基于TIT2FS幾何度量的LINMAP方法

彭 潁，毛軍軍,1b，張鳳曉，鄒 斌

（1.安徽大學(xué)a.數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院；b.計算智能與信號處理教育部重點實驗室；2.安徽廣播電視大學(xué) 教育科學(xué)學(xué)院，合肥 230601）

0 引言

近年來，模糊理論受到研究者的廣泛關(guān)注。在模糊的研究中美國控制論專家Zadeh[1]首先提出模糊集合理論，此后研究者在該理論的基礎(chǔ)上更進(jìn)一步的完善和推廣。首先模糊集是帶有精確定義的隸屬函數(shù)或隸屬度，然而在實際中，有時隸屬度仍表現(xiàn)出模糊性，使之很難用一個數(shù)值表示，由此提出區(qū)間二型模糊集。其次，當(dāng)人類在描述評價客觀事物時，更慣用語言方式。為了更加貼切人類的正常思維及生活方式，進(jìn)而不同語言評價值的處理方式日益受到研究者的青睞。

目前語言評價值的處理方法主要有以下3種:將語言信息轉(zhuǎn)化為模糊數(shù)來計算、使用語言下標(biāo)處理語言信息、將語言轉(zhuǎn)化為二元語義處理。隨著對模糊集理論的探索與研究，第一種方法更受到廣大研究者與決策者的關(guān)注[2-9]，因而衍生出區(qū)間梯形二型模糊集，它能夠有效客觀的將語言評估轉(zhuǎn)變成數(shù)字變量。以區(qū)間梯形二型模糊向量與其近似正負(fù)理想的幾何度量給出擬合指數(shù)，再結(jié)合區(qū)間二型LINMAP方法得到最佳的決策選擇，這樣既簡化計算又合理精確。

1 基本概念

區(qū)間二型模糊集的基本概念會廣泛應(yīng)用于本文中，在這部分會做一個簡短的回顧，從經(jīng)典模糊集到更具廣泛性的區(qū)間二型模糊集以及基于區(qū)間二型模糊環(huán)境下的區(qū)間二型梯形模糊數(shù)，它將會用于本文的決策規(guī)劃中，是本文探討的根本。

1.1 區(qū)間二型模糊集的基本概念

定義1[9]：設(shè)X為論域，則定義在X上的二型模糊集A表示[0， 1]}，fx()

u∈[0，1]}。其中Jx表示論域X中元素x對于A的主隸屬函數(shù)，u是Jx中的某一個主隸屬函數(shù)值；對全部的稱為x關(guān)于A的次隸屬函數(shù)。

定義2[9]：設(shè)A是論域X上的二型模糊集，若對?u∈Jx有，則A稱為論域X上的區(qū)間二型模糊集，表示為:。這里μA()x是x對A的主隸屬度。

1.2 決策環(huán)境下的區(qū)間梯形二型模糊集

區(qū)間梯形二型模糊集是區(qū)間二型模糊集的特例，考慮多準(zhǔn)則決策問題時，本文用區(qū)間梯形二型模糊集來表示評估等級。其中定義為決策的m個選擇，讓x1，x2和xn表示c1，c2和cn的相應(yīng)的數(shù)值。集合C可以分成CI和CII兩個集合，CI表示利潤標(biāo)準(zhǔn)，CII表示成本標(biāo)準(zhǔn)，CI∩CII=?，CI∪CII=C。

定義3[10]：對任意非負(fù)梯形模糊數(shù)Aij(Aij∈[0，1]) ，和μAiU()

x分別為Aij的下隸屬函數(shù)和上隸屬函數(shù)(xj∈X)，區(qū)間二型梯形模糊數(shù)Aij表示為：

令wj是每個標(biāo)準(zhǔn)cj∈C的權(quán)重，其滿足標(biāo)準(zhǔn)化條件，且。設(shè)未知的標(biāo)準(zhǔn)C的權(quán)重向量為，需要借助后面提出的區(qū)間二型模糊LINMAP方法解得。

2 區(qū)間梯形二型模糊環(huán)境下的不確定性幾何度量

2.1 區(qū)間二型梯形模糊向量

區(qū)間二型模糊集是區(qū)間一型模糊集模糊化的結(jié)果，即對一般集合描述事物的再一次模糊化，這是區(qū)間二型模糊的鮮明特征?，F(xiàn)在考慮是否以向量形式將本文中的區(qū)間梯形二型模糊集表示出來，以下給出定義及說明。

定義4：從非負(fù)區(qū)間梯形二型模糊數(shù)Aij中任取兩個模糊數(shù)，用Af、Ag表示：

將其化為模糊向量，記為：

因為區(qū)間二型模糊數(shù)是對一型模糊數(shù)的進(jìn)一步模糊化，為了保證區(qū)間梯形二型模糊數(shù)的有效性，區(qū)間梯形二型模糊數(shù)在轉(zhuǎn)化為模糊向量時不改變其數(shù)值，將其整體視為向量。模糊數(shù)中各項均為大于0小于1的數(shù)，此證明見文獻(xiàn)[10]。

圖1 模糊向量投影

2.2 區(qū)間二型梯形模糊向量的近似理想

區(qū)間二型梯形模糊向量近似理想的引用，一是為了說明當(dāng)區(qū)間梯形二型模糊數(shù)轉(zhuǎn)化成向量時其幾何夾角問題，二是為了引出本文對區(qū)間梯形二型模糊向量給出排序的關(guān)鍵。若將正負(fù)理想用于區(qū)間梯形二型模糊數(shù)中，則得到的正負(fù)理想并非是區(qū)間梯形二型模糊數(shù)，因此采用文獻(xiàn)[10]提出的近似正負(fù)理想并向量化。

在標(biāo)準(zhǔn)cj∈C下，由式（7）、式（8）得近似正負(fù)理想向量和具體表示下：

有了二型梯形模糊數(shù)的近似正負(fù)理想，可以得到在某標(biāo)準(zhǔn)下的近似正負(fù)理想的模糊數(shù)，由定義5將一組二型梯形模糊數(shù)轉(zhuǎn)化為向量后，可以知道這一組模糊向量的近似正負(fù)理想必將這組模糊向量包含其中，因此可以通過近似正負(fù)理想的向量得出這組模糊向量的夾角范圍及其性質(zhì)。

當(dāng)一組模糊數(shù)的近似正負(fù)理想向量相等時，此時向量夾角最小為0同時余弦值最大，有

證明：由余弦本身的特征可知（1）、（2）顯然成立；欲證（3）將向量做幾何投影到平面oxy上，依據(jù)空間向量投影公式和反余弦函數(shù)，（3）顯然成立。

3 區(qū)間二型模糊LINMAP方法

3.1 擬合指數(shù)

在許多前人研究中，大多使用所選擇方案與其正負(fù)理想之間的距離，作為組成貼近度系數(shù)的成分。為了得到更為合理精確的貼近度系數(shù)，有時會通過計算對不同距離公式進(jìn)行比較，從而產(chǎn)生大量復(fù)雜的運算，如文獻(xiàn)[10]中的閔可夫斯基距離公式。為了區(qū)分模糊數(shù)的貼近度，本文給出基于區(qū)間梯形二型模糊向量的擬合指數(shù)，設(shè)為非負(fù)區(qū)間梯形二型模糊向量--Aij，在標(biāo)準(zhǔn)cj下選擇zi的擬合指數(shù)公式為：

3.2 最優(yōu)模型

基于區(qū)間梯形二型模糊向量解決多準(zhǔn)則決策問題的LINMAP方法，文獻(xiàn)[10]給出了區(qū)間二型模糊LINMAP方法，基于區(qū)間梯形二型模糊向量我們對其作出改進(jìn)。

定義7：假設(shè)Ω為一系列表示選擇方案偏好關(guān)系的有序?qū)希跇?biāo)準(zhǔn)cj∈C下的未知權(quán)重向量是w=(w1，則選擇方案zi∈Z的綜合擬合指數(shù)WIi表示為：

上文提到當(dāng)決策者所表達(dá)的偏好排序與計算的排序不一致時，需要盡可能減小這種不一致性?，F(xiàn)假設(shè)zf偏好于zg，相應(yīng)的應(yīng)滿足FIf≥FIg。依照這種規(guī)則定義Ω中一致性系數(shù)和不一致性系數(shù)公式如下：

為Ω中所有有序?qū)σ恢滦韵禂?shù)之和;

為Ω中所有有序?qū)Σ灰恢滦灾?

G-B≥η為決策者最低接受限度，以此建立最優(yōu)模型，為了使不一致系數(shù)B最小，則最優(yōu)模型構(gòu)建為:

顯然Yfg≥0，即，此時有：

最后，通過區(qū)間二型LINMAP方法解出更為合理的最優(yōu)權(quán)重-wj，其綜合擬合指數(shù)為：

對?zi∈Z依據(jù)對m個選擇項進(jìn)行排序，從中選擇數(shù)值最大的，即為決策者的最佳選擇。

4 算例比較

參考文獻(xiàn)[10]的算例，一個化學(xué)藥品和光纖公式的高管，希望選擇合適的供應(yīng)商，以減小供應(yīng)鏈的風(fēng)險和不確定性，最后從中選出5個供應(yīng)商。

第二步：供應(yīng)商候選人的語言評估等級（見表1）構(gòu)建區(qū)間梯形二型模糊數(shù)Aij，并轉(zhuǎn)化成區(qū)間梯形二型模糊向量。

表1 語言評估等級

第三步，假設(shè)決策者對這5個供應(yīng)商提供的成對比較信息為：

第四步，構(gòu)建標(biāo)準(zhǔn)cj∈C下的近似正負(fù)理想模糊向量；計算擬合指數(shù)FIij：

得到近似正負(fù)理想的區(qū)間梯形二型模糊向量。應(yīng)用式（11）將基于上面所求得的模糊向量做擬合指數(shù)的計算。如表2所示。

表2 擬合指數(shù)

第五步，假設(shè)決策者可接受最低限度η=0.3，w=(w1，w2，...，wn)為未知權(quán)重，滿足wj≥0，j=1，2，3，4 ，序?qū)?Ω=，應(yīng)用線性規(guī)劃模型，得：

第六步，應(yīng)用解得的wˉ，應(yīng)用式（15）計算綜合擬合指數(shù)如下：

5 結(jié)論

本文給出了區(qū)間梯形二型模糊向量的定義，及相關(guān)性質(zhì)的證明。在此基礎(chǔ)上引出模糊向量的近似正負(fù)理想，利用區(qū)間梯形二型模糊向量與其近似正負(fù)理想之間的夾角關(guān)系，提出擬合指數(shù)和綜合擬合指數(shù)。以往選擇距離公式計算擬合指數(shù)，有時需要比較哪種距離公式更為合理精確，增加了計算量和復(fù)雜程度。本文提出的擬合指數(shù)公式簡化復(fù)雜的運算，同時保證了其結(jié)果的合理精確性。最后使用區(qū)間二型LINMAP方法，對方案進(jìn)行排序得到最優(yōu)方案。