遷移理論在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用初探

朱志堅(jiān)

2016年9月，《中國學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)》正式公布，構(gòu)建了“三個(gè)方面、六大素養(yǎng)、十八個(gè)基本點(diǎn)”的核心素養(yǎng)體系，旨在培養(yǎng)全面發(fā)展的人。我們身為人民教師，在課堂上除了教會(huì)學(xué)生學(xué)習(xí)文化知識(shí)以外，更重要是讓學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)。在各種各樣的教學(xué)方法中，其中運(yùn)用認(rèn)知結(jié)構(gòu)遷移理論進(jìn)行教學(xué)，適當(dāng)培養(yǎng)學(xué)生遷移知識(shí)的能力，可盡量做到“舉一反三、觸類旁通”的教學(xué)效果。

一、認(rèn)知結(jié)構(gòu)遷移理論

認(rèn)知結(jié)構(gòu)遷移理論是奧蘇貝爾于1963年在有意義言語學(xué)習(xí)理論的基礎(chǔ)上提出，這一理論認(rèn)為，一切有意義的學(xué)習(xí)都是在原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上產(chǎn)生的，不受原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)影響的有意義學(xué)習(xí)是不存在的。一切有意義的學(xué)習(xí)必然包括遷移，遷移是以認(rèn)知結(jié)構(gòu)為中介進(jìn)行的，先前學(xué)習(xí)所獲得的新經(jīng)驗(yàn)，通過影響原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的有關(guān)特征影響新學(xué)習(xí)。認(rèn)知結(jié)構(gòu)有三個(gè)變量：可利用性、可辨別性和穩(wěn)定性。原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)就是通過這三個(gè)變量對(duì)新知識(shí)的學(xué)習(xí)產(chǎn)生影響。

奧蘇伯爾還提出，我們老師先設(shè)計(jì)組織者（也稱“先行組織者”）。所謂“組織者”就是在有意義的學(xué)習(xí)中，在呈現(xiàn)正式的學(xué)習(xí)材料之前，先用淺顯、易懂的語言介紹的一些引導(dǎo)性材料。這些能充當(dāng)新舊知識(shí)“認(rèn)知橋梁”作用的材料，稱之為“組織者”。因它呈現(xiàn)在新學(xué)習(xí)材料之前，故又稱之為“先行組織者”。設(shè)計(jì)“組織者”的目的，是為新的學(xué)習(xí)任務(wù)提供觀念上的固定點(diǎn)，增加新舊知識(shí)之間的可利用性和可辨別性，以促進(jìn)類屬性的學(xué)習(xí)。也就是說，通過呈現(xiàn)"組織者"，給學(xué)習(xí)者已知的東西與需要知道的東西之間架設(shè)一道知識(shí)之橋，使他更有效地學(xué)習(xí)新材料。而且，在認(rèn)知結(jié)構(gòu)理念中，我們教師是一個(gè)組織者，要充分利用好各種材料，改變學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)變量，提高原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的可利用性、可辨別性和穩(wěn)定性，促進(jìn)新的學(xué)習(xí)和保持，產(chǎn)生正遷移的作用。

二、數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)

數(shù)學(xué)是一門研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，它具有嚴(yán)密的符號(hào)體系、獨(dú)特的公式結(jié)構(gòu)、形象的圖像語言。它的思想豐富多彩，有轉(zhuǎn)化思想，又有方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)思想、整體思想等等。在學(xué)生數(shù)學(xué)能力培養(yǎng)方面，它要求學(xué)生應(yīng)具有基礎(chǔ)運(yùn)算能力、空間想象能力、邏輯思維能力、將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題的能力等等。但是，在我們的教材體現(xiàn)中，呈現(xiàn)出來的內(nèi)容只有數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的概念、定義、定理、公式等，并且課本上的知識(shí)相當(dāng)有限。那又要如何實(shí)現(xiàn)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和建立數(shù)學(xué)思想呢？這就要求我們，在平常的教學(xué)中，充分利用好認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)遷移理論，盡量在每一堂課中，培訓(xùn)學(xué)生正確而又靈活地使用數(shù)學(xué)知識(shí)解題，產(chǎn)生正遷移，從而掌握好數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)。

三、遷移理論在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用分析

（一）數(shù)學(xué)概念教學(xué)方面的遷移

在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中，我們可以借助以前學(xué)過的知識(shí)進(jìn)行遷移。如我們?cè)谶M(jìn)行“乘方”運(yùn)算概念教學(xué)時(shí)，可這樣操作：把一張紙對(duì)折2次，可裁成4張，即2 × 2張；若對(duì)折3次，可裁成8張，即2 × 2 × 2張。

問題1：若對(duì)折10次可裁成幾張？請(qǐng)用一個(gè)算式表示（不用算出結(jié)果）。

問題2：若對(duì)折100次，算式中有幾個(gè)2相乘？

學(xué)生們可寫出：對(duì)折10次裁成的張數(shù)用以下算式計(jì)算：

是一個(gè)10個(gè)2相乘的乘積式。

對(duì)折100次裁成的張數(shù)，可用算式

計(jì)算，在這個(gè)積中有100個(gè)2相乘。

問：這么長的算式有簡單的記法嗎？

回憶我們已經(jīng)學(xué)過的乘法運(yùn)算概念。我們當(dāng)時(shí)是這樣學(xué)的：

2個(gè)a相加可記為：a + a = a x 2；

3個(gè)a相加可記為：a + a + a = a x 3；

4個(gè)a相加可記為：a + a + a + a= a x 4；

n個(gè)a相加可記為：

同樣，有邊長為a的正方形面積可記為：a · a = a2；

棱長為a的正方體體積可記為：a · a · a = a3；

那么，4個(gè)a相乘可記為：a · a · a · a= ？

n個(gè)a相乘可記為：

從而可引出乘方這個(gè)運(yùn)算概念：求n 個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算，叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做冪，記作：an。

在這里，我們成功地借鑒了乘法運(yùn)算的由來：n個(gè)相同加數(shù)的和的運(yùn)算，可用乘法表示。類似地，n 個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算呢？學(xué)生自然地想到，那它叫做什么運(yùn)算？怎樣表示它顯得更簡潔？

你看，我們教師只需將它們的相似之處放在一起，讓學(xué)生進(jìn)行比較，學(xué)生更能從中找到規(guī)律，歸納總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，輕而易舉地得出乘方概念和它的數(shù)學(xué)表示方法。

講完乘方的概念后，我們還可順勢(shì)而為，分別對(duì)乘法運(yùn)算與乘方運(yùn)算的異同之處進(jìn)行比較教學(xué)，加深學(xué)生對(duì)乘方概念的理解。

這樣的教學(xué)，我們充分應(yīng)用了認(rèn)知結(jié)構(gòu)遷移的可利用性和可辨別性，起到“舉一反三，觸類旁通”的作用，學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)生成可更加自然，理解更加深化，記憶更加深刻。

（二）數(shù)學(xué)公式應(yīng)用方面的遷移

在數(shù)學(xué)公式的教學(xué)中，我們一定要先教育學(xué)生認(rèn)識(shí)其結(jié)構(gòu)特征或其成立的條件，然后才遷移運(yùn)用到其他領(lǐng)域，靈活解題。

例如：平方差公式的教學(xué)中，我們先認(rèn)識(shí)平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2。其語言表述為：兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積等于這兩個(gè)數(shù)的平方差。

其結(jié)構(gòu)特征是：等號(hào)左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，且這兩個(gè)二項(xiàng)式中有一項(xiàng)完全相同，另一項(xiàng)互為相反數(shù)，等號(hào)右邊是乘式中兩項(xiàng)的平方差，且是相同項(xiàng)的平方減去相反項(xiàng)的平方。另外，其中字母a、b可以是具體的數(shù)，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式。

也就是說，當(dāng)我們碰到的式子滿足平方差公式的左邊特征時(shí)，我們可直接應(yīng)用此公式；或滿足平方差公式的右邊特征時(shí)，可逆用此公式。如練習(xí)題中的（-x+2y+3z）（-x -2y+3z），其中相同的項(xiàng)是（-x+3z），相反的項(xiàng)是2y或-2y，故可直接應(yīng)用平方差公式得到：（-x+3z）2 -（2y）2；又如，因式分解a4-b4時(shí)，因?yàn)閍4-b4可化為（a2）2-（b2）2，滿足平方差公式的右邊結(jié)構(gòu)，故可先分解為（a2+b2）（a2-b2）。

總之，我們教師的教學(xué)應(yīng)充分重視和利用好認(rèn)知結(jié)構(gòu)遷移，在提高效率的同時(shí)，切實(shí)提高教學(xué)質(zhì)量。在知識(shí)激增和信息革命的今天，知識(shí)的遷移更有著它的重大意義，老師應(yīng)用遷移方法進(jìn)行教學(xué)和培養(yǎng)學(xué)生將學(xué)到的知識(shí)技能成功地遷移到新的情境、新的課題，已經(jīng)是新時(shí)代下的迫不及待的要求。“為遷移而教”是有效教學(xué)的一條重要原則，“不需要教”是教學(xué)的一項(xiàng)重要目標(biāo)。老師進(jìn)行遷移方法教學(xué)，有效地培養(yǎng)學(xué)生的遷移能力，是教師實(shí)現(xiàn)“教”且為了最終“不教”的關(guān)鍵，是提高學(xué)生素質(zhì)的有效途徑。

責(zé)任編輯 徐國堅(jiān)