非線性微分方程線性化的教學(xué)改進(jìn)

陳武暉， 張 軍， 高國琴

(江蘇大學(xué) 電氣信息工程學(xué)院， 江蘇 鎮(zhèn)江 212013)

0 引言

“自動控制原理”是電氣工程專業(yè)和自動化專業(yè)的核心課程，課程內(nèi)容主要分為系統(tǒng)建模、系統(tǒng)分析和系統(tǒng)設(shè)計三大模塊。其中系統(tǒng)建模是基礎(chǔ)，系統(tǒng)分析的核心是穩(wěn)定性，而系統(tǒng)設(shè)計是在穩(wěn)定性的基礎(chǔ)上根據(jù)性能指標(biāo)進(jìn)行系統(tǒng)綜合[1]。

“自動控制原理”課程的特點(diǎn)是數(shù)學(xué)推導(dǎo)復(fù)雜、概念繁多、內(nèi)容抽象,是一門公認(rèn)的學(xué)生難學(xué)、教師難教的課程[2]。

目前，“自動控制原理”課程存在將其當(dāng)做一門數(shù)學(xué)課程來講的誤區(qū)。教師注重理論推導(dǎo)以及講解如何求解各種類型題目，這導(dǎo)致學(xué)生理解概念困難，難以把該課程與后續(xù)的專業(yè)課程相聯(lián)系，出現(xiàn)理論和實(shí)踐嚴(yán)重脫節(jié)的問題。

例如：現(xiàn)有的教材在控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型一節(jié)中，對傳遞函數(shù)進(jìn)行了詳細(xì)的推導(dǎo)和闡述，讓學(xué)生建立起模型的概念。但是對非線性微分方程線性化這一知識點(diǎn)卻寫得很簡單，只給出一般的概念和推導(dǎo)，導(dǎo)致問題分析不深入，與實(shí)際應(yīng)用有較大差距。

實(shí)際上，工程中大部分系統(tǒng)都是具有非線性的，而非線性微分方程線性化是簡化模型的一項(xiàng)關(guān)鍵技術(shù)，有著明確的應(yīng)用背景，后續(xù)的電類專業(yè)課程中都有相關(guān)的內(nèi)容涉及。從目前講課效果來看，學(xué)生對這部分內(nèi)容理解不深入，無法將系統(tǒng)分析理論與實(shí)際工程對象聯(lián)系起來，造成解決復(fù)雜工程問題的能力較弱。

針對上述情況，結(jié)合我院電氣工程專業(yè)和自動化專業(yè)的具體情況，對這部分教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行改進(jìn)，在原有的一般理論推導(dǎo)過程中，分別針對電氣工程專業(yè)和自動化專業(yè)增加了風(fēng)力發(fā)電的小擾動線性化建模和飛行器的小擾動線性化動力學(xué)建模兩個知識點(diǎn)，讓學(xué)生對該部分教學(xué)內(nèi)容理解和應(yīng)用有了更加深入的認(rèn)識，從而取得了良好的課堂效果。

1 風(fēng)力發(fā)電的小擾動線性化建模

風(fēng)力發(fā)電是電氣工程領(lǐng)域中的新興技術(shù)，是把風(fēng)能轉(zhuǎn)換成機(jī)械能，再把機(jī)械能轉(zhuǎn)化為電能的過程。

風(fēng)力發(fā)電具有明顯的隨機(jī)性、波動性、間歇性等特點(diǎn)，大規(guī)模風(fēng)電場接入電網(wǎng)，會改變電力系統(tǒng)原有的結(jié)構(gòu)和運(yùn)轉(zhuǎn)方式，勢必會給電力系統(tǒng)的小擾動穩(wěn)定性造成一定影響，這是一個非線性問題。因此，需要研究風(fēng)力發(fā)電的小擾動線性化數(shù)學(xué)模型。我們根據(jù)專業(yè)特色將任課教師的“含大規(guī)模風(fēng)電場的電力系統(tǒng)分析”科研成果移植到這部分教學(xué)中[3]。通過這種根據(jù)實(shí)際應(yīng)用的需求將風(fēng)力發(fā)電專業(yè)的背景闡述出來的教學(xué)方式，極大增強(qiáng)了學(xué)生學(xué)習(xí)“自動控制原理”的興趣。

我們在授課中遵循“基礎(chǔ)性知識→專業(yè)性綜合知識→系統(tǒng)性創(chuàng)新知識”的多層次培養(yǎng)原則，通過多媒體課件PPT和板書結(jié)合的方法多角度展現(xiàn)這一知識點(diǎn)的不同層面內(nèi)涵。在闡述應(yīng)用背景之后，風(fēng)電機(jī)組的電力系統(tǒng)機(jī)電暫態(tài)特性的分析便可以描述為微分—代數(shù)方程組。其中用非線性一階常微分方程來表述元件的動態(tài)特性，用非線性代數(shù)方程(組)表示傳輸網(wǎng)絡(luò)的準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)行為，其表達(dá)式如下：

(1)

式中，x為方程組中系統(tǒng)狀態(tài)變量,u為輸入向量，y為輸出控制向量。將式(1)在穩(wěn)態(tài)運(yùn)行點(diǎn)(x0,u0)線性化可得：

(2)

式中：

Δx是n維狀態(tài)向量；Δu是r維輸入向量；Δy是m維輸出向量；A是n×n狀態(tài)矩陣；B是n×r控制矩陣；C是m×n輸出矩陣；D是m×r前饋矩陣。這樣，在講述非線性系統(tǒng)概念時便有了明確的物理對象，即電力系統(tǒng)的暫態(tài)動態(tài)行為是非線性的。在講述公式(2)的含義和推導(dǎo)過程中，很自然地與傳統(tǒng)教材中的非線性微分方程線性化的知識點(diǎn)相對應(yīng)，即

Δy=xKΔx

(3)

公式(2)是公式(3)的維數(shù)推廣矩陣，系統(tǒng)工作點(diǎn)的概念與電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)運(yùn)行點(diǎn)(x0,u0)相對應(yīng)，這樣原有的抽象空洞的概念有了明確對象，理解便容易，并且這種方式講述把專業(yè)的知識串聯(lián)起來，系統(tǒng)性很強(qiáng)，還原了“自動控制原理”課程的本色。

在此基礎(chǔ)上，設(shè)此時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)平衡點(diǎn)(x0,u0)不是網(wǎng)絡(luò)方程的奇點(diǎn)，對式(2)進(jìn)行Laplace變換之后可得

(4)

對式(4)化簡之后可得Δx在頻域范圍內(nèi)的表達(dá)式：

Δx(s)=(sI-A)-1[Δx(0)+BΔu(s)]

(5)

通過上述講述，學(xué)生初步建立了電力控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)概念，加深了其與實(shí)際對象的聯(lián)系，在后續(xù)的專業(yè)課中會自然而然地聯(lián)系到“自動控制原理”的知識點(diǎn)，鞏固了相應(yīng)的建模基礎(chǔ)。

2 飛行器小擾動的線性化動力學(xué)建模

對于自動化專業(yè)的學(xué)生，四軸旋翼飛行器是大學(xué)生創(chuàng)新比賽的常見對象之一。通過四軸旋翼飛行器的小擾動線性化建模，可以明顯提高學(xué)生學(xué)習(xí)“自動控制原理”的熱情，理解控制的本質(zhì)。

四軸旋翼飛行器在空間的運(yùn)動可以描述為一組非線性微分方程組，代表了飛行器空間運(yùn)動的物理本質(zhì)，主要包括運(yùn)動學(xué)和動力學(xué)兩部分模型，其中運(yùn)動學(xué)方程為

(6)

式中α、β、γ三者分別是橫滾角、俯仰角、偏航角；p、q、r是ω在機(jī)載坐標(biāo)系中X軸、Y軸、Z軸上的分量。其中動力學(xué)方程為

(7)

式中Mz、My、Mz是機(jī)體上力矩M在機(jī)載坐標(biāo)軸上的分量，Ix、Iy、Iz是慣量I在機(jī)載坐標(biāo)軸的分量。針對公式(6～7)通過課堂討論方式，能詳細(xì)了解四軸旋翼飛行器的俯仰、偏航、滾動通道存在的非線性耦合、慣性耦合、控制耦合等概念，與前面講過的線性疊加定理相對應(yīng)。由此,學(xué)生明確建立了非線性系統(tǒng)概念，與原來簡單空洞地闡述非線性系統(tǒng)f=f(x)概念有著本質(zhì)的區(qū)別。

在非線性概念的基礎(chǔ)上，假設(shè)飛行器運(yùn)動參數(shù)與在同一時間內(nèi)未擾動參數(shù)數(shù)值間的差異很小，對飛行器非線性模型在平衡點(diǎn)處實(shí)施小擾動，然后將非線性模型展開為Taylor級數(shù)，忽略高次項(xiàng)，得到近似的線性模型，即

(8)

我們在課堂上分析航空航天中的這種小擾動動力學(xué)建模是一種小偏差線性化方法，前提是假設(shè)輸入量和輸出量在靜態(tài)工作點(diǎn)附近作微小變化，這與“自動控制原理”的非線性微分方程線性化的理論適用場合完全對應(yīng)，這樣將兩門課程有機(jī)地聯(lián)系起來，培養(yǎng)了學(xué)生分析問題的能力[4]。在此基礎(chǔ)上，用小擾動線性化方法處理式(6～7)，通過Matlab課堂教學(xué)軟件現(xiàn)場得到俯仰通道傳遞函數(shù)為

(9)

通過這樣有明確應(yīng)用背景的闡述，使自動化專業(yè)學(xué)生初步建立飛行器非線性系統(tǒng)概念，以及如何線性化建模，為后續(xù)的PID控制律設(shè)計打下基礎(chǔ)。此后，可進(jìn)一步分析闡述線性化模型的適用范圍。當(dāng)飛行器姿態(tài)角與工作平衡點(diǎn)的范圍小于10°時，線性化誤差很小，因此工程上采用線性化小擾動模型作為常規(guī)飛行器的控制設(shè)計模型是合宜的。當(dāng)與工作平衡點(diǎn)的范圍大于10°時，飛行器運(yùn)動學(xué)方程中的Δe=sinα-α線性化誤差明顯加大(見圖1)，線性模型不能完全反映飛行器的動態(tài)特性，需要采用非線性模型，這也是當(dāng)今高超聲速飛行器新的的制導(dǎo)和控制方向研究重點(diǎn)，從而進(jìn)一步拓展學(xué)生的知識視野[5]。

圖1 飛行器姿態(tài)角線性化誤差變化圖

該教學(xué)改進(jìn)已在我院的自動化專業(yè)2013級03班學(xué)生中進(jìn)行試驗(yàn)，并且在2015年學(xué)生評教中獲得我院的最高分，學(xué)生認(rèn)為這種有明確應(yīng)用背景的知識講解，把自動化專業(yè)的特色鮮明凸現(xiàn)出來，有利于提高設(shè)計復(fù)雜工程的能力。

3 結(jié)語

我們在“自動控制原理”非線性微分方程線性化的這一章節(jié)的教學(xué)改進(jìn)中，對電氣工程專業(yè)的學(xué)生授課時，增加了大規(guī)模風(fēng)電場的電力系統(tǒng)小擾動線性化建模實(shí)例；對自動化專業(yè)學(xué)生的授課時，增加了四軸旋翼飛行器的小擾動線性化建模實(shí)例，使得線性化建模知識點(diǎn)與工程實(shí)踐有機(jī)結(jié)合起來，有效提高學(xué)生解決復(fù)雜工程問題的能力。