均值函數(shù)對隨機波動率短期利率模型的影響分析

江 良林鴻熙宋麗平

(1.莆田學院數(shù)學與金融學院,福建莆田351100;2.福建省高校金融數(shù)學重點實驗室(莆田學院),福建莆田351100;3.莆田學院商學院,福建莆田351100)

1 引 言

由于短期利率在衍生品定價和風險管理中是一個非常重要的指標,因此研究短期利率模型在當前金融工程領(lǐng)域中是一項重要的工作,特別是連續(xù)模型.目前,已有一些短期利率模型得到非常好地應(yīng)用和研究[1-6].

上述模型在業(yè)界或?qū)W術(shù)界已被廣泛地應(yīng)用和研究,但比較它們動態(tài)變化仍然是一個問題.原因之一是缺少一般框架下的模型來刻畫短期利率動態(tài)過程.為了解決此問題,Chan等[7]考慮了具有彈性系數(shù)短期利率模型(CEV),使得該模型能夠嵌入更多經(jīng)典的模型.Durham[8]考慮更一般非線性短期利率模型能嵌入更多的短期利率模型,鄭挺國等[9]引入跳的因素研究了隨機波動率CEV模型.這些研究者考慮CEV模型動機是希望找到更好的模型來刻畫短期利率動態(tài)行為.

基于常系數(shù)模型是無法對沖遠期利率衍生品的風險.如Li等[10]得出一般的短期利率模型很難對沖遠期利率衍生品(Cap產(chǎn)品)的風險.Andersen等[11]研究發(fā)現(xiàn)隨機波動率模型雖然能夠很好地擬合數(shù)據(jù),但是也很難對沖收益率風險,他們建議引入其它宏觀狀態(tài)變量,其原因之一是上述模型和遠期利率模型(HJM)是不相容的.為了克服這個困難,Hull等[12]在Chan等[7]模型中引入均值函數(shù),以至于模型能夠相容于HJM模型和短期利率期限結(jié)構(gòu)問題,而且他們也發(fā)現(xiàn)均值函數(shù)對于衍生品價格的影響也是不可忽視的,特別是具有長期期限結(jié)構(gòu)的衍生品價格.Chiarella等[13]通過HJM模型推導更一般的單因子均值函數(shù)短期利率模型,也發(fā)現(xiàn)均值函數(shù)模型能更好地刻畫市場價格風險.Valchev[14]在HJM模型框架下給出了具有均值函數(shù)和跳的隨機波動率高斯模型,他們說明了模型能更好地刻畫波動率期限結(jié)構(gòu)問題.Filipovi′c等[15]基于均值函數(shù)短期利率模型研究了銀行隔夜拆借的風險問題.值得一提的是,Maghsoodi[16]發(fā)現(xiàn)對于均值函數(shù)的單因子CIR模型(ECIR)可以轉(zhuǎn)化為高維常系數(shù)的CIR模型,然而高維的問題不僅在參數(shù)估計上變得困難,而且相應(yīng)的衍生定價也變得更加困難.這就說明了ECIR模型在技術(shù)方面上具有操作的優(yōu)勢.

綜上所述,本文將考慮更一般的短期利率模型來兼容上述的問題.在該模型中引入均值函數(shù)和隨機波動率,保證了短期利率模型和HJM模型相容.在模型中,可通過彈性系數(shù)的約束條件,獲得一系列的短期利率模型,這就保證了本文的模型更具一般化而且也能夠相容于HJM模型和利率期限結(jié)構(gòu)問題.雖然鄭挺國等[9]引入跳的因素來改善擬合結(jié)果,但是該作者也得出隨機波動率因素比跳的因素影響更大,Li[10]也檢驗了在CEV模型中引入跳的因素可能是沒有必要的,他也表明跳的現(xiàn)象可通過增大模型彈性系數(shù)來實現(xiàn),因此本文考慮短期利率樣本路徑具有連續(xù)性的性質(zhì),排除了跳的可能性.

為了給出參數(shù)估計和模型統(tǒng)計檢驗問題,將應(yīng)用極大似然估計方法.由于本文主要目標測試引入均值函數(shù)是否對隨機波動率短期利率模型產(chǎn)生影響,因此首先應(yīng)用核估計方法給出了均值函數(shù)的估計.這里值得一提的是,對于CIR模型,本文也考慮約束條件的核估計方法.由于隨機波動率是隱含狀態(tài)變量,也是不可觀測的,因此極大似然函數(shù)需對該變量積分.然而對于CEV模型,該積分可能沒有顯示的表達式,因此需要一種可行的技術(shù)方法來給出參數(shù)的估計.根據(jù)極大似然估計方法一步向前預(yù)測誤差分解,基于Kalman濾波器可以給出相應(yīng)的似然函數(shù).因此將基于Kalman濾波器通過擬極大似然估計法給出模型的參數(shù)估計,并相應(yīng)地給出統(tǒng)計檢驗.

2 隨機波動率模型

基于Chiarella等[13]和Valchev[14]的研究結(jié)果,在風險中性測度下,考慮短期利率模型滿足下面的隨機微分方程(ECEV-SV)

其中θ(t)和β分別表示短期利率均值函數(shù)和隨機波動率均值,a和α分別表示短期利率和隨機波動率回歸速率,η表示隨機波動率的波動率,h是瞬時波動率,γ是彈性系數(shù).假設(shè)的期望值

在ECEV-SV模型中,對不同約束條件γ可獲的一些相容性模型,其結(jié)果在表1中.根據(jù)Durham[8]的論述,隨機波動率模型更好地刻畫短期利率動態(tài)變化,因此本文不考慮單因子模型.

Fong等[5]研究了FV-SV模型.由于該模型是高斯類型,所以rt可能取值為負的.若波動是常數(shù)時,BS-SV模型退化為Brennan等[17]所論述的模型,他們基于該模型給出可轉(zhuǎn)債的數(shù)值方法.在CIR-SV模型中,雖然保證了短期利率非負,但是債券價格不具有仿射性結(jié)構(gòu)的性質(zhì),導致了參數(shù)估計和衍生品定價只能應(yīng)用數(shù)值方法或者蒙特卡羅方法.鄭挺國等[9]引入跳的因素考慮CIR-SV和CEV-SV模型的擬合效果.Cotton等[18]利用微分算子展開研究了FV-SV和CIR-SV模型的衍生品定價.Andersen等[6]和Ball等[19]分別研究了CEV-SV模型,他們的實證結(jié)果表明了該模型具有更好的擬合效果.值得一提的是,Liu等[20]考慮了ECIR-SV期權(quán)定價問題.

彈性系數(shù)實際上是刻畫了短期利率和隨機波動率之間變化的一種關(guān)系,這種關(guān)系在經(jīng)濟學上是非常清晰的.如考慮短期利率條件分布均值 E[·]和方差 Var(·),即E[drt|rt,ht]=(θ(t)-art)dt,那么可得當γ＜1/2時,若利率增加的百分比相應(yīng)波動率減少2γ倍;若γ＞1/2相應(yīng)地增加2γ倍;而γ=1/2時,其波動率和瞬時利率同倍增加.

3 參數(shù)估計方法

3.1 Kalman濾波器

Kalman濾波器基本思想是在t時刻根據(jù)t-1之前的信息,利用預(yù)測誤差分解求出狀態(tài)變量最優(yōu)的線性估計.關(guān)于Kalman濾波器方法對預(yù)測誤差的的分解是兩步的過程:第一步,在t時刻根據(jù)t-1之前的信息,給出預(yù)測狀態(tài)變量的均值和方差;第二步,根據(jù)t時刻的信息,修正第一步中所求的預(yù)測值.

考慮式(1)和式(2)的離散形式

由于式(3)是一個非高斯過程.根據(jù)Durham[21]的論述,若離散模型是高斯過程將會改善參數(shù)估計結(jié)果,而且Kalman濾波器對線性方程是有效的,而對于非線性模型性能較低[22].因此需對式(3)轉(zhuǎn)化為高斯過程.

根據(jù)Ball等[19]和Jacquier等[23]的論述,式(5)可以由下面高斯過程近似,即

其中zi+1～N(0,π2/2).

由于zi+1是高斯過程,可使用Kalman濾波器估計參數(shù).設(shè)Vi=lnhi,yi=lnx2i,那么均方差最優(yōu)估計(線性投影)為,其中表示線性投影算子,相應(yīng)的均值平方誤差(MSE)為根據(jù)式(4),設(shè)δ=1-αΔt,那么和?i+1|i回歸方程分別為

式(7)和式(8)就是Kalman濾波器預(yù)測方程,但是式(7)中的和式(8)中的?i|i仍然是不知道的.因此,下面將給出修正方程.

式(9)和式(10)稱為Kalman濾波器的修正方程.

然而為了計算式(7)～式(10)的遞歸方程,仍需初始條件.假設(shè)Vi是平穩(wěn)過程,因此E(V0)=β且δE(V0)+αβΔt=β.相應(yīng)的其中假設(shè)V0和ε21是不相關(guān)的.

3.2 基于Kalman濾波器擬極大似然估計

根據(jù)前面的論述及預(yù)測誤差分解,可得對數(shù)似然函數(shù)

其中fi=?i|i-1+π2/2表示方差預(yù)測誤差表示一步向前預(yù)測誤差,Θ=(θ0,θ1,...,θN-1),ω=(a,γ,α,β,η),其統(tǒng)計性質(zhì)可參考文獻[24].

為了簡化對式(11)的估計,根據(jù)Maghsoodi[16]的方法,對式(6)兩邊取無條件期望,那么有

若直接優(yōu)化問題(13)可得θi的最優(yōu)解為θiΔt=Δri+ariΔt,顯然估計值和市場觀察值呈現(xiàn)一樣的震蕩.然而考慮ECIR-SV模型時,上述的最優(yōu)解可能產(chǎn)生負的值,而Feller條件說明了θ(t)一定是非負的,因此需通過技術(shù)性處理,給出光滑解.另一方面,關(guān)于θ(t)是在無限維空間中選取,而插值方法依賴于數(shù)據(jù)的節(jié)點數(shù),是一個有限維問題.因此當零假設(shè)是常數(shù)和備擇假設(shè)是函數(shù)時,其統(tǒng)計量是很難給出的,原因是無法給出精確地給出這兩種假設(shè)之間的關(guān)系.所以有必要考慮一種可行的方法來解決上述問題.

3.3 Nadaraya-Watson核估計方法

本文將選取核估計方法,因為該方法僅僅在每個節(jié)點上加權(quán)平均,而且選取不同的核函數(shù),相應(yīng)的最優(yōu)窗口僅差一個常數(shù)因子[26].

為了估計θ(t)(其離散θi),引入眾所周知Nadaraya-Watson核函數(shù)估計器[26],那么θ(t)近似為

然而對于ECIR-SV模型,為了保證短期利率rt非負,需滿足Feller約束條件,即2θ(t)≥ht.事實上,Cotton等[18]也論述了,如果Feller條件不滿足,那么rt就沒有強解,因此需要應(yīng)用具有約束條件下的核估計方法.

首先,根據(jù)Du等[27]和Hall等[28]的研究,式(14)改寫為一般的形式

根據(jù)Du等[27],定義距離D(p)為

其中pu=(1/N,1/N,...,1/N)T和p分別是N-1維的列向量.現(xiàn)在約束問題可化為求極小問題(16)的權(quán)重p且滿足2θ(t)≥ht.由于lnhi是不可觀測的,將使用相應(yīng)近似.2一個合理的近似可能使用實際波動率.如A?t-Sahalia等[29]的論述,實際波動率為∫考慮到優(yōu)化問題(16)計算量,讓θ(t)＞0作為約束條件,其次再估計其它參數(shù)時,使用約束條件2θ(t)≥ht.一旦求出p代入式(15)可得在約束條件下的θ(t)值.這就完成了對ECIR-SV模型的參數(shù)給出了估計方法.

綜上所述,相應(yīng)的估計算法如下:

步驟1基于核估計方法通過最小化式(13)給出Θ的估計;

步驟2求最大化式(11)給出ω估計;

步驟3重復(fù)步驟1和步驟2直到收斂.

注意在使用算法時,需要回答兩個主要的問題:步驟1和步驟2是否相容;步驟2的漸近性質(zhì).顯然根據(jù)H?rdle等[26]的研究結(jié)果,步驟1估計是相容的.而步驟2的漸進性的性質(zhì)可參考Hamilton[24].結(jié)合Thomas等[30]的研究結(jié)果,可以證明算法是收斂的.

對于ECIR-SV模型,算法步驟1改求式(15)和式(16)優(yōu)化問題給出Θ的估計,其他的步驟類似.關(guān)于式(15)和式(16)相容性問題及漸近性可參考Du等[27]..通過初等運算可得,若滿足Feller條件,則有(θ(t)Δt-(rtΔt+Δrt+artΔt))2≤rtΔt(rtΔt+2Δrt+2artΔt).顯然,不等式右邊有負的值產(chǎn)生,因此本文將不使用實際波動率近似.

雖然H?rdle等[26]已經(jīng)給出了最優(yōu)選擇λ的計算方法.然而對于本文的問題,H?rdle等[26]計算方法可能是不適應(yīng)的,因為根據(jù)式(13)最優(yōu)的窗口不一定是式(11)的最優(yōu)結(jié)果.如極端情況下選擇λ→0,顯然yi→∞,那么式(11)趨近于負的無窮大.因此需要其他的標準來選擇窗口.這里將最大化式(11)作為標準來計算窗口.對于λ的選取用線性搜索的方法給出.

4 實證結(jié)果

為了更好地統(tǒng)計分析,本文將使用3月到期每周交易美國國債(T-Bill)數(shù)據(jù)近似短期利率3由于對于我國國債每周交易頻率的數(shù)據(jù),作者無法獲得,但是,若能夠獲得該數(shù)據(jù)可直接應(yīng)用本文方法也可以給出對于不同模型的參數(shù)估計和相應(yīng)的統(tǒng)計檢驗.Ball等[19]和Andersen等[6]也使用每周交易美國國債數(shù)據(jù)近似短期利率..時間從2000–01–03～2014–12–26,總的數(shù)據(jù)為781(數(shù)據(jù)來源于http://research.stlouisfed.org/).圖1給出了短期利率和相應(yīng)的Δr=ri-ri-1的圖形.

圖1 市場觀察值r和相應(yīng)的Δr值Fig.1 The market observation r and corresponding Δr value

首先,先測試是否對于均值約束條件是必要的.圖2給出不同窗口選取所對應(yīng)的權(quán)重函數(shù)的權(quán)重p的估計值.

圖2 對于不同窗口λ選取所對應(yīng)p的數(shù)值結(jié)果Fig.2 The numerical results p for the different bandwidth λ

觀察圖形可得,顯然存在一些pi?=1/N.這就說明了約束條件是有效的,即不加約束條件下,均值函數(shù)的估計值有負的值.然而對于ECIR-SV模型而言,Feller條件說明了均值函數(shù)一定是非負的.因此考慮約束條件核估計是必要的.另一方面,觀察圖2可得,當λ→0時,pi呈現(xiàn)更大的變化,隱含著θ(t)可能有更多點取到負的值.反之,當窗口足夠大時,θ(t)有更少點是負的值.

由于本文主要分析均值對于隨機波動率的影響,因此模型的參數(shù)估計可分為兩步驟進行估計.第一步,根據(jù)式(13)給出θ(t)和a的估計;第二步,根據(jù)第一步估計的結(jié)果,然后通過式(11)估計其它參數(shù).

表2給出了不同模型參數(shù)估計.從表中數(shù)據(jù)可看出,均值θ/a=0.016 6非常接近樣本均值0.018 3.因此可以說明均值在約束條件是可行的.而在非約束條件下計算獲得,均值θ/a＜0明顯和樣本均值大于零矛盾.若考慮常數(shù)均值時,CEV-SV模型彈性系數(shù)非常接近0.5,也就是CIR-SV模型的彈性系數(shù).事實上,基于Ball等[19]的結(jié)果也發(fā)現(xiàn),他們所得彈性系數(shù)估計值為0.651 0非常接近本文所得估計值為0.635 0,這也足于說明估計方法是正確的.整體上,引入均值函數(shù)其似然值將被改善,從而說明引入均值函數(shù)確實是必要的,而且也發(fā)現(xiàn),當考慮均值函數(shù)時,當0＜γ＜0.5時,ECEV-SV模型的彈性系數(shù)趨近于零,意味著模型和EFV-SV非常接近.

表2 不同模型的參數(shù)估計Table 1 Parameters estimates for the different models

4.1 似然率測試

其中υ是約束條件的個數(shù).

通過式(17)的數(shù)值與相應(yīng)的χ2分布的臨界值比較,可以判斷是否拒絕給定的約束條件假設(shè).

而對于具有時間變量系數(shù)的模型,根據(jù)H?rdle等[26]論述,當窗口h→∞時,θ(t)=const為常數(shù).而當h≠∞時相應(yīng)的估計是一個函數(shù).因此可以給出下面的假設(shè)

雖然θ(t)選取在一個無限維的函數(shù)空間中,但是上面假設(shè)說明了這個選取僅依賴于窗口的兩種狀態(tài),即,h→∞或h≠∞,因此似然率式(17)近似為自由度1的χ2分布.

表3給出不同模型之間的似然率和相應(yīng)的統(tǒng)計檢驗.這里將不給出模型和相應(yīng)延拓模型的似然率,如FV-SV和EFV-SV模型的似然率,因為本文主要是分析CEV模型檢驗,當然從表2中似然函數(shù)值可直接得出,常數(shù)均值模型可能是錯誤的.

表3 不同模型之間似然率LR估計值Table 1 Log-Likelihood ratio between the different models

從表3中的數(shù)據(jù)可得,當考慮常數(shù)均值時,無法區(qū)分CEV-SV模型和CIR-SV模型,但是有理由拒絕FV-SV和EBS-SV模型.這個結(jié)論和表2中的似然函數(shù)值相符.結(jié)合表2中的數(shù)據(jù),事實上CIR–SV和CEV–SV模型彈性系數(shù)幾乎是相同的,因此無法區(qū)分這兩個模型.然而也發(fā)現(xiàn)它們之間還是有一些本質(zhì)上的不同,基于CEV-SV模型,短期利率和隨機波動率具有更少的持續(xù)現(xiàn)象,歸因于高的回歸速率α值.根據(jù)Fouque等[31]論述(見該書的第3章),具有高的回歸速率值的標的物動態(tài)行為表現(xiàn)出更好的隨機性,因此歸咎于該原因,接受了CEV-SV的模型,而不是CIR-SV模型.

當考慮均值函數(shù)時,如果γ≥0.5,此時應(yīng)選擇EFV-SV模型;如果0＜γ＜0.5時,可接受EFVSV和ECEV-SV模型,而拒絕ECIR-SV和EBS-SV模型.事實上,從表2中的數(shù)據(jù)可得,對于ECEV-SV模型的彈性系數(shù)γ=0.076 0值接近零,因此它們的似然函數(shù)值也幾乎相同.

4.2 均值函數(shù)的估計

根據(jù)表2的數(shù)據(jù)結(jié)果,為了簡化說明,設(shè)ESV表示模型中均值為函數(shù),而常數(shù)均值模型記做CSV.定義均方誤差(RMSE)來判斷擬合效果,即

根據(jù)式(13),可知基于ESV和CSV模型所得的RMSE值稍微有點不同.但從表2中可以看出來,引入均值函數(shù)明顯地改變了模型的似然估計及參數(shù)估計值.

圖3和圖4分別給出了殘差和相應(yīng)的密度函數(shù)估計,這里應(yīng)用MATLAB中的Ksdensity函數(shù)估計密度函數(shù).

圖3 殘差估計Fig.3 Residual error estimate

圖4 殘差密度函數(shù)估計Fig.4 Residual density function estimation

從圖3可看出,基于CSV模型所得殘差絕對值幾乎都高于ESV模型,這就表明引入均值函數(shù)確實提高了擬合的精度.觀察圖4,兩個模型的殘差都向右偏移,但是CSV模型偏移更加明顯,同時也發(fā)現(xiàn)基于CSV模型最大殘差值比ESV模型要小,這進一步說明對于CSV模型波動率可能高估了.因此有理由接受均值函數(shù)模型.

圖5和圖6分別表示擬合結(jié)果和相應(yīng)均值函數(shù)θ/a的估計.

圖5 比較估計結(jié)果Fig.5 Comparision of estimation results

圖6 θ/a的估計結(jié)果Fig.6 The estimated results of θ/a

觀察圖5,雖然整體上ESV模型和CSV模型擬合效果沒有明顯的差別,但是在2000年～2002年和2006年～2008年之間,ESV模型比CSV模型擬合效果稍微好一點.因此引入θ(t)還是會改善擬合的效果.觀察圖6,θ(t)是遞減函數(shù),這個性質(zhì)和Balduzzi等[32]結(jié)果是一樣的4對于Balduzzi等[32]模型均值函數(shù)取期望可得dE[θt]=a(b-E[θt])dt,其中a,b分別表示回歸速率和相應(yīng)的均值.顯然當初值θ0≥b時,Eθt是關(guān)于時間遞減的函數(shù).如果θ0＜b時,在Balduzzi等[32]模型中均值就有可能產(chǎn)生負的值.因此初值θ0≥b是均值大于零必要的條件.,因此有理由相信遞減的趨勢是正確的.從經(jīng)濟學角度上看,當時間越長時,短期利率變化不確定性越強,隱含著未來的短期利率波動越大,從而導致投資需要更多的風險補償而不是更高的期望收益.

4.3 波動率估計

根據(jù)前面似然率測試結(jié)果,將考慮CIR-SV1,CEV-SV1,ECEV-SV1和ECEV-SV2模型的隨機波動率估計,相應(yīng)的預(yù)測估計通過式(7)和式(9)遞歸計算.

圖7給出不同模型的波動率預(yù)測估計.從圖形可看出,引入θ(t)將減少了波動率的估計值,歸因于對式(13)估計所得殘差較小.此外,在整體上隨著時間增加波動率估計值也相應(yīng)的增加,導致了短期利率未來的變化越不確定,因此投資者需要更大的風險補償.

結(jié)合圖1中Δr的圖形,ECEV-SV2模型所得波動率更好地描述其增量的變化.觀察圖1中Δr變化可知,在2008年金融危機發(fā)生前后,短期利率增量出現(xiàn)大的變動,從而導致了在相應(yīng)時間點上具有較高的波動率值.然而對于其它模型,高的波動率值發(fā)生在2012年左右.因此從這方面也說明了考慮ESV模型是有必要的.

5 零息債券和債券看漲期權(quán)定價

首先,考慮不同模型的債券價格定價公式,即到期日為T,債券價格P(0,T)為

相應(yīng)債券P(0,T)到期時間為τ年,敲定價格為K的看漲期權(quán)為

雖然對FV-SV模型具有顯示解的表達式,但是為了方便和比較,將使用蒙特卡洛方法對于不同模型估計式(19)和式(20)衍生品價格.為了減少方差偏誤,應(yīng)用對偶技巧方法模擬[34].考慮到文章篇幅問題,省略式(19)和式(20)的蒙特卡洛數(shù)值計算方法.事實上,該方法可以直接從文獻[34]中獲得.在數(shù)值計算過程中,抽取1000個樣本點,債券價格到期日時間定在T=1,2,3,5,7,10年上.由于本文主要目的不是短期利率衍生品定價,因此為了簡化,僅考慮到期日為10年的債券,以及相應(yīng)的2年期的看漲期權(quán).在所有的計算中設(shè)債券面值為100.考慮前面似然率測試,不考慮BS-SV和EBS-SV模型的衍生品定價.

圖7 不同模型的波動率預(yù)測估計Fig.7 Volatility forecast estimates for different models

表4給出不同模型的債券價格.從表4中的數(shù)據(jù)可以看出,當考慮CSV模型時,所得債券價格幾乎是等同的.然而引入均值函數(shù),債券價格有明顯的不同.此外對于ESV模型,所有模型對于債券價格影響都很小.這些現(xiàn)象主要歸因于債券價格對于短期利率不是很敏感.如Dungey等[35]也說明了這種現(xiàn)象,而且他們也說明了引入跳對于一些短期利率不太敏感的衍生品其定價也是沒有明顯的不同.然而,比較CSV模型和ESV模型所得債券價格,顯然其數(shù)值結(jié)果有著明顯不同,從而說明均值函數(shù)在很大程度上改變了短期利率動態(tài)變化.

表5給出不同敲定價格的債券期權(quán)定價.觀察表5中的數(shù)據(jù),顯然引入均值函數(shù)債券期權(quán)價格改變了非常大,同時也發(fā)現(xiàn)不同常系數(shù)模型所得的債券期權(quán)價格變化不大.然而基于均值函數(shù)的模型,它們之間還是有本質(zhì)上的區(qū)別.如在敲定價格為80時,ECEV-SV1的價格為0.160 2而ECEV-SV2模型價格為零.因此均值函數(shù)將會改變對于比較敏感的衍生品價格.從而說明了引入均值函數(shù)不僅改善了似然率估計值,而且對于衍生品的價格也產(chǎn)生影響.

表4 不同模型的債券價格Table 4 Bond prices for different models

表5 不同模型的債券期權(quán)價格Table 5 Pricing bond option from the different model

6 結(jié)束語

本文構(gòu)建了ECEV-SV模型,以至于一些經(jīng)典的模型能夠嵌入其中.基于3個月到期的短期利率數(shù)據(jù),比較這些模型的擬合效果.實證結(jié)果表明了引入均值函數(shù)改善了似然率估計值,同時也減少了隨機波動率的估計.即使在似然率測試下,一些模型沒有明顯的差異,然而ECEV-SV模型更好地解釋隨機波動率期限結(jié)構(gòu)(見圖7).此外,均值函數(shù)對利率衍生品的價格影響也比較大,特別是對利率比較敏感的衍生品價格均值函數(shù)的沖擊更加顯著.因此,作為將來研究方向,希望考慮基于截面數(shù)據(jù)對于均值函數(shù)的估計及它對于隨機波動率的影響.