特例法在電路分析中的應(yīng)用

田社平， 孫 盾， 張 峰

(1.上海交通大學(xué) 電子信息與電氣工程學(xué)院， 上海 200240；2. 浙江大學(xué) 電氣工程學(xué)院, 浙江 杭州 310027)

0 引言

事物的普遍性存在于事物的特殊性之中，而特殊性中也包含著普遍性，特殊性與普遍性是相聯(lián)系而存在的。將這一哲學(xué)原理應(yīng)用于自然科學(xué)領(lǐng)域和工程技術(shù)領(lǐng)域，就可以得到解決問題的特例法。

特例法就是用特殊情形代替普遍條件，得出特殊結(jié)論，而這一特殊結(jié)論亦具有普遍意義。對電路問題而言，這特殊情形包括特殊的電路連接方式，如開路、短路等；特殊的元件參數(shù)取值；特定的電路拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)等等。本文結(jié)合筆者的教學(xué)實(shí)際，通過例子來說明特例法在電路中的應(yīng)用，歡迎大家批評指正。

1 問題的提出與特例分析

問題：如圖1(a)所示，N為線性含獨(dú)立源電阻網(wǎng)絡(luò)。已知當(dāng)R=0 Ω時(shí)，電壓u=3 V；當(dāng)R→∞時(shí)，u=4 V。ab端口的等效電阻Req=5 Ω。試求u與R的一般關(guān)系。

(a) 例1電路 (b) 等效電路圖1 采用特例法分析的電路

這是一道公布在“電路教師之家”微信群中的題目，它主要考察電路定理的綜合應(yīng)用能力。為便于比較，這里先給出一般的常見解法如下：

(1)首先應(yīng)用替代定理，將電阻用電流為i(方向向下)的電流源替代。

(2)由疊加定理可得，輸出電壓u可表示為u=Ai+B，其中A、B為待求的常數(shù)。

(3)由戴維南定理，作出如圖1(b)所示的等效電路，易知電流i可表示為

因此

(1)

(4)將已知條件代入式(1)，得到

(5)最后得出解答為

從上述分析過程中可知，上述例子具有較強(qiáng)的綜合性，如果對電路定理沒有融會(huì)貫通的理解，要順利地給出解答還是有一定挑戰(zhàn)性的。但是，如果將網(wǎng)絡(luò)N特例化，則分析過程就容易理解得多。為了將N特例化，可以假定N為不含受控源(可含獨(dú)立源)二端口網(wǎng)絡(luò)，即N可用含獨(dú)立源的T形電路等效。由于輸出端口保持為開路，等效的T形電路右臂的電阻對輸出電壓無貢獻(xiàn)，因此可取該右臂電阻為零；同樣由于輸出端口開路，等效的T形電路左、右兩臂中的等效電壓源均可轉(zhuǎn)移至第三條支路中。這樣，可將圖1(a)中的網(wǎng)絡(luò)N特例化為如圖2中具有明確拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的網(wǎng)絡(luò)N，注意，圖中已經(jīng)隱含了條件“ab端口的等效電阻Req=5 Ω”。由題目給定的已知條件，可得

圖2 圖1(a)電路的特例化

解得

(2)

又由圖2，利用式(2)，易知

（2）經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展情況。洞庭湖區(qū)位于長江黃金水道與京廣交通動(dòng)脈交匯處，具有承東啟西、連南接北的獨(dú)特區(qū)位優(yōu)勢。2016年區(qū)域（湖南部分）常住人口約1 692萬人，地區(qū)生產(chǎn)總值為8 145.4億元，三次產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)為12∶46∶42，人均地區(qū)生產(chǎn)總值4.8萬元，公共財(cái)政預(yù)算收入705.05億元，城鎮(zhèn)化率50.3%。洞庭湖區(qū)自古以來便是“魚米之鄉(xiāng)”和“天下糧倉”，是我國重要的大宗農(nóng)產(chǎn)品生產(chǎn)基地、最大的水稻產(chǎn)地、商品糧調(diào)出地和畜禽水產(chǎn)養(yǎng)殖基地。工業(yè)方面初步形成了食品加工、石化、紡織、林紙等支柱產(chǎn)業(yè)。近年來，商貿(mào)物流、交通運(yùn)輸、生態(tài)旅游等現(xiàn)代服務(wù)業(yè)發(fā)展迅速。

相比較而言，上述解法顯得非常簡潔。上述解答盡管結(jié)果正確，但也產(chǎn)生了如下的問題：圖2中的網(wǎng)絡(luò)N是否確實(shí)與圖1(a)中的網(wǎng)絡(luò)N在題目給定的條件下等效？或者說，所謂的特例化方法對求解過程是否是充分的？這關(guān)系到特例法的合理性及其可應(yīng)用性。

2 應(yīng)用特例法的合理性

下面通過分析圖1(a)與圖2中N的端口特性，來說明應(yīng)用特例法的合理性。將圖1(a)重繪如圖3所示 。

圖3 求二端口N特性的電路

不失一般性，假設(shè)N的流控型VCR可表示為[1]

(3)

由條件“已知當(dāng)R=0 Ω時(shí)，電壓u=3 V”可得

(4)

由條件“當(dāng)R→∞時(shí)，u=4 V”可得

(5)

由條件“ab端口的等效電阻Req=5 Ω”可知，N的端口1的開路正向電阻為5 Ω，亦即

r11=5 Ω

(6)

r21uOC1=5,uOC2=4,r11=5

(7)

上面的分析說明了圖2中的N只是圖1(a)中N的眾多可能網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的一種可能的形式，亦即，圖2電路的實(shí)現(xiàn)方式完全滿足題目給定的條件，在題目給定的條件下，圖2中的網(wǎng)絡(luò)N確實(shí)與圖1(a)中的網(wǎng)絡(luò)等效。因此，采用圖2所示的特例化方案對求解題目是完全充分而合理的。

3 進(jìn)一步的討論

由題目給定的條件無法唯一確定圖1(a)的網(wǎng)絡(luò)N的結(jié)構(gòu)，因此特例化N可有多種方案，例如，另一種特例化方案如圖4所示。

圖4 圖1(a)電路的特例化之二

同樣，與圖2類似，圖4的特例化方案已經(jīng)隱含了條件“ab端口的等效電阻Req=5 Ω”。由題目給定的已知條件可得

又由圖4，易知

盡管圖4中特例化網(wǎng)絡(luò)N包含冗余的元件，但對分析結(jié)果沒有影響。

利用二端口網(wǎng)絡(luò)的等效電路還可進(jìn)一步分析圖1(a)的特例化方案。假設(shè)網(wǎng)絡(luò)N是互易的(r12=r21)，則圖1(a)電路可等效為圖5所示的T形等效

電路[2]。

圖5 圖1(a)電路的T形等效電路

事實(shí)上，由圖5的等效電路及其N的參數(shù)條件式(7)，可以構(gòu)造出無窮多種特例化方案。當(dāng)然，為求解題目的方便，采用圖2所示的特例化方案較為合適。

4 結(jié)語

在科學(xué)研究和工程技術(shù)領(lǐng)域，特例法是一種普遍使用的方法。對某些電路問題，采用特例法可簡化分析過程。本文通過對一含不明確拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)電路的分析，說明了特例法的適用性。在電路教學(xué)中適當(dāng)?shù)貞?yīng)用特例法，可起到鍛煉學(xué)生思維、提高學(xué)習(xí)興趣、加深對電路知識的理解等作用。