飛行器氣動(dòng)參數(shù)智能在線辨識(shí)技術(shù)研究

浦甲倫，韓業(yè)鵬，張 亮

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，哈爾濱 150001)

0 引言

對(duì)于大氣層內(nèi)長(zhǎng)時(shí)間飛行的飛行器，如巡航導(dǎo)彈、滑翔導(dǎo)彈，空氣動(dòng)力是影響最大也是最復(fù)雜的外力[1]。在實(shí)際飛行中，如果氣動(dòng)參數(shù)變化劇烈，在地面基于標(biāo)稱氣動(dòng)設(shè)計(jì)的軌跡及控制系統(tǒng)可能無(wú)法滿足實(shí)際需求，此時(shí)通過(guò)在線氣動(dòng)參數(shù)辨識(shí)可規(guī)劃更準(zhǔn)確的飛行軌跡，對(duì)控制參數(shù)進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)整，從而適應(yīng)氣動(dòng)參數(shù)變化的情況。因此,針對(duì)導(dǎo)彈飛行中的在線快速、精確辨識(shí)技術(shù)進(jìn)行研究顯得極為迫切[2]。

導(dǎo)彈氣動(dòng)參數(shù)辨識(shí)是指利用導(dǎo)彈在試驗(yàn)或?qū)嶋H飛行中測(cè)得的輸入和輸出數(shù)據(jù)，采用系統(tǒng)辨識(shí)技術(shù)，建立反映導(dǎo)彈本質(zhì)動(dòng)態(tài)特性的氣動(dòng)力數(shù)學(xué)模型，并辨識(shí)出數(shù)學(xué)模型中的待定系數(shù)[3]。氣動(dòng)參數(shù)辨識(shí)核心3要素是：模型、數(shù)據(jù)和等價(jià)準(zhǔn)則。從是否依靠模型的角度可將系統(tǒng)辨識(shí)的方法分為兩大類(lèi)：一類(lèi)是基于模型的參數(shù)辨識(shí)，即首先建立系統(tǒng)的狀態(tài)方程和觀測(cè)方程，利用參數(shù)辨識(shí)方法對(duì)模型的參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)；另一類(lèi)是部分依靠模型或完全不依靠系統(tǒng)模型的辨識(shí)方法，利用給出的輸入和輸出數(shù)據(jù)，同步辨識(shí)出系統(tǒng)模型和模型參數(shù)[4]。

一般來(lái)說(shuō)，導(dǎo)彈氣動(dòng)參數(shù)辨識(shí)通常是基于模型的參數(shù)辨識(shí)：首先根據(jù)導(dǎo)彈特性和力學(xué)基本規(guī)律，采用推理方法，建立系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程組——狀態(tài)方程組。然后利用系統(tǒng)試驗(yàn)或系統(tǒng)運(yùn)行中測(cè)得的輸入和輸出數(shù)據(jù)，辨識(shí)出動(dòng)力學(xué)方程組中的氣動(dòng)因素，包括建立氣動(dòng)力數(shù)學(xué)模型，并辨識(shí)出氣動(dòng)力數(shù)學(xué)模型的待定參數(shù)[5]。此類(lèi)基于模型的常規(guī)辨識(shí)方法適用于離線氣動(dòng)參數(shù)辨識(shí)問(wèn)題，包括基于氣動(dòng)數(shù)據(jù)插值表的氣動(dòng)系數(shù)、氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)及配平舵偏角參數(shù)化模型的離線辨識(shí)技術(shù)，以及基于歷史飛行試驗(yàn)數(shù)據(jù)的氣動(dòng)系數(shù)、氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)、配平舵偏角模型的修正技術(shù)。所涉及的算法包括極大似然法、最小二乘方法和如粒子群優(yōu)化、混合遺傳算法等智能優(yōu)化算法[6]。

對(duì)于大多數(shù)導(dǎo)彈動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，理論建模工作比較成熟，有現(xiàn)成完整的動(dòng)力學(xué)方程組，且氣動(dòng)力數(shù)學(xué)模型有工程應(yīng)用較為簡(jiǎn)便而合理的形式。故而，導(dǎo)彈氣動(dòng)參數(shù)辨識(shí)變成了利用飛行或地面試驗(yàn)的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，估計(jì)氣動(dòng)力數(shù)學(xué)模型中未知參數(shù)的問(wèn)題。參數(shù)估計(jì)的任務(wù)是根據(jù)試驗(yàn)測(cè)得的樣本推斷未知參數(shù)的數(shù)值，因此導(dǎo)彈氣動(dòng)參數(shù)辨識(shí)問(wèn)題主要解決參數(shù)估計(jì)準(zhǔn)則和估計(jì)算法兩個(gè)問(wèn)題[7]。

通常來(lái)說(shuō)，不依靠系統(tǒng)模型的參數(shù)辨識(shí)相對(duì)基于系統(tǒng)模型的參數(shù)辨識(shí)來(lái)說(shuō)，在算法效率、辨識(shí)精度上都處于劣勢(shì)，隨著人工智能特別是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的發(fā)展，通過(guò)機(jī)器學(xué)習(xí)的方式得到逼近真實(shí)系統(tǒng)模型的訓(xùn)練模型的辨識(shí)方法，獲得了新一輪關(guān)注，在諸如氣動(dòng)參數(shù)辨識(shí)、電機(jī)參數(shù)辨識(shí)、慣性器件參數(shù)辨識(shí)等方面成為了新的研究方向[8]。目前，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在氣動(dòng)參數(shù)辨識(shí)方面已獲得較為廣泛的研究和應(yīng)用，如PNN(感知器神經(jīng)網(wǎng)絡(luò))、BP(反向傳播)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、Hopfield網(wǎng)絡(luò)等，以及近年來(lái)獲得關(guān)注的基于多層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的深度學(xué)習(xí)網(wǎng)絡(luò)，如RBM(限制玻爾茲曼機(jī))、CNN(卷積網(wǎng)絡(luò))、DBN(深度置信網(wǎng)絡(luò))等[9-11]。

本文將以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(Neural Networks，NN) 為基礎(chǔ)，研究單隱層和多隱層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在氣動(dòng)參數(shù)辨識(shí)問(wèn)題中的應(yīng)用,并針對(duì)在線氣動(dòng)參數(shù)辨識(shí)的需求，結(jié)合支撐向量機(jī)(Support Vector Machine，SVM)方法與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)，設(shè)計(jì)可行的在線氣動(dòng)參數(shù)辨識(shí)方案。

1 氣動(dòng)參數(shù)智能辨識(shí)流程設(shè)計(jì)

當(dāng)導(dǎo)彈飛行時(shí)，縱橫向運(yùn)動(dòng)相互耦合，必須采用六自由度運(yùn)動(dòng)方程作為導(dǎo)彈動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，其中氣動(dòng)參數(shù)是未知的。首先給定氣動(dòng)參數(shù)的一組初估值，計(jì)算六自由度運(yùn)動(dòng)方程對(duì)輸入測(cè)量值的響應(yīng)，并與真實(shí)系統(tǒng)輸出的測(cè)量值進(jìn)行比較，判斷是否滿足一定的等價(jià)準(zhǔn)則，如果不滿足，則修正氣動(dòng)參數(shù)。反復(fù)這一過(guò)程，直至滿足等價(jià)準(zhǔn)則為止，從而得到正確的氣動(dòng)參數(shù)。

智能氣動(dòng)參數(shù)辨識(shí)方法主要是基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法和SVM方法。SVM可以用于對(duì)其他方法建立的模型的參數(shù)進(jìn)行訓(xùn)練，如圖1所示。SVM可以對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)或六自由度模型的參數(shù)，以及其他一些算法的參數(shù)進(jìn)行學(xué)習(xí)。SVM可直接利用輸入輸出數(shù)據(jù)進(jìn)行訓(xùn)練，給出訓(xùn)練后的模型，同時(shí)給出關(guān)注的參數(shù)，也可以對(duì)經(jīng)其他方法處理后的樣本進(jìn)行學(xué)習(xí)。SVM還可用于子樣的擴(kuò)充，即利用已有的小樣本數(shù)據(jù)作為SVM的原始訓(xùn)練樣本，尋找SVM的最優(yōu)參數(shù)，繼而用訓(xùn)練后的模型對(duì)小樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)擴(kuò)充。并且，針對(duì)在線參數(shù)辨識(shí)問(wèn)題，可以將SVM方法與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)合使用。即利用SVM的快速和少數(shù)支撐向量決定結(jié)果的特點(diǎn)，設(shè)計(jì)模型修訂策略，在線對(duì)已經(jīng)離線訓(xùn)練好的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型進(jìn)行修訂。

圖1 結(jié)合SVM的氣動(dòng)參數(shù)智能辨識(shí)Fig.1 Intelligent parameters identification with SVM

傳統(tǒng)的氣動(dòng)參數(shù)辨識(shí)需要解決的是參數(shù)估計(jì)準(zhǔn)則和估計(jì)算法問(wèn)題，而智能參數(shù)辨識(shí)主要解決的是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的網(wǎng)絡(luò)模型、輸入輸出數(shù)據(jù)和網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練問(wèn)題。

2 導(dǎo)彈氣動(dòng)參數(shù)智能在線辨識(shí)方案設(shè)計(jì)

在對(duì)導(dǎo)彈氣動(dòng)參數(shù)進(jìn)行在線辨識(shí)時(shí)，應(yīng)著重考慮快速性和準(zhǔn)確性，并考慮一定的自適應(yīng)性。其基本的辨識(shí)模型和辨識(shí)方法與離線工況類(lèi)似，不同之處在于要結(jié)合離線辨識(shí)的結(jié)果，針對(duì)在線辨識(shí)的時(shí)間、計(jì)算量等較為嚴(yán)苛的約束條件，設(shè)計(jì)合理的辨識(shí)流程和方案。

在對(duì)離線參數(shù)辨識(shí)研究的基礎(chǔ)上，還需針對(duì)性地對(duì)模型簡(jiǎn)化和快速辨識(shí)方法及方案、流程設(shè)計(jì)進(jìn)行深入研究。

2.1 氣動(dòng)參數(shù)辨識(shí)模型的簡(jiǎn)化

可按如下兩種思路對(duì)氣動(dòng)參數(shù)辨識(shí)的模型進(jìn)行簡(jiǎn)化：一是通過(guò)參數(shù)分析，減少待辨識(shí)參數(shù)數(shù)量，降低辨識(shí)模型維度；二是結(jié)合特定辨識(shí)方法，將基本模型拆解為多個(gè)簡(jiǎn)單的、低維的待辨識(shí)模型。

假定氣動(dòng)參數(shù)辨識(shí)基本模型(具體的模型將以基本模型為基礎(chǔ)，根據(jù)導(dǎo)彈的特點(diǎn)進(jìn)行一定的修正，然后可根據(jù)實(shí)際需求選擇狀態(tài)變量和觀測(cè)變量，建立相應(yīng)的狀態(tài)方程和觀測(cè)方程)如下：

(1)

2.2 在線快速辨識(shí)算法

通過(guò)濾波的方法可以把改變參數(shù)估計(jì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題，依據(jù)飛行器系統(tǒng)實(shí)際情況，采用連續(xù)估計(jì)模型，并通過(guò)離散時(shí)間測(cè)量和離散濾波算法達(dá)到實(shí)時(shí)效果。針對(duì)一般問(wèn)題，擴(kuò)展卡爾曼濾波、無(wú)跡卡爾曼濾波、自校正濾波等算法均能保持良好的濾波質(zhì)量和收斂速度。其中，自校正濾波采用的現(xiàn)代時(shí)間序列分析方法是最優(yōu)濾波的新方法論?；竟ぞ邽橄蛄孔曰貧w滑動(dòng)平均模型(Autoregressive Moving Average，ARMA)， 因其在快速參數(shù)估計(jì)上的口碑，本文采用ARMA模型來(lái)提高在線估計(jì)速度。

現(xiàn)代時(shí)間序列分析方法的理論基礎(chǔ)是白噪聲估計(jì)理論，利用該理論可以解決狀態(tài)和信號(hào)估計(jì)問(wèn)題的機(jī)理是：由狀態(tài)空間模型或傳遞函數(shù)模型，可將系統(tǒng)狀態(tài)和信號(hào)表為輸入白噪聲、觀測(cè)白噪聲和觀測(cè)信號(hào)三者的線性組合，因而可將狀態(tài)和信號(hào)估計(jì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為白噪聲估計(jì)和觀測(cè)信號(hào)預(yù)報(bào)問(wèn)題，即狀態(tài)空間模型可按規(guī)則轉(zhuǎn)化為ARMA模型，二者是等價(jià)的。用ARMA的遞推辨識(shí)器伴隨最優(yōu)濾波器得到自校正濾波器。采用某種辨識(shí)方法估計(jì)ARMA模型參數(shù)，用其代替真實(shí)值代入最優(yōu)濾波器，得到相應(yīng)的次優(yōu)濾波器。如參數(shù)估值收斂，則此次優(yōu)濾波器漸進(jìn)于相應(yīng)的最優(yōu)濾波器。

(1)ARMA模型

設(shè)系統(tǒng)的隨機(jī)輸入e(t)∈Rm為m維白噪聲Ee(t)=0，E[e(t)Te(j)]=Qeδtj，其中δtj=1(t=j)，δtj=0(t≠j)，且輸出y(t)∈Rm，有模型y(t)∈Rm

y(t)+A1y(t-1)+…+Anay(t-na)=
C0e(t)+C1e(t-1)+…+Cnce(t-na)

(2)

其中Ai、Ci為m×m系數(shù)陣，na、nc為模型階次。

引入q-1為滯后算子，滿足

q-1x(t)=x(t-1)

(3)

并引入多項(xiàng)式矩陣

A(q-1)=Im+A1q-1+…+Anaq-na

(4)

C(q-1)=C0+C1q-1+…+Cncq-nc

(5)

則ARMA模型可表示為

A(q-1)y(t)=C(q-1)e(t)

(6)

在不引起混淆的情形下，可省略q-1，記為

Ay(t)=Ce(t)

(7)

(2)狀態(tài)空間模型與ARMA模型的轉(zhuǎn)化

狀態(tài)空間模型與ARMA模型可以相互轉(zhuǎn)化。通過(guò)如下轉(zhuǎn)化過(guò)程，可將參數(shù)辨識(shí)的基本狀態(tài)空間模型轉(zhuǎn)化為ARMA模型，之后可利用估計(jì)方法求解。

為了表述方便，首先將狀態(tài)空間模型寫(xiě)為：

x(t+1)=Φx(t)+Γw(t)

(8)

y(t+1)=Hx(t)+ν(t)

(9)

引入無(wú)關(guān)測(cè)噪聲信號(hào)s(t)=Hx(t)，則有

s(t)=H(In-q-1Φ)-1q-1w(t)

(10)

利用矩陣求逆公式有如下ARMA模型

det(In-q-1Φ)s(t)=Ηadj(In-q-1Φ)-1Γq-1w(t)

(11)

y(t)=s(t)+ν(t)

(12)

現(xiàn)代時(shí)間序列分析方法的基本工具是ARMA新息模型，而Kalman濾波的基本工具是Riccati方程的求解。比較構(gòu)造ARMA新息模型和Riccati方程求解的計(jì)算量，可以得出結(jié)論：在Kalman濾波方法中，用迭代法求解Riccati方程，要求進(jìn)行m×m矩陣求逆和n×n矩陣的乘法運(yùn)算；而現(xiàn)代時(shí)間序列分析方法中，用Gevers-Wbuters迭代算法構(gòu)造ARMA新息模型要求m×m矩陣求逆和m×m矩陣的乘法運(yùn)算。因此當(dāng)n>m時(shí)，通常構(gòu)造ARMA模型的計(jì)算量要比求解Riccati方程小。

2.3 在線快速辨識(shí)方案設(shè)計(jì)

在上述參數(shù)辨識(shí)方法的研究基礎(chǔ)上，可設(shè)計(jì)采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法結(jié)合SVM方法的在線辨識(shí)方案：

1)利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行離線學(xué)習(xí)，訓(xùn)練和校核神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型(或系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型)的參數(shù)，然后在此基礎(chǔ)上簡(jiǎn)化(考慮參數(shù)靈敏度、參數(shù)重要程度、參數(shù)影響程度)和設(shè)計(jì)(結(jié)合SVM)在線辨識(shí)模型。

2)在線辨識(shí)時(shí)不再對(duì)模型進(jìn)行復(fù)雜訓(xùn)練，可采用固定參數(shù)、參數(shù)切換和利用SVM在線快速修正幾種不同方式，避免在線進(jìn)行大量計(jì)算且能夠有效節(jié)省存儲(chǔ)空間。其中，將重點(diǎn)研究結(jié)合SVM的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在線快速修正技術(shù)，即利用SVM的特點(diǎn)，在新的數(shù)據(jù)處于分類(lèi)間隔外時(shí)，不對(duì)辨識(shí)模型進(jìn)行修正；反之，通過(guò)更新支撐向量的方式快速修正模型。

3)對(duì)模型的描述(包括離線模型建立及其訓(xùn)練階段)采用現(xiàn)代時(shí)間序列分析方法，以進(jìn)一步滿足在線要求，在線計(jì)算過(guò)程中的優(yōu)化方法也將采用遞推最小二乘、混合蛙跳等計(jì)算量較小的方法。

最終采用的在線智能快速氣動(dòng)參數(shù)辨識(shí)方案如圖2所示。

圖2 導(dǎo)彈氣動(dòng)參數(shù)在線快速辨識(shí)方案Fig.2 Project of online missile aerodynamic parameters identification

3 基于小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的氣動(dòng)參數(shù)辨識(shí)

本文首先采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的小波網(wǎng)絡(luò)(Wavelet Neural Network, WNN)建模方法進(jìn)行氣動(dòng)參數(shù)辨識(shí)方法研究。

3.1 小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建

小波建模首先根據(jù)樣本數(shù)據(jù)的時(shí)頻特性，初步確定出可用的小波基函數(shù)及其數(shù)目L，然后根據(jù)預(yù)測(cè)誤差最小的思想將樣本數(shù)據(jù)分成兩部分，進(jìn)一步按輸出均方誤差準(zhǔn)則確定出模型的最優(yōu)小波基數(shù)目S，同時(shí)進(jìn)行優(yōu)選確定相應(yīng)的小波基函數(shù)集，最后，選擇參數(shù)調(diào)整訓(xùn)練算法確定小波網(wǎng)絡(luò)權(quán)值。

小波網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中包括隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)確定和節(jié)點(diǎn)激勵(lì)函數(shù)選取兩個(gè)方面。在實(shí)際應(yīng)用中，一般選取具有單隱層的3層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。單隱層前向神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)非線性函數(shù)的逼近研究得最早，且理論上早已證明單隱層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能以任意精度逼近連續(xù)函數(shù)。

常用的激活函數(shù)有δ(x)=1/1+e-x，δ(x)=(ex-e-x)/(ex+e-x)等。小波網(wǎng)絡(luò)與一般前向神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)不同之處在于隱層神經(jīng)元的激活函數(shù)為小波函數(shù)，并且每個(gè)激活函數(shù)的參數(shù)都不同。

本文選用連續(xù)參數(shù)小波網(wǎng)絡(luò)，即小波參數(shù)(aj,bj)是連續(xù)變化的，單輸入單輸出網(wǎng)絡(luò)模型可表示為：

(13)

wj為輸出變量與第j個(gè)小波基之間的連接權(quán)值，aj和bj分別為小波基的伸縮和平移參數(shù)，S為小波基的個(gè)數(shù)。上面結(jié)構(gòu)中加入了線性項(xiàng)cx+d,它反映系統(tǒng)的線性特性，這在實(shí)際應(yīng)用中是非常有意義的，因?yàn)閷?shí)際系統(tǒng)是線性和非線性的統(tǒng)一，一定條件下可表現(xiàn)出明顯的線性特性，特別是對(duì)于導(dǎo)彈氣動(dòng)系數(shù)的建模，系數(shù)同時(shí)具有線性和非線性特性，加入一些具有明確物理意義的線性項(xiàng)是適當(dāng)?shù)模@既能擴(kuò)展模型的適用范圍，又能提高建模精度。

對(duì)于多輸入多輸出(MIMO)系統(tǒng)建模，可以得到類(lèi)似的結(jié)構(gòu)形式。因?yàn)闅鈩?dòng)力系數(shù)模型屬于多輸入多輸出系統(tǒng)，所以下文主要針對(duì)MIMO系統(tǒng)的建模展開(kāi)論述。

設(shè)p維輸入向量為X,X∈Rn,q維輸出向量為Y,小波網(wǎng)絡(luò)的隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)量隨輸入維數(shù)p呈指數(shù)級(jí)增長(zhǎng)。假設(shè)單輸入時(shí)隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)為n，在p維輸入情況下采用小波基標(biāo)量積的方式構(gòu)造網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，即用式(14)構(gòu)造多維小波網(wǎng)絡(luò)隱節(jié)點(diǎn)函數(shù)。

ψ(x1,x2,…,xp)=ψ(x1)ψ(x2)…ψ(xp)

(14)

則所需隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)就變?yōu)閚p，隨著輸入維數(shù)的增加，隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)將達(dá)到很高的數(shù)量級(jí)，這就是小波網(wǎng)絡(luò)的所謂“維數(shù)災(zāi)(curse of dimensionality)”問(wèn)題。

輸入和輸出的關(guān)系式可表示如下：

(15)

Y=W×ψ+CX+D

(16)

其中權(quán)值和參數(shù)矩陣表達(dá)式為：

(17)

3.2 小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練

訓(xùn)練采用基于最小二乘的遞推正交最小二乘法(ROLS算法)。正交最小二乘算法雖然避免了求逆矩陣，但當(dāng)N很大時(shí)，QR分解計(jì)算量非常大，難于實(shí)現(xiàn)在線計(jì)算。因此，本小節(jié)將采用ROLS算法來(lái)實(shí)現(xiàn)QR分解。

(18)

(19)

J(W(n))取極小值的線性輸出權(quán)矩陣W(n)和n組樣本輸入時(shí)網(wǎng)絡(luò)輸出與期望輸出的偏差分別計(jì)算如下：

(20)

(21)

ROLS訓(xùn)練的算法程序如下：

可以看到，ROLS算法解決了矩陣H為病態(tài)的問(wèn)題；W為唯一確定且誤差平方和最小；不需要計(jì)算中間步驟的W(n)；每增加一組新數(shù)據(jù)，做L次變換，計(jì)算量小，可用于參數(shù)的在線辨識(shí)。

4 結(jié)合SVM方法的氣動(dòng)參數(shù)辨識(shí)

在氣動(dòng)參數(shù)辨識(shí)中，可將多個(gè)參數(shù)的辨識(shí)問(wèn)題處理為測(cè)量值與預(yù)測(cè)值之間誤差的正負(fù)分類(lèi)，然后利用諸如最小二乘、極大似然、智能算法等方法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。也可按一對(duì)其余的或一對(duì)一辦法轉(zhuǎn)化為多個(gè)二分類(lèi)問(wèn)題，再求解對(duì)應(yīng)的回歸問(wèn)題。

4.1 SVM對(duì)回歸問(wèn)題的求解

SVM用于回歸問(wèn)題的基本思想是：根據(jù)觀測(cè)數(shù)據(jù)y=[y1,y2,…,yl]T估計(jì)未知函數(shù)f(x,w)的參數(shù)w=[w1,w2,…,wl]T，即

y=f(x,w)+b

(22)

式中，b表示觀測(cè)值與預(yù)測(cè)值間的誤差，x表示特征變量，與對(duì)應(yīng)的觀測(cè)數(shù)據(jù)y組成訓(xùn)練數(shù)據(jù)集合，{(x1,y1),(x2,y2),…,(xl,yl)}。

未知函數(shù)項(xiàng)f(x,w)可表示為：

(23)

式中，Φ(·)為將訓(xùn)練數(shù)據(jù)從輸入空間映射到希爾伯特(Hilbert)空間的函數(shù)。

針對(duì)氣動(dòng)參數(shù)辨識(shí)問(wèn)題，y=[y1,y2,…,yl]T為觀測(cè)數(shù)據(jù)，x對(duì)應(yīng)于待辨識(shí)的參數(shù)(氣動(dòng)系數(shù)、氣動(dòng)系數(shù)導(dǎo)數(shù)或模型的參數(shù))，f(x,w)為未知的，用于描述待辨識(shí)參數(shù)和觀測(cè)數(shù)據(jù)之間關(guān)系的函數(shù)。

用于回歸問(wèn)題的SVM又稱支撐向量回歸機(jī)(Support Vector Regression, SVR)，其模型可表示為：

(24)

式中，ε表示SVR預(yù)測(cè)值與實(shí)際值之間的最大誤差。在ε合適的情況下，式(24)可得可行解。二維平面下的幾何意義是所有訓(xùn)練點(diǎn)都應(yīng)該在回歸直線的ε之內(nèi)。

在實(shí)際應(yīng)用中，存在干擾、誤差等各種因素，通常不能夠求出可行解。因此，引入ξ、ξ*容許少量實(shí)例的訓(xùn)練誤差落到ε外：

(25)

其中，每個(gè)訓(xùn)練實(shí)例都有對(duì)應(yīng)的ξ、ξ*，用于確定該實(shí)例的訓(xùn)練誤差是否落在ε之外，懲罰系數(shù)C用于調(diào)節(jié)訓(xùn)練模型，避免模型過(guò)擬合或欠擬合。

式(25)是定義在Hilbert空間上的凸二次規(guī)劃問(wèn)題，難以直接求解。引入拉格朗日乘子a、a*、β、β*，得到拉格朗日方程：

(26)

當(dāng)拉格朗日函數(shù)對(duì)個(gè)變量的1階偏導(dǎo)數(shù)等于0時(shí)，原問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)取最小值，即：

(27)

可得到回歸估計(jì)函數(shù)的參數(shù)：

(28)

同時(shí)得到了原優(yōu)化問(wèn)題的對(duì)偶問(wèn)題：

(29)

(30)

從而有未知函數(shù)可寫(xiě)為：

(31)

為了便于計(jì)算，通常將Φ(xi)TΦ(x)用核函數(shù)代替，即：

K(xi,x)=〈Φ(xi)TΦ(x)〉

(32)

于是有

(33)

(34)

(35)

從而得到回歸估計(jì)函數(shù)為：

(36)

在諸多核函數(shù)中，采用徑向基核函數(shù)(Radial Biasis Kernel Function，RBF)的SVM對(duì)非線性系統(tǒng)有較好的逼近能力。所以在對(duì)非線性系統(tǒng)進(jìn)行黑箱辨識(shí)時(shí)，選取RBF核函數(shù)的精度比較高，而對(duì)于線性系統(tǒng)進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)時(shí)，多采用線性核函數(shù)。

4.2 基于SVM的小子樣修正問(wèn)題

氣動(dòng)參數(shù)辨識(shí)中往往會(huì)面臨樣本數(shù)不充足的問(wèn)題，此時(shí)可采用基于SVM的小樣本修正。利用已有的小樣本數(shù)據(jù)作為SVM的原始訓(xùn)練樣本，采用網(wǎng)格搜索法尋找SVM的最優(yōu)參數(shù)，繼而用訓(xùn)練后的模型對(duì)小樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)擴(kuò)充，最后利用擴(kuò)充的樣本進(jìn)行可靠性參數(shù)估計(jì)。方法利用了SVM在處理小樣本回歸問(wèn)題上的優(yōu)勢(shì)，無(wú)需先驗(yàn)知識(shí)，有效改善了最小二乘參數(shù)估計(jì)對(duì)樣本容量非常敏感的問(wèn)題。

5 飛行器在線參數(shù)辨識(shí)仿真結(jié)果對(duì)比

仿真工況設(shè)置如下：

1)飛行器為再入飛行器，保持縱平面內(nèi)飛行；

2)飛行器外形為軸對(duì)稱，橫截面為半橢圓形；

3)仿真中所用飛行器氣動(dòng)數(shù)據(jù)以CFD軟件仿真結(jié)果為“真實(shí)值”，離線訓(xùn)練數(shù)據(jù)用“真實(shí)值”+單向20%均值隨機(jī)偏差獲得；歷史飛行數(shù)據(jù)用“真實(shí)值”+10%單向隨機(jī)偏差生成；實(shí)際飛行數(shù)據(jù)分為兩組，第一組與歷史飛行數(shù)據(jù)生成方法一致，第二組在“真實(shí)值”基礎(chǔ)上附加單向5%隨機(jī)偏差，用于考核在線修正性能。上述偏差均為正態(tài)分布。

4)離線樣本數(shù)每次仿真使用10000組；歷史飛行數(shù)據(jù)樣本數(shù)每次仿真使用10～100組；實(shí)際飛行數(shù)據(jù)每次使用1組。

5)本文重點(diǎn)分析各辨識(shí)算法，尤其是智能方法在在線氣動(dòng)參數(shù)辨識(shí)的可用情況，因此，將氣動(dòng)力和氣動(dòng)力矩模型簡(jiǎn)化至1階。

6)用于對(duì)比的辨識(shí)方法包括：傳統(tǒng)的最小二乘準(zhǔn)則及最小二乘優(yōu)化、傳統(tǒng)極大似然準(zhǔn)則及優(yōu)化方法、極大似然準(zhǔn)則加粒子群優(yōu)化、單層小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、結(jié)合SVM方法可在線調(diào)整參數(shù)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、利用SVM擴(kuò)充樣本的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。

經(jīng)過(guò)1000次仿真后，分別對(duì)0階氣動(dòng)力、0階氣動(dòng)力矩、1階氣動(dòng)力、1階氣動(dòng)力矩參數(shù)的辨識(shí)結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，求取相對(duì)于“真實(shí)值”的誤差均值，最終得到的對(duì)比結(jié)果如表1～表4所示。

表1 0階氣動(dòng)力參數(shù)辨識(shí)對(duì)比(3σ)

表2 0階氣動(dòng)力矩參數(shù)辨識(shí)對(duì)比(3σ)

表3 1階氣動(dòng)力參數(shù)辨識(shí)對(duì)比(3σ)

表4 1階氣動(dòng)力矩參數(shù)辨識(shí)對(duì)比(3σ)

可以看到，利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的智能參數(shù)辨識(shí)方法與“真實(shí)值”相比的辨識(shí)精度上比傳統(tǒng)方法有3%～10%的提高。并且，辨識(shí)結(jié)果相對(duì)真實(shí)值的誤差與生成離線訓(xùn)練數(shù)據(jù)相對(duì)“真實(shí)值”增加的偏差均值(20%)更為接近，說(shuō)明利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能夠更好地?cái)M合復(fù)雜的氣動(dòng)模型。

表5中的數(shù)據(jù)是在相同的配置和仿真試驗(yàn)條件下獲得的，其中離線訓(xùn)練采用10000組數(shù)據(jù)、離線修正采用100組數(shù)據(jù)。在線辨識(shí)速度給出的是連續(xù)運(yùn)行1000組仿真的平均時(shí)耗。

表5 氣動(dòng)參數(shù)辨識(shí)效率對(duì)比

可以看到，雖然利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的智能方法需要較長(zhǎng)的訓(xùn)練時(shí)間，但其在線運(yùn)算速度耗時(shí)很少。建模時(shí)采用ARMA模型的現(xiàn)代時(shí)間序列分析能夠稍微提高傳統(tǒng)辨識(shí)的速度，但相對(duì)于不需要在線訓(xùn)練或采用簡(jiǎn)化在線調(diào)整的智能辨識(shí)方法，辨識(shí)速度的提升很有限。

6 結(jié)論

本文研究了基于智能方法的飛行器氣動(dòng)參數(shù)在線快速辨識(shí)問(wèn)題。首先給出了基于智能方法參數(shù)辨識(shí)的辨識(shí)流程，然后在此基礎(chǔ)上，從簡(jiǎn)化模型、提升算法效率、設(shè)計(jì)合理辨識(shí)流程3方面出發(fā)設(shè)計(jì)了氣動(dòng)參數(shù)智能在線辨識(shí)方案。然后，本文給出了基于小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的氣動(dòng)參數(shù)辨識(shí)模型，并結(jié)合辨識(shí)流程和方案，將SVM方法引入智能氣動(dòng)參數(shù)辨識(shí)過(guò)程中。最后，在給定的假設(shè)條件和仿真工況下，進(jìn)行了大量的仿真并對(duì)結(jié)果進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)。結(jié)果表明，本文提出的氣動(dòng)參數(shù)智能在線快速辨識(shí)方案辨識(shí)精度比傳統(tǒng)方法提高了3%～10%，且對(duì)訓(xùn)練數(shù)據(jù)的擬合精度更高；同等條件下，智能在線快速辨識(shí)的時(shí)耗僅為傳統(tǒng)方法的1/10左右,說(shuō)明本文提出的智能氣動(dòng)參數(shù)在線快速辨識(shí)方案具有較高的應(yīng)用價(jià)值。