“電路”課程中“相量法的引入”教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)踐

黃 輝， 黃魯晨， 劉曉宇

(北京交通大學(xué) 電氣工程學(xué)院， 北京 100044)

0 引言

“電路”課程是電子、信息類專業(yè)的重要技術(shù)基礎(chǔ)課程，也是“模擬電子技術(shù)”、“電力電子學(xué)”等后續(xù)課程的理論基礎(chǔ)。其中，正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析是本課程的重要組成部分，而相量法作為線性電路正弦穩(wěn)態(tài)分析中的最常用的簡單易行的方法，無疑是需要學(xué)生著重理解和掌握的重要內(nèi)容。但是，即便完成了這部分學(xué)習(xí)、掌握了相關(guān)知識點(diǎn)或者能夠順利分析計(jì)算正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)之后，學(xué)生卻難以回答這樣的問題：“為什么要用相量法求解正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)？”“相量法的使用范圍是什么？”“為什么有電壓電流相量，卻沒有功率相量？”這說明如果課堂教學(xué)僅僅停留在以知識為中心、傳授為主導(dǎo)的層面，學(xué)生對知識的結(jié)構(gòu)理解不深，學(xué)生的科學(xué)研究精神和創(chuàng)新能力更得不到充分發(fā)揮。

鑒于此，我院“電路”課程組采用了“以學(xué)科教學(xué)、課堂教學(xué)為基礎(chǔ)”的探究性學(xué)習(xí)理念，同時(shí)利用導(dǎo)學(xué)互動的加式教育BOPPPS(Bridge-in、Objective、Pre-assessment、Participatory Learning、Post-assessment和Summary)教學(xué)模式，對“相量法的引入”這一知識點(diǎn)的教學(xué)進(jìn)行了重新設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生在自行探究得到結(jié)果的同時(shí)思考相量法引入的原因及其優(yōu)勢，在獲得知識的同時(shí)掌握科學(xué)研究的方法、提高科學(xué)研究能力。實(shí)踐結(jié)果證明此教學(xué)設(shè)計(jì)收到了較好的效果。

1 探究性學(xué)習(xí)

探究性教學(xué)是著名教育家施瓦布在20世紀(jì)中葉提出的一種教學(xué)方法[1],是在教師指導(dǎo)下，學(xué)生主動地從學(xué)習(xí)生活和社會生活中選取與教學(xué)目的和教學(xué)內(nèi)容有關(guān)聯(lián)的問題和項(xiàng)目，用類似于科學(xué)研究的方式去獲取知識、應(yīng)用知識、解決問題的教學(xué)活動[2]。探究性教學(xué)把“科學(xué)家的研究過程”引入到教學(xué)過程，強(qiáng)調(diào)“科學(xué)家的研究過程和學(xué)生的學(xué)習(xí)過程的相同性和不可分割性的一面”[3]。雖然學(xué)生學(xué)習(xí)和探究具有“模擬性”、“再現(xiàn)性”、“驗(yàn)證性”的特征，但從科學(xué)的本質(zhì)來看，學(xué)習(xí)過程和研究過程是統(tǒng)一的，其過程和結(jié)論也是統(tǒng)一的。

2 BOPPPS教學(xué)模式

BOPPPS教學(xué)模式起源于1978年，是加拿大英屬哥倫比亞省(British Columbia)以建構(gòu)主義和交際法為理論依據(jù)推出的以學(xué)生為中心的教學(xué)模式[4]。由于其具備有效教學(xué)的特點(diǎn)——有效益、有效率和有效果，推出后很快被加拿大、美國等北美地區(qū)各高校引進(jìn)，現(xiàn)在已經(jīng)在全球30多個(gè)國家和地區(qū)廣泛應(yīng)用[5]。

BOPPPS教學(xué)模式注重課堂教學(xué)的流程，通過科學(xué)的教學(xué)步驟，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和參與度，提高學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的主觀能動性[4]。具體的，BOPPPS教學(xué)模式將課堂教學(xué)過程劃分為6個(gè)環(huán)節(jié)，依次為：引言B(Bridge-in)、目標(biāo)O(Objective)、前測P(Pre-assessment)、參與式學(xué)習(xí)P(Participatory Learning)、后測P(Post-assessment)和總結(jié)S(Summary)[6]。該流程不僅能幫助教師有效地設(shè)計(jì)和講授課程，也能幫助教師及時(shí)和有效地反思教學(xué)過程和教學(xué)效果。因此，BOPPPS教學(xué)模式是教師組織課堂教學(xué)的有效工具[4～6]。

3 “相量法的引入”教學(xué)設(shè)計(jì)

以電路課程的“相量法的引入”這一知識點(diǎn)為例，將BOPPPS教學(xué)模式與探究性教學(xué)理念結(jié)合起來，重新設(shè)計(jì)并實(shí)踐了教學(xué)方案。

3.1 引言B(Bridge-in)

作為開頭，設(shè)置引言環(huán)節(jié)的目的在于更好地吸引學(xué)生注意力，引導(dǎo)學(xué)生產(chǎn)生強(qiáng)烈的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)動力，促使學(xué)生關(guān)注即將開展的核心教學(xué)內(nèi)容[6]。我們所設(shè)計(jì)的引言環(huán)節(jié)也是探究性教學(xué)的開始，是以問題情景為先導(dǎo)的[7]。

(1)考察圖1(a)所示的RL串聯(lián)電路，在正弦電壓源us(t)=Umcos(ωt+φ)激勵下，分析計(jì)算整個(gè)電路穩(wěn)定后的電流。

以此問題開始，引導(dǎo)學(xué)生列寫電流滿足的一階微分方程，進(jìn)而求取特解。

這個(gè)問題對于剛剛結(jié)束電阻電路的一般分析方法和動態(tài)元件的VCR的學(xué)生來說并不困難。結(jié)合網(wǎng)孔電流法和基本元件的VCR，學(xué)生可以很快列出電流所遵循的方程，如式(1)所示。

(1)

由于電感元件的電壓是電流對時(shí)間的微分結(jié)果，因此它的存在使得電路方程不再是電阻電路所對應(yīng)的代數(shù)方程，而是一個(gè)非齊次的一階微分方程。求解電路穩(wěn)定后的電流，即找尋這個(gè)非齊次一階微分方程的特解，即使對高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)一般的學(xué)生也并不困難。

(2)考察圖1(b)所示的RLC串聯(lián)電路，同樣求解穩(wěn)定后整個(gè)電路的電流。

此電路是前一個(gè)電路的遞進(jìn)——增加了一個(gè)電容元件，目的是引導(dǎo)學(xué)生列寫電流滿足的二階微分方程，進(jìn)而求取特解。

(a)RL串聯(lián)電路 (b)RLC串聯(lián)電路圖1 正弦激勵下的電路；

與圖1(a)所示的RL串聯(lián)電路相比，思路、解題步驟完全相同，不同的是由于電容元件的電壓是電流對時(shí)間的積分結(jié)果，列寫出的方程既含有電流對時(shí)間的微分也含有積分，如式(2)。再求一次微分后成為二階微分方程，如式(3)。

(2)

(3)

尋求二階微分方程的特解對一部分高等數(shù)學(xué)掌握程度不太好的學(xué)生來說，比較困難。這些學(xué)生在規(guī)定時(shí)間內(nèi)只能列出微分方程，無法得到其特解。這一環(huán)節(jié)教師要嚴(yán)格限時(shí)，允許學(xué)生完不成。

(3)思考：如果動態(tài)元件個(gè)數(shù)繼續(xù)增加、電路結(jié)構(gòu)變得更加復(fù)雜，微分方程的階數(shù)是否會從一階二階增加到三階四階甚至更高階？那種情況下你能否求得特解？這些問題提出的目的是引導(dǎo)學(xué)生自行發(fā)現(xiàn)含多個(gè)動態(tài)元件的復(fù)雜電路問題的求解最終會演變成求解高階微分方程特解的數(shù)學(xué)問題。在利用原有電路知識輕松列寫微分方程之后，以學(xué)生現(xiàn)在的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，是難以解決高階微分方程的特解的求取這一數(shù)學(xué)問題的。

(4)最后提出問題：有沒有辦法不求解微分方程，而得到正弦激勵的響應(yīng)呢？

至此，引言環(huán)節(jié)結(jié)束。此環(huán)節(jié)從一個(gè)簡單電路求解開始，層層遞進(jìn)，逐步增加難度，學(xué)生也經(jīng)歷了一個(gè)從容易到困難再到不能解決的過程——也是科學(xué)研究的必經(jīng)之路。這樣的引入能激發(fā)學(xué)生的好奇心，同時(shí)起到回顧前期所學(xué)知識和課程銜接的作用。

另外，引言環(huán)節(jié)的最后這一個(gè)問題，是帶領(lǐng)學(xué)生峰回路轉(zhuǎn)的關(guān)鍵，也是探討相量法這一迂回求解正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的方法的開始，再次激發(fā)學(xué)生的注意力和學(xué)習(xí)熱情。

3.2 目標(biāo)O(Objective)

這個(gè)環(huán)節(jié)，需要教師言簡意賅地闡明學(xué)習(xí)目的、傳達(dá)教學(xué)目標(biāo)，同時(shí)明確告知學(xué)生通過這節(jié)課能夠?qū)W會做什么，從而讓學(xué)生明確掌握學(xué)習(xí)的方向[6]。目標(biāo)包含的要素有：誰(Who)、將學(xué)到什么(Will do what)、在什么情況下(Under what condition)及學(xué)得如何(How well)等。

具體的，本次兩學(xué)時(shí)課程的學(xué)習(xí)目標(biāo)是：學(xué)生能結(jié)合正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的特點(diǎn)，解釋引入相量法的原因；能準(zhǔn)確快速將正弦量與相量進(jìn)行相互轉(zhuǎn)換；列舉正弦量的計(jì)算轉(zhuǎn)化成相量計(jì)算的種類；能將正弦穩(wěn)態(tài)電路的微分方程轉(zhuǎn)化為相量的代數(shù)方程。

3.3 前測P(Pre-assessment)

前測是在建立學(xué)習(xí)目標(biāo)之后對學(xué)生下一步開展的先測或摸底，目的在于準(zhǔn)確掌握學(xué)生的興趣或能力或先備知識或者對課堂待講授教學(xué)內(nèi)容的了解程度，以便教師及時(shí)調(diào)整課程的深度與進(jìn)度、師生雙方更好地配合，使課堂教學(xué)目標(biāo)得以有效達(dá)成[6]。

為了解學(xué)生對正弦量及其計(jì)算的熟悉程度，也為后續(xù)的課程內(nèi)容做準(zhǔn)備，我們設(shè)計(jì)的前測環(huán)節(jié)分為兩個(gè)測試。

此測試是為了了解學(xué)生對正弦量基本計(jì)算的掌握情況。正常情況下，學(xué)生能順利完成正弦量與實(shí)數(shù)相乘、正弦量對時(shí)間的微分及積分計(jì)算；但大多數(shù)學(xué)生都不能在規(guī)定時(shí)間內(nèi)把正弦量的加法完成。

同樣，這個(gè)測試教師也要嚴(yán)格限時(shí)，再利用學(xué)生急于解決第二個(gè)測試中正弦量加法的心情，引導(dǎo)學(xué)生尋求其他途徑，順利過渡到下一個(gè)環(huán)節(jié)——參與式學(xué)習(xí)。

3.4 參與式學(xué)習(xí)P(Participatory Learning)

該環(huán)節(jié)主要通過師生互動來實(shí)現(xiàn)課程核心內(nèi)容的交互式學(xué)習(xí)。參與式學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)作為課堂教學(xué)的核心，要求教師能夠隨機(jī)應(yīng)變、靈活運(yùn)用各種教學(xué)媒體和資源，善于采用各種合理的教學(xué)策略來創(chuàng)造一個(gè)輕松活潑的學(xué)習(xí)環(huán)境，鼓勵更多的學(xué)生主動參與到教學(xué)環(huán)節(jié)。從而幫助學(xué)生達(dá)到既定學(xué)習(xí)目的，實(shí)現(xiàn)課堂教學(xué)目標(biāo)[6]。

這個(gè)環(huán)節(jié)是課程的核心環(huán)節(jié)，也是實(shí)現(xiàn)探索式教學(xué)的最重要、關(guān)鍵的環(huán)節(jié)。此環(huán)節(jié)分為五個(gè)步驟，仍然以問題情景為先導(dǎo)。

(1)考察圖1(a)所示的RL串聯(lián)電路以及圖1(b)所示的RLC串聯(lián)電路的各元件的電壓、電流(教師直接給出表達(dá)式)，總結(jié)正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的特點(diǎn)，思考具備此特點(diǎn)的原因。

引導(dǎo)學(xué)生自行發(fā)現(xiàn)正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的三個(gè)特點(diǎn)：在正弦激勵下的線性電路中，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)仍然是正弦量(形式固定)；穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的頻率與正弦激勵的一致(頻率已知)；穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的幅值、初相位與正弦激勵的不同(兩要素待求)。

此時(shí)最好繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生能解釋正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)具備這些特點(diǎn)的原因--因?yàn)殡娐分须妷弘娏黜憫?yīng)所滿足的KCL、KVL以及VCR約束，就是正弦量的加減、積分和微分，其運(yùn)算結(jié)果都是正弦量。而且，如果激勵頻率單一，加減、積分和微分以后，頻率也不會改變；也就是說，響應(yīng)正弦量的三個(gè)要素中，在計(jì)算之前，頻率就可以直接從激勵中得到，我們只需要確定其他兩個(gè)——“幅值、初相位”就可以了。

(2)思考有沒有同時(shí)具備大小、幅角的數(shù)學(xué)量。

引導(dǎo)學(xué)生思考，課堂上可能會有個(gè)別學(xué)生能聯(lián)系到極坐標(biāo)、復(fù)數(shù)等數(shù)學(xué)概念。

(3)講授相量與正弦量的關(guān)系。

學(xué)生聯(lián)系到復(fù)數(shù)等數(shù)學(xué)概念以后，引出用復(fù)數(shù)表示正弦量——相量。

(4)

另外，可以用圖形表征兩者的關(guān)系，如圖2所示。

圖2 圖示相量與正弦量的關(guān)系

圖3 動畫形式表示相量與正弦量關(guān)系的截圖

從圖2和圖3可以看出：相量拋棄了同頻正弦量所共有的同速度旋轉(zhuǎn)、向?qū)嵼S做投影這些程序，只保留了初始的有向線段。所以，相量可以代表正弦量，但是絕不等于正弦量。

(4)如何用相量代替正弦量求取正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)？

引導(dǎo)學(xué)生圍繞“求取正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)”這一目的而制訂探究計(jì)劃：既然求取正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)時(shí)，涉及到正弦量的加減、積分和微分運(yùn)算，那么接下來就應(yīng)該探究正弦量的這些運(yùn)算轉(zhuǎn)化成相量的什么運(yùn)算。

然后讓學(xué)生自行推導(dǎo)同頻正弦量的加減、積分和微分運(yùn)算轉(zhuǎn)化為相量的運(yùn)算形式。

這一個(gè)問題的提出到學(xué)生得到解答，是探究教學(xué)的主要承載環(huán)節(jié)——以課堂教學(xué)為主渠道，創(chuàng)設(shè)一種類似于科學(xué)研究的情境或途徑，把方法的獲得、能力的提高融入到獲取知識的過程中，將隱含的科學(xué)方法和思維脈絡(luò)揭示出來，通過教師的引導(dǎo)以及合理的歸納與總結(jié)，將知識的掌握和科學(xué)方法的熏陶有機(jī)結(jié)合起來。

至此，參與式學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)結(jié)束。在這個(gè)環(huán)節(jié)中，除了“相量與正弦量的關(guān)系”這一部分內(nèi)容是以教師講授為主以外，其他部分都是以合作討論為主要活動形式，以“被動答疑”為活動輔助手段[7]。具體的，在教學(xué)中，打破學(xué)生個(gè)體學(xué)習(xí)的常規(guī)，讓學(xué)生自愿形成若干合作小組自行研究上述問題。當(dāng)探究性問題情景激發(fā)起共同的學(xué)習(xí)目標(biāo)時(shí)，教師的職責(zé)是：參照目標(biāo)，更好地監(jiān)察小組的進(jìn)展情況，及時(shí)糾偏，或提醒學(xué)生是否需要調(diào)整目標(biāo)，如你能不能再補(bǔ)充一下？你能再換個(gè)角度分析一下嗎？你能解釋為什么要采用這種方法？你是否還需要某方面的信息？在探究式學(xué)習(xí)初期，教師的引導(dǎo)必不可少，但隨著討論的深入，學(xué)生漸漸進(jìn)入探究角色，教師就可“隱退”，真正實(shí)現(xiàn)學(xué)生從“學(xué)會”到“會學(xué)”的轉(zhuǎn)變。

3.5 后測P(Post-assessment)

后測這一環(huán)節(jié)是在課程內(nèi)容結(jié)束之際及時(shí)對學(xué)生開展檢驗(yàn)或評估[6]。通過有針對性的測評方式檢驗(yàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況，了解學(xué)生本次課的學(xué)習(xí)效果是否達(dá)成既定的教學(xué)目標(biāo)；同時(shí)，對于教學(xué)目標(biāo)達(dá)成度的評價(jià)，也可以幫助教師促進(jìn)教學(xué)過程的設(shè)計(jì)、改進(jìn)與完善。

我們設(shè)計(jì)的后測環(huán)節(jié)也分為兩個(gè)測試。

后測的第一個(gè)測試是回應(yīng)前測的第二個(gè)測試。讓學(xué)生借助相量再次完成正弦量的相應(yīng)運(yùn)算；完成后讓學(xué)生自行總結(jié)前測時(shí)的直接計(jì)算方式與利用相量的間接計(jì)算方式的異同。

后測的第二個(gè)測試是回應(yīng)引言環(huán)節(jié)。讓學(xué)生將圖1的兩個(gè)電路對應(yīng)的微分方程(式(1)和式(2))轉(zhuǎn)化為電流相量滿足的方程。結(jié)果分別為式(5)和式(6)。完成后讓學(xué)生自行總結(jié)引入相量后的優(yōu)勢。

(5)

(6)

3.6 總結(jié)S(Summary)

最后，通過用簡練的總結(jié)課堂教學(xué)的知識點(diǎn)或技能要點(diǎn)，整理并回顧授課內(nèi)容以進(jìn)一步鞏固學(xué)習(xí)目標(biāo)。

針對“相量的引入”，總結(jié)了相量法的思路，如圖4所示。

在求解正弦穩(wěn)態(tài)電路時(shí)，電路方程為微分方程組。雖然列出方程并不困難，但是求解高階非齊次微分方程的特解是有困難的。而相量法借助相量把原來的微分方程轉(zhuǎn)化為加減乘除的代數(shù)方程，求解變得容易許多。得到結(jié)果以后，再把結(jié)果轉(zhuǎn)化為正弦量。比較原有的筆直但困難重重的解決方案，相量法明顯走了彎路，但實(shí)現(xiàn)起來簡單多了，因?yàn)槲覀兠鎸Φ氖谴鷶?shù)方程，唯一需要付出的代價(jià)就是“復(fù)數(shù)運(yùn)算”。

總結(jié)完本次課程的內(nèi)容后，以一個(gè)啟發(fā)性問題結(jié)束所有講授，也為下一節(jié)內(nèi)容做鋪墊：現(xiàn)在是先在時(shí)域列完微分方程，再轉(zhuǎn)化為相量的代數(shù)方程。能不能直接從時(shí)域轉(zhuǎn)化為相量域，而省掉時(shí)域列方程的步驟？

圖4 圖示相量法的思路

3 學(xué)時(shí)安排

“相量法的引入”知識點(diǎn)共需要2學(xué)時(shí)，各環(huán)節(jié)并非平均分配時(shí)間。具體的，引言B限時(shí)10分鐘；目標(biāo)O由教師直接闡述，用時(shí)1分鐘左右；前測P同樣限時(shí)10分鐘；參與式學(xué)習(xí)P用時(shí)1小時(shí)，且粗分為教師講授為主和學(xué)生討論兩種形式，前30分鐘教師完成“相量與正弦量的關(guān)系”的講授，后30分鐘留給學(xué)生自行探討交流；后測P環(huán)節(jié)限時(shí)15分鐘；最后用5分鐘進(jìn)行總結(jié)S。

4 結(jié)語

在“電路”課程教學(xué)中，針對“相量的引入”這個(gè)學(xué)生難以理解的知識點(diǎn)，我們探索和實(shí)踐了利用BOPPPS模式的探究性教學(xué)。結(jié)合BOPPPS的六個(gè)環(huán)節(jié)，把問題呈現(xiàn)在教學(xué)之前，不僅將問題作為教學(xué)的導(dǎo)入點(diǎn)，而且問題始終存在于整個(gè)教學(xué)過程中，即由問題探究→問題解決→獲取新知→新問題探究，由此不斷深入。

從學(xué)生小組的交流和報(bào)告來看，學(xué)生對這種教學(xué)模式較為認(rèn)可，積極參與，不光知識掌握較好，而且自行探索研究的潛能也得以激發(fā)。除了思考總結(jié)出此部分內(nèi)容的科學(xué)探索之路之外，有的學(xué)生還將“繞彎但省力”“兩點(diǎn)多線”等思想上升到了哲學(xué)層面，指導(dǎo)以后的科學(xué)研究、人生探索之路。

可以看出，這一模式提升了學(xué)生學(xué)習(xí)本課程的積極性，激發(fā)了學(xué)生自我學(xué)習(xí)的積極性，收到較好的教學(xué)效果。

另外，以此內(nèi)容為基礎(chǔ)，筆者參加了第二屆全國高等學(xué)校青年教師“電路”、“信號與系統(tǒng)”、“電磁場”課程教學(xué)競賽，一舉奪得“電路”組第一名。