數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生高階思維能力的培養(yǎng)
——以《平行四邊形及其性質(zhì)1》的教學(xué)為例

□任靜爾

（杭州市建蘭中學(xué)，浙江杭州 310002）

高階思維是指發(fā)生在較高認(rèn)知水平層次的心智活動(dòng)或認(rèn)知能力.數(shù)學(xué)高階思維則是指在數(shù)學(xué)活動(dòng)中有意識(shí)的、圍繞特定目標(biāo)的、需要付出持續(xù)心理努力的高層次認(rèn)知水平的復(fù)雜思維.它具有嚴(yán)謹(jǐn)性、深刻性、問題性、批判性、獨(dú)創(chuàng)性、靈活性等特點(diǎn).

一堂有思維深度的數(shù)學(xué)課，應(yīng)該從思維水平、思維形式、思維品質(zhì)等不同維度培養(yǎng)學(xué)生的高階思維能力.如何培養(yǎng)學(xué)生獲得提出問題的能力、思考問題的方法、解決問題的智慧，就需要教師在課堂中設(shè)計(jì)有效的教學(xué)環(huán)節(jié).

《平行四邊形及其性質(zhì)1》這節(jié)課既是平行線的性質(zhì)、全等三角形等知識(shí)的延續(xù)和深化，也是后續(xù)學(xué)習(xí)矩形、菱形、正方形等知識(shí)的堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)，這節(jié)課主要是讓學(xué)生探究平行四邊形的性質(zhì)并靈活應(yīng)用.這節(jié)課對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)高階思維有著重要的價(jià)值，因此下文截取一些主要教學(xué)片段進(jìn)行分析.

一、高階思維水平

基于皮亞杰的認(rèn)知發(fā)展階段論，澳大利亞學(xué)者Biggs和Collis在1982年提出了SOLO（Structure of the Observed Learning Outcome）分類，即“觀察到的學(xué)生學(xué)習(xí)結(jié)果的結(jié)構(gòu)”.SOLO分類理論既繼承了皮亞杰理論中建立不同年齡階段兒童的認(rèn)知發(fā)展程序模式，關(guān)注認(rèn)知過程而非只重視結(jié)果；同時(shí)基于學(xué)生大量的對(duì)多領(lǐng)域問題的反應(yīng)，進(jìn)行了認(rèn)知理論的修正.

SOLO分類法依照學(xué)生的認(rèn)知水平高低，依次分為前結(jié)構(gòu)水平、單一結(jié)構(gòu)水平、多元結(jié)構(gòu)水平、關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平和抽象拓展水平.SOLO分類理論的這五個(gè)思維水平，描述了學(xué)生對(duì)于學(xué)習(xí)內(nèi)容由淺入深的掌握程度，反映的是學(xué)生學(xué)習(xí)由量變積累到質(zhì)變的過程.前三個(gè)結(jié)構(gòu)水平主要是對(duì)學(xué)習(xí)“量”的描述，重點(diǎn)在于學(xué)生對(duì)于知識(shí)點(diǎn)的掌握；而后兩個(gè)結(jié)構(gòu)水平則是建立在知識(shí)點(diǎn)“量”的基礎(chǔ)上，主要考察的是學(xué)生高階思維能力和針對(duì)不同學(xué)習(xí)任務(wù)分析解決問題的能力[1].

（一）關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平

關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平是指學(xué)習(xí)者整合對(duì)所有相關(guān)知識(shí)的理解，建立所有知識(shí)信息之間的聯(lián)系，形成已知知識(shí)結(jié)構(gòu)或意義，來解決較為復(fù)雜的具體問題.在數(shù)學(xué)課堂中，教師為學(xué)生構(gòu)建活動(dòng)情境，學(xué)生充分利用已知數(shù)學(xué)知識(shí)與活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)解決新的問題.

【案例1】

師：請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)要求四人一組完成實(shí)驗(yàn)報(bào)告.

1.拼一拼：兩塊相同的三角板（含30°直角三角板），拼出一個(gè)四邊形，你能拼出多少個(gè)四邊形？有幾個(gè)平行四邊形？2.猜一猜：平行四邊形有哪些性質(zhì)？（從圖形基本構(gòu)成——邊、角、對(duì)角線著手）；3.驗(yàn)一驗(yàn)：通過觀察、測(cè)量、平移、旋轉(zhuǎn)等方式；4.證一證：利用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行說理論證，并形成幾何語言.

學(xué)生自主探究、合作交流解決問題.

【分析】課堂的藝術(shù)不在于“靜”，而在于“動(dòng)”，給予學(xué)生更多活動(dòng)體驗(yàn)，讓學(xué)生能在課堂上學(xué)習(xí)“如何像科學(xué)家一樣思考”，突破學(xué)科邊界，引導(dǎo)學(xué)生去嘗試體驗(yàn)科學(xué)家是如何工作的.教師在設(shè)計(jì)任務(wù)時(shí)，通過關(guān)聯(lián)等腰三角形性質(zhì)，將問題轉(zhuǎn)化，使得學(xué)生在觀察實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)證明的活動(dòng)中逐漸提升思維水平.

（二）抽象拓展結(jié)構(gòu)

抽象拓展結(jié)構(gòu)是指學(xué)習(xí)者在關(guān)聯(lián)的基礎(chǔ)上，對(duì)問題進(jìn)行更全面的思考，以概括出更抽象的特征，生成一般性的假設(shè)并應(yīng)用到新情境中，拓展問題本身的意義.為了幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)最高層次拓展抽象水平的提升，設(shè)計(jì)開放式的學(xué)生自主編題環(huán)節(jié).

【案例2】

師：請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)剛才探究得到的關(guān)于平行四邊形的邊和角兩個(gè)維度展開思考，可以有哪些編題思路？

生1：根據(jù)角的對(duì)等鄰補(bǔ)，已知其中一個(gè)角度，求其余各角.

生2：已知兩個(gè)角的比值，求其余各角.

生3：根據(jù)邊、對(duì)邊平行且相等，計(jì)算一些周長(zhǎng)、面積相關(guān)的問題.

生4：將角和邊結(jié)合起來.

圖1

師：（根據(jù)學(xué)生的思維板書如圖1，邊板書邊提問）如何將角和邊結(jié)合起來？增加什么條件？

生1：加入角平分線.比如平分平行四邊形一個(gè)內(nèi)角，則構(gòu)成一個(gè)新的等腰三角形.

生2：平分兩個(gè)角也可以.

師：平分哪兩個(gè)角？

生3：平分一組對(duì)角，構(gòu)成新的平行四邊形；平分一組鄰角，構(gòu)成新的直角三角形.

生4：那還可以平分兩組對(duì)角……（教師可以提一提矩形，并說明后續(xù)會(huì)更深入研究）

師：（根據(jù)學(xué)生的思維板書如圖2）大家都非常棒，順著這個(gè)思路，請(qǐng)同學(xué)們嘗試著增加具體的數(shù)值，自主出題.（學(xué)生自主編題）

圖2

【分析】從平行四邊形角對(duì)等鄰補(bǔ)、對(duì)邊平行且相等出發(fā)，結(jié)合方程、分類討論、利用數(shù)形結(jié)合抽象平行四邊形性質(zhì)問題的本質(zhì)，看似圍繞性質(zhì)展開，實(shí)則是以此為載體，在關(guān)聯(lián)三角形、平行線等知識(shí)的基礎(chǔ)上，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)最高層次拓展抽象水平的提升.

二、高階思維形式

學(xué)術(shù)界將人類的思維分為直覺思維、形象思維與邏輯思維（抽象思維）三大類.邏輯思維是指運(yùn)用概念、判斷、推理等思維形式而進(jìn)行的理性思維，包含形式邏輯思維和辯證邏輯思維兩大部分，相互聯(lián)系、相互滲透、相互補(bǔ)充，都屬于高階思維的范疇.

（一）形式邏輯思維

形式邏輯思維是指運(yùn)用形式邏輯的方法，遵循形式邏輯的規(guī)律而進(jìn)行的思維，是一種靜態(tài)的、以分析為主的“二值思維”.在初中數(shù)學(xué)課堂中我們可以理解為是一種根據(jù)題意進(jìn)行的定量分析推理能力.

【案例3】

師：（PPT展示題目：在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是平行四邊形ABCD的邊AD，BC上的點(diǎn)，且 AF//CE，求證：DE=BF，∠BAF=∠DCE.）請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)剛才的四步審題法進(jìn)行自主審題.

學(xué)生自主審題，并完成圖形語言的轉(zhuǎn)換（如圖3）.

圖3

師：要證明DE=BF，∠BAF=∠DCE，最容易聯(lián)想到什么？請(qǐng)同學(xué)來分析.

生：最容易聯(lián)想到全等三角形，將平行四邊形轉(zhuǎn)化成三角形進(jìn)行求解.

師：（學(xué)生邊分析，教師邊板書分析導(dǎo)圖，如圖4）那么還有別的解決問題的方法嗎？

生：可以用今天的平行四邊形性質(zhì)來展開.

學(xué)生邊分析，教師邊板書分析導(dǎo)圖（如圖4）.

圖4

【分析】在例題講解時(shí)，教師滲透形式邏輯的觀點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生利用“分析導(dǎo)圖”推進(jìn)問題求解的探索過程，構(gòu)建思維鏈，從而靈活地去尋找簡(jiǎn)單易行的方法，提高推理論證的效率.借助分析法逆推，執(zhí)果索因，探明論證的路徑.

（二）辯證邏輯思維

辯證邏輯思維是指運(yùn)用辯證邏輯的方法，遵循辯證邏輯的規(guī)律而進(jìn)行的思維，是一種動(dòng)態(tài)的、以綜合為主的“多值邏輯”.在初中數(shù)學(xué)課堂中我們可以理解為是一種能夠用發(fā)展、變化的眼光來對(duì)知識(shí)、題目進(jìn)行定性把握的能力[2].

【案例4】

師：請(qǐng)同學(xué)們?cè)囍淖兓蛟黾永}中的部分條件，重新設(shè)計(jì)一個(gè)有關(guān)平行四邊形知識(shí)的題目.

生1：我來改例2，根據(jù)題干中的信息“E，F(xiàn)分別是平行四邊形ABCD的邊AD，BC上的點(diǎn)”進(jìn)行改變，變?yōu)椤斑匒D，BC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)”.

師：非常好，抓住了E，F(xiàn)兩點(diǎn)的位置，進(jìn)行變化.就根據(jù)點(diǎn)的位置還可以怎么變？

生2：將E，F(xiàn)變成“對(duì)角線上的點(diǎn)”或者“對(duì)角線延長(zhǎng)線上的點(diǎn)”.

師：（根據(jù)學(xué)生的分析畫出圖形，如圖5）還可以根據(jù)其他條件進(jìn)行改變嗎？

圖5

生3：改變題干中“AF//CE”，變成“AF，CE分別平分∠BAD，∠BCD”.

生4：還可以變成“E，F(xiàn)是AD，BC的中點(diǎn)”.

生5：還可以變成“AF⊥BC，CE⊥AD”……（教師畫出圖形，如圖6）

圖6

【分析】在以例2為原型進(jìn)行編題的教學(xué)活動(dòng)中，教師融入辯證邏輯的理念，引導(dǎo)學(xué)生抓住問題中的關(guān)鍵信息——“點(diǎn)的位置”“線段的關(guān)系”，用發(fā)展、運(yùn)動(dòng)的眼光來看待問題，此環(huán)節(jié)的重點(diǎn)并不是要求學(xué)生非常完整地編出一道題，而是試著全面、綜合地去思考問題，進(jìn)而靈活地解決問題.

三、高階思維品質(zhì)

思維品質(zhì)是思維活動(dòng)中智力特點(diǎn)在個(gè)人身上的表現(xiàn)，是人的思維的個(gè)性特征，體現(xiàn)了每個(gè)個(gè)體思維水平、智力與能力的差異.因此要發(fā)展學(xué)生的高階思維，就要抓住思維品質(zhì)的突破口，結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，在思維品質(zhì)的嚴(yán)謹(jǐn)性、廣闊性、創(chuàng)造性、批判性等方面進(jìn)行有針對(duì)性的訓(xùn)練.

（一）思維的嚴(yán)謹(jǐn)性

思維的嚴(yán)謹(jǐn)性是指按照數(shù)學(xué)的方法和規(guī)則進(jìn)行合理嚴(yán)密的邏輯演繹，表現(xiàn)為：善于捕捉問題中有價(jià)值的信息的能力；準(zhǔn)確使用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行表達(dá)的習(xí)慣；推理嚴(yán)密、書寫規(guī)范、計(jì)算無誤的能力.

【案例5】

在平行四邊形ABCD中，（1）若 ∠B+∠D=120°，則 ∠C=____；（2）若周長(zhǎng)為16，AB=3，則BC=_____.

在講解案例5時(shí)教師引導(dǎo)學(xué)生分四步走：第一，標(biāo)記關(guān)鍵詞——平行四邊形ABCD，∠B+∠D=120°；第二，轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)語言，畫出圖形，進(jìn)行文字語言、符號(hào)語言、圖形語言的轉(zhuǎn)化（如圖7）；第三，挖掘隱含信息，由圖可得∠B和∠D是對(duì)角；第四，聯(lián)想有關(guān)的知識(shí)，涉及對(duì)象的性質(zhì)法則，平行四邊形對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)，從而解決問題.教師在引導(dǎo)學(xué)生分析完后，給予學(xué)生時(shí)間寫，教師在這一過程中走到學(xué)生中進(jìn)行點(diǎn)撥，指出一些不規(guī)范、不嚴(yán)密的地方，也可以進(jìn)行板書示范.

圖7

【分析】教師在講解案例5時(shí)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行四步審題法，是為了讓學(xué)生捕捉題干中的信息，并準(zhǔn)確進(jìn)行數(shù)和形之間的轉(zhuǎn)化，通過觀察圖形挖掘隱含信息，進(jìn)而全面地聯(lián)想相關(guān)的知識(shí).學(xué)生對(duì)于知識(shí)的理解往往反映在他們的表達(dá)中.華羅庚教授指出，學(xué)生在數(shù)學(xué)表達(dá)上要做到“想得清楚，說得明白，寫得干凈”.因此教師除了語言上的引導(dǎo)之外，還要給予時(shí)間讓學(xué)生書寫，也可以進(jìn)行板書的示范，使得學(xué)生對(duì)公式、定理、法則的理解更加精確化，思維的嚴(yán)謹(jǐn)性在日常的學(xué)習(xí)中得到訓(xùn)練.

（二）思維的廣闊性

思維的廣闊性指思維活動(dòng)作用范圍的廣泛和全面的程度，表現(xiàn)為思路開闊、能全面分析問題、多方位思考問題、多角度研究問題，解題結(jié)束后，有意識(shí)地對(duì)問題的特征、差異及隱含關(guān)系進(jìn)行重新分析，做出更為廣泛的聯(lián)想.

案例3中的一題多解，案例2、案例4中的自主編題都是對(duì)學(xué)生思維廣闊性的訓(xùn)練.在案例3教學(xué)時(shí)，要證明線段相等，已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)是證明三角形全等，而新習(xí)得的是平行四邊形的對(duì)邊相等，教師不應(yīng)將學(xué)生的思維局限于課本中的解法，而應(yīng)充分挖掘?qū)W生的潛能進(jìn)行一題多解的引導(dǎo).

在案例4的編題中，原例題圖形是平行四邊形問題中的基本圖形，在本題的改編中，教師試著給學(xué)生提供思考的機(jī)會(huì)，引導(dǎo)學(xué)生抓住點(diǎn)的位置和線段的關(guān)系這兩個(gè)決定圖形的關(guān)鍵因素展開聯(lián)想的翅膀，變化出更多樣的圖形.而案例2中的編題設(shè)計(jì)則對(duì)學(xué)生思維的限制更少，給予了更大的思考空間，學(xué)生可以有更多的自主權(quán)去增加新的條件，從解題人向出題人轉(zhuǎn)變，跳出思維的定勢(shì)，充分發(fā)展思維的廣闊性.

（三）思維的批判性

思維的批判性是指思維活動(dòng)中善于嚴(yán)格地估計(jì)思維材料和精細(xì)地檢查思維過程的智力品質(zhì)，是思維過程中自我意識(shí)作用的結(jié)果，主要表現(xiàn)為：有能力評(píng)價(jià)解題思路的選擇是否正確；善于找出和改正思維過程中的錯(cuò)誤；不迷信課本和教師，凡事都經(jīng)過思考再做出判斷.

【案例6】

將學(xué)生設(shè)計(jì)的題目進(jìn)行展示評(píng)議.可以分成幾個(gè)步驟：（1）請(qǐng)出題者對(duì)出題意圖進(jìn)行分析；（2）請(qǐng)同學(xué)給予解答；（3）大家來評(píng)議，議一議這類問題的關(guān)鍵是什么，改編得怎么樣，還可以怎么改編.

【分析】教師在課堂上要給學(xué)生創(chuàng)造培養(yǎng)思維批判性的機(jī)會(huì)，比如在學(xué)生自主編題結(jié)束后，讓學(xué)生獨(dú)立思考，相互交流，嘗試去評(píng)價(jià)別人出的題目.教師在此時(shí)可以適時(shí)引導(dǎo)，從出題意圖、解題的關(guān)鍵、表述的完整性等角度進(jìn)行評(píng)價(jià)和反思.

一堂有深度的數(shù)學(xué)課，教師應(yīng)在課堂引入、例題講解、自主編題、交流評(píng)價(jià)等環(huán)節(jié)中精心設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)知識(shí)的認(rèn)識(shí)逐漸從模糊走向清晰，從片面走向全面，從膚淺走向深刻，最終實(shí)現(xiàn)從思維水平、思維形式、思維品質(zhì)等不同維度來發(fā)展學(xué)生的高階思維.