“電路”課程教學(xué)與審美

董維杰， 白鳳仙

(大連理工大學(xué) 電氣工程學(xué)院， 遼寧 大連 116023)

0 引言

在對(duì)工科學(xué)生教育的過程中，很多教師會(huì)特別注重學(xué)生的邏輯思維能力、發(fā)散思維能力和理論聯(lián)系實(shí)際等能力的培養(yǎng)，但是，很少有人會(huì)注意到學(xué)生審美能力的培養(yǎng)。

美是能夠使人們感到愉悅的一切事物，它包括客觀存在和主觀存在。美是要去體驗(yàn)、去感受、去欣賞，這就是審美。法國(guó)著名雕塑家羅丹說過：“世界上不是缺少美，而是缺少發(fā)現(xiàn)美的眼睛”，此話道出了審美的真諦。

“電路”課程講的是電路元件連接起來所組成的電路的基本規(guī)律、基本定理和電路分析方法，電路作為客觀世界的物質(zhì)存在，其電壓、電流運(yùn)行規(guī)律蘊(yùn)含了自然界的簡(jiǎn)單美、和諧美和對(duì)稱美，教學(xué)過程中教師可引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)那些美。上海交通大學(xué)田社平老師從電路名稱之美、電路理論之美、電路應(yīng)用之美到電路研究之美，全面討論了電路之美，令人耳目一新[1]；南京郵電大學(xué)周井泉教授則重點(diǎn)論述了電路的對(duì)偶之美[2]。

1 電路教學(xué)中審美訓(xùn)練的意義

審美能力，就是人們認(rèn)識(shí)美、評(píng)價(jià)美的能力，包括審美感受力、判斷力、想像力和創(chuàng)造力等。在學(xué)習(xí)中，如果能夠有發(fā)現(xiàn)美的能力，必將促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，促進(jìn)學(xué)生想象力和創(chuàng)造力的發(fā)揮。學(xué)生認(rèn)識(shí)了電路中的美，可形成對(duì)電路更為深刻的認(rèn)識(shí)，提高分析和設(shè)計(jì)電路的能力。

馬克思說：“人類是按美的規(guī)律去改造世界的”，在工作中，較高的審美能力，可以讓我們更容易以富于想象力和創(chuàng)造力的方式解決實(shí)際問題。在科學(xué)發(fā)現(xiàn)和技術(shù)創(chuàng)新的道路上，處處存在著美的足跡。法國(guó)著名數(shù)學(xué)家阿達(dá)瑪說：“科學(xué)美感，這種特殊的美感，是我們必須信任的向?qū)А保驗(yàn)椤拔ㄓ忻栏蓄A(yù)示著將來的研究結(jié)果能否會(huì)富有成果?！边@其實(shí)給了科研工作者一個(gè)重要的判據(jù)，如果模型或計(jì)算效果是復(fù)雜、不和諧、無秩序的，基本可以斷定是錯(cuò)的。

2 電路中的美與審美

2.1 簡(jiǎn)潔美

畫家鄭板橋的藝術(shù)創(chuàng)作心得“刪繁就簡(jiǎn)三秋樹，領(lǐng)異標(biāo)新二月花”，向人們展示了簡(jiǎn)約美的意境：以最簡(jiǎn)練的筆墨表現(xiàn)最豐富的內(nèi)容，以少勝多。簡(jiǎn)潔美，有樸素、簡(jiǎn)單的外在形式，通過極度濃縮精煉，包羅萬象寓意深遠(yuǎn)。

電路中基爾霍夫定律、歐姆定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式都極簡(jiǎn)潔的。基爾霍夫電流、電壓定律的內(nèi)容是：在集總參數(shù)電路中，在任一時(shí)刻，流出或流入任一節(jié)點(diǎn)或封閉面的各支路電流的代數(shù)和為零；沿任一回路巡行一周各元件上電壓降的代數(shù)和為零，如式(1)、(2)所示。歐姆定律內(nèi)容：線性電阻元件兩端的電壓與流過的電流成正比，如式(3)所示。

Σi(t)=0

(1)

Σu(t)=0

(2)

u=Ri

(3)

在德國(guó)發(fā)行的基爾霍夫紀(jì)念郵票上，清晰印著式(1)和(2)，彰顯了基爾霍夫的科學(xué)貢獻(xiàn)及定律的重要地位，如圖1所示。

圖1 基爾霍夫紀(jì)念郵票

基爾霍夫電流定律反映了電荷守恒定律，基爾霍夫電壓定律反映了能量守恒定律。歐姆定律表述形式不僅適用于線性電阻，還可推廣到正弦穩(wěn)態(tài)電路中電容、電感、阻抗的復(fù)頻域電壓電流關(guān)系，在電學(xué)史上具有里程碑意義。式(1)～(3)的美在于電路規(guī)律的數(shù)學(xué)表達(dá)形式是何等簡(jiǎn)潔，但是反映的電路運(yùn)動(dòng)規(guī)律卻內(nèi)涵深刻，并且適用于千變?nèi)f化的集總參數(shù)電路，是貫穿整個(gè)“電路”課程的理論基礎(chǔ)。

基爾霍夫定律去除電路元件和結(jié)構(gòu)千變?nèi)f化的表面現(xiàn)象，揭示了電路的本質(zhì)和內(nèi)在規(guī)律，是等效變換、支路法、節(jié)點(diǎn)法、回路法、割集法等各種電路分析方法列方程的依據(jù)。但是當(dāng)分析具體電路時(shí)，又要針對(duì)復(fù)雜多變的電路把簡(jiǎn)潔的表達(dá)式變成規(guī)模、系數(shù)、變量不同的方程組，直流電路對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù)代數(shù)方程，正弦穩(wěn)態(tài)電路列出的是復(fù)數(shù)代數(shù)方程，電動(dòng)態(tài)電路對(duì)應(yīng)微分方程。在分析各種具體電路時(shí)，要掌握基爾霍夫定律的本質(zhì)，如果死記具體電路的特殊方程形式，則不能舉一反三，可能會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤不斷。

以下圖為例說明不管電路如何千變?nèi)f化，把握KCL定律簡(jiǎn)潔本質(zhì)的重要性。

圖2 列寫節(jié)點(diǎn)電壓方程易錯(cuò)電路示例

圖中節(jié)點(diǎn)a只有三條支路，而三條支路組成完全不同。節(jié)點(diǎn)電壓方程歸根到底是列KCL方程，本質(zhì)是三個(gè)支路電流代數(shù)和為零。節(jié)點(diǎn)a的電壓方程是

剛開始學(xué)習(xí)節(jié)點(diǎn)電壓法時(shí)，學(xué)生容易錯(cuò)寫為

科學(xué)就是去粗取精、去偽存真，提煉復(fù)雜問題的本質(zhì)，而對(duì)事物本質(zhì)的描述大多是極其簡(jiǎn)潔的；再用抽象出來具有簡(jiǎn)潔形式的原理來指導(dǎo)解決復(fù)雜問題。在基爾霍夫定律、歐姆定律的教學(xué)中，我們讓學(xué)生體會(huì)這一科學(xué)方法論，潛移默化中培養(yǎng)其科學(xué)發(fā)現(xiàn)的意識(shí)、學(xué)習(xí)科學(xué)研究方法。

2.2 和諧美

和諧美是指事物發(fā)展中均勻流暢、協(xié)調(diào)有序、多樣統(tǒng)一的美。

正弦穩(wěn)態(tài)電路分析中，旋轉(zhuǎn)相量在復(fù)平面內(nèi)做周期性勻速圓周運(yùn)動(dòng)，向?qū)嵼S投影出余弦函數(shù)表示形式的正弦波，向虛軸投影出正弦函數(shù)表示形式的正弦波，如圖3所示。正弦波用旋轉(zhuǎn)相量的初始位置相量表示，正是相量分析法的基礎(chǔ)。正弦波形是正弦穩(wěn)態(tài)電流強(qiáng)度或電壓大小隨時(shí)間變化的波形，正弦電路中自由電荷在熱運(yùn)動(dòng)基礎(chǔ)上做微米級(jí)振幅的單擺運(yùn)動(dòng)，振動(dòng)位移也是正弦波形，簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)是最基本也是最簡(jiǎn)單的機(jī)械振動(dòng)。無論旋轉(zhuǎn)相量轉(zhuǎn)動(dòng)投影映射成正弦波、自由電荷的單擺運(yùn)動(dòng)本身、還是示波器測(cè)量到的正弦電壓電流波形，無不呈現(xiàn)出均勻流暢、規(guī)律有序的美感。

圖3 旋轉(zhuǎn)相量在實(shí)軸上的投影對(duì)應(yīng)于正弦波

用相量法分析正弦穩(wěn)態(tài)電路，求網(wǎng)絡(luò)函數(shù)、阻抗、分壓分流都涉及相量的乘法和除法運(yùn)算，此時(shí)相量宜用極坐標(biāo)或指數(shù)形式表示。相量指數(shù)形式即為歐拉公式ejθ=cosθ+jsinθ，它的神奇之處在于溝通了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系。當(dāng)θ=0時(shí)，有ej0=cos0+jsin0=1，其數(shù)學(xué)意義完全不同于e0=e1/e1=1。當(dāng)θ=π時(shí)，有

ejπ+1=0

(4)

數(shù)學(xué)家們愛把式(4)視為最優(yōu)美的公式，美在哪里呢？它將代數(shù)中的虛數(shù)“j”、幾何中的圓周率“π”( 3.14159，無限不循環(huán)小數(shù))、高等數(shù)學(xué)中的自然常數(shù)“e”(2.71828，無限不循環(huán)小數(shù))、數(shù)學(xué)和哲學(xué)中最重要的“1”和“0”兩個(gè)數(shù)字神奇地統(tǒng)一在了一起，驚人地體現(xiàn)了統(tǒng)一美。有了這些鋪墊，相信在復(fù)數(shù)阻抗串并聯(lián)、電壓電流相量算術(shù)運(yùn)算中涉及到直角坐標(biāo)與指數(shù)形式相互轉(zhuǎn)換時(shí)就不易犯錯(cuò)。

2.3 對(duì)稱美

對(duì)稱是自然界的一種普遍現(xiàn)象，植物、動(dòng)物和人都有自己的對(duì)稱形式。對(duì)稱美來源于自然界物質(zhì)形態(tài)及其運(yùn)動(dòng)圖景所具有的廣泛對(duì)稱。對(duì)稱之所以讓人產(chǎn)生美感，是因?yàn)閷?duì)稱中存在著某種“重復(fù)”、“均衡”和“有序”。

很多科學(xué)家也是因?yàn)閳?jiān)信宇宙美具有對(duì)稱性這一特點(diǎn)，作出了許多劃時(shí)代意義的科學(xué)發(fā)現(xiàn)。例如，物理學(xué)家保羅.狄拉克正是由對(duì)稱美出發(fā),通過狄拉克方程(電子運(yùn)動(dòng)的相對(duì)論性量子力學(xué)方程)預(yù)測(cè)了反電子的存在，提出了反物質(zhì)概念?？梢妼徝酪庾R(shí)也是發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的基礎(chǔ)?！按髮W(xué)物理”中介紹的麥克斯韋方程組被公認(rèn)是很美的，因?yàn)樗沂玖俗匀坏膶?duì)稱性，完成了物理學(xué)的第一次統(tǒng)一。

1971年，加州大學(xué)伯克利分校的蔡少棠教授考察電荷、電流、電壓、磁鏈這四個(gè)電路基本變量之間的關(guān)系時(shí)，總結(jié)四個(gè)變量定義了電阻、電容和電感三大標(biāo)準(zhǔn)元件，發(fā)現(xiàn)連接電荷和磁通量的元件缺失了，因此預(yù)測(cè)了第四種基本電路元件，叫做“憶阻器”，其英文名稱Memristor是memory 和resistor的組合，暗示其具有記憶和電阻的雙重作用，如圖4所示。直到2008年惠普的工程師團(tuán)隊(duì)才制作出器件，器件模型表明憶阻器先天是納米尺度器件，因此有望在高密度存儲(chǔ)器和人工智能方面大放異彩。這是對(duì)稱美、完整美在科學(xué)發(fā)現(xiàn)方面的又一次亮相，如果沒有憶阻器補(bǔ)全那個(gè)位置，那么圖4看起來就有不能釋懷的缺憾。

圖4 憶阻器存在的預(yù)測(cè)依據(jù)

電路中的對(duì)稱美比比皆是，例如：“共軛”概念蘊(yùn)含著“對(duì)稱”性，“對(duì)偶”關(guān)系也可視為“對(duì)稱”的一種形式。

表1 常見對(duì)偶元素

電路的這種對(duì)稱美是宇宙美具有對(duì)稱性的一個(gè)典型例證，也為電路知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)提供了捷徑。利用對(duì)偶原理可以將已知電路或元件的數(shù)學(xué)關(guān)系式直接推廣到其對(duì)偶元素，這樣既簡(jiǎn)化了分析過程，又提高了學(xué)習(xí)效率。例如，由電導(dǎo)并聯(lián)時(shí)的分流公式可以直接得出電阻串聯(lián)時(shí)的分壓公式；將戴維南定理表述中的“電壓”、“電阻”、“開路”等替換成對(duì)應(yīng)的對(duì)偶元素“電流”、“電導(dǎo)”、“短路”就得到諾頓等效定理；將節(jié)點(diǎn)電壓方程中的“電導(dǎo)”、電壓變量和電流源換成“電阻”、電流變量和電壓源就得到回路電流方程；講了電容元件的時(shí)域、頻域電壓電流關(guān)系后，利用對(duì)偶原理可直接推出電感元件的電壓電流關(guān)系。

2.4 思辯之美

發(fā)散思維是從一個(gè)目標(biāo)出發(fā)，沿著各種不同的途徑去思考，多方位、多角度、多層次去思考?！皺M看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”，橫看側(cè)看變換角度，樂此不疲，因?yàn)槟軌蛐蕾p到不同的美景。當(dāng)人們觀察事物的立足點(diǎn)、立場(chǎng)不同時(shí)，就會(huì)得到不同的結(jié)論，綜合這些結(jié)論，便形成對(duì)事物更完整的認(rèn)識(shí)。這種全面的、辯證的、多角度的思維具有思辨之美。一場(chǎng)引人入勝的辯論賽，一篇通透深刻的說理文章，往往勝在具有思辨之美。

“電路”課程的重要內(nèi)容是電路分析方法，一個(gè)電路可用多種方法求解，希望學(xué)生能夠在學(xué)習(xí)過程中體會(huì)到思辨之美。

對(duì)于結(jié)構(gòu)上存在元件串并聯(lián)的電路，某一支路電壓、電流或功率的求解，幾乎可以用遍所有的電路分析方法。這些方法視角不同，有的從整體，有的從局部；有的具有普適性，有的是具體問題具體分析。

如圖5所示電路，求3 Ω電阻兩端的電壓U。此題可用下述六種方法求解。

圖5 多種方法求解電路例題

方法一，支路電壓法，以U為變量列寫KCL和KVL方程。方法二，對(duì)12 V電壓源、1 Ω電阻和2 A電流源做串并聯(lián)等效變換。方法三，節(jié)點(diǎn)電壓法，若以下面節(jié)點(diǎn)為參考節(jié)點(diǎn)，則可選一個(gè)獨(dú)立節(jié)點(diǎn)①，也可選①和②作為兩個(gè)獨(dú)立節(jié)點(diǎn)。方法四，回路電流法。方法五，應(yīng)用疊加定理，令12 V電壓源和2 A電流源分別單獨(dú)作用。方法六，應(yīng)用戴維南定理，求移除3 Ω電阻后的單口網(wǎng)絡(luò)的開路電壓和等效電阻。

疊加定理、戴維南定理、替代定理、互易定理等的綜合應(yīng)用充滿了思辨之美，文獻(xiàn)[3]中一道例題給出了三種解題方法，該書第一版更是給出了五種方法，其中有的方法是學(xué)生的貢獻(xiàn)。

這一道例題把幾乎所有的電路分析方法都一一用到，在對(duì)比中體會(huì)不同方法的精妙，領(lǐng)會(huì)基爾霍夫定律和歐姆定律的應(yīng)用，感受條條大路通羅馬的妙處，驚詫于曲徑通幽的過程，這就是思辨之美帶來的精神愉悅。筆者經(jīng)常建議學(xué)生以這樣的方式來復(fù)習(xí)，很有成效。

3 結(jié)語

在“電路”課程的教學(xué)中介紹電路之審美，引領(lǐng)學(xué)生體會(huì)自然界的簡(jiǎn)潔美、和諧美和對(duì)稱美在電路中的表現(xiàn)，在講述電路分析方法的同時(shí)讓學(xué)生感受思辨之美，希望學(xué)生通過本課程鍛煉自己的審美能力，在美的感受中愉快學(xué)習(xí)，并在今后的學(xué)習(xí)和工作中，用美的感覺去發(fā)現(xiàn)世界、創(chuàng)造世界。