(shù)字和圖像之間的共通性，其能夠?qū)崿F(xiàn)數(shù)字和圖形的相互轉(zhuǎn)換。

2 高中三角函數(shù)解題過程中的現(xiàn)狀及問題

2.1 三角函數(shù)解題過程中的名稱選擇問題

高中的三角函數(shù)主要包括正弦、余弦以及正切三種形式，通常情況下三角函數(shù)的題目會(huì)要求三者進(jìn)行轉(zhuǎn)換，以匹配題目中各元，此時(shí)就需要學(xué)生能夠?qū)φ嘞叶ɡ硎炀毷褂茫瑫r(shí)能夠通過象限簡單判定相應(yīng)問題。

2.2 三角函數(shù)解題過程中的圖形平移法

平移方法可以很好地將三角函數(shù)與圖形相結(jié)合，這對(duì)于值域、象限以及單調(diào)性的判斷有著十分重要的作用。因此學(xué)生在學(xué)習(xí)三角函數(shù)的過程中，要充分把握三角函數(shù)圖形的平移概念，明確三角函數(shù)圖形在平移過程中需要注意的事項(xiàng)以及平移前后其特點(diǎn)的變化。這里需要注意的是，三角函數(shù)圖形的平移僅僅是改變了其位置，并沒有從根本上改變?nèi)呛瘮?shù)的單調(diào)性。由此可以看出，同一種圖形在平移過程中只會(huì)發(fā)生位置的改變而不會(huì)造成其形狀的改變。

3 結(jié)語

本文在明確數(shù)形結(jié)合思想的基本含義、實(shí)際用途、應(yīng)用要點(diǎn)以及類型之后，分析了當(dāng)前大多數(shù)高中生在三角函數(shù)解題過程中出現(xiàn)的一些問題。其中，三角函數(shù)的合理轉(zhuǎn)換和平移方法的靈活應(yīng)用，是數(shù)形結(jié)合思想在高中三角函數(shù)中的具體表現(xiàn)，其可以有效解決三角函數(shù)中的各種問題，促進(jìn)高中生數(shù)學(xué)思維的多元化發(fā)展，進(jìn)而使其形成良好的數(shù)學(xué)解題思維，同時(shí)提高其解題效率。