數(shù)列復(fù)習(xí)中常見易錯點分析及點評

洪其強(qiáng)

數(shù)列在每年的高考中必考. 但在數(shù)列的學(xué)習(xí)中，我們有時會遇到一些似是而非的問題，此類問題往往是由于我們對某些概念或公式的認(rèn)識不深，使我們在解題時容易造成一些失誤.同時，對某些特殊情形的討論，卻很容易被忽略，也就是在等價轉(zhuǎn)化的過程中，沒有注意到轉(zhuǎn)化的等價性，會經(jīng)常出現(xiàn)錯誤. 一般來說，考題中選擇題、填空題解法靈活多變，要注意題情，避免出錯. 筆者在此通過數(shù)例，分析解題過程中的致錯原因，希望能有所幫助，以期在學(xué)習(xí)中加強(qiáng)思維的嚴(yán)密性訓(xùn)練.

1. 已知Sn求an時， 易忽略n=1的情況而致錯.

例1. 數(shù)列{an}前n項和Sn且a1=1，an+1= Sn. 求a2，a3，a4的值及數(shù)列{an}的通項公式.

【錯解】易求得a2= ，a3= ，a4= . 由a1=1，an+1= Sn得an= Sn-1（n≥2）故an+1-an= Sn- Sn-1= an（n≥2）得an+1= an（n≥2）.

所以數(shù)列{an}的通項公式為an=（ ）n-1.

【分析】此題在應(yīng)用Sn與an的關(guān)系時誤認(rèn)為an=Sn-Sn-1對于任意n值都成立，忽略了對n=1的情況的驗證. 易得出數(shù)列{an}為等比數(shù)列的錯誤結(jié)論.

【解析】易求得a2= ，a3= ，a4= . 由a1=1，an+1= Sn得an= Sn-1（n≥2）故an+1-an= Sn- Sn-1= an（n≥2）得an+1= an（n≥2）又a1=1，a2= ，故該數(shù)列從第二項開始為等比數(shù)列故an=1，（n=1） （ ）n-2. （n≥2）

【點評】對于數(shù)列an與Sn之間有如下關(guān)系：an=S1，（n=1）Sn-Sn-1，（n≥2） 利用兩者之間的關(guān)系可以已知Sn求an. 但注意只有在當(dāng)a1適合an=Sn-Sn-1 （n≥2）時兩者才可以合并否則要寫分段函數(shù)的形式.

2. 利用函數(shù)知識求解數(shù)列的最大項及前n項和最大值時易忽略其定義域限制是正整數(shù)集或其子集（從1開始）而致錯.

例2. 等差數(shù)列{an}的首項a1>0，前n項和Sn，當(dāng)l≠m時，Sm=Sl . 問n為何值時Sn最大？

【錯解】由題意知Sn=f（n）=na1+ d= n2+（a1- ）n，此函數(shù)是以n為變量的二次函數(shù)，因為a1>0，當(dāng)l≠m時，Sm=Sl故d<0，即此二次函數(shù)開口向下，故由f（l）=f（m）得當(dāng)x= 時f（x）取得最大值.

【分析】等差數(shù)列的前n項和是關(guān)于n的二次函數(shù)，可將問題轉(zhuǎn)化為求解關(guān)于n的二次函數(shù)的最大值，但易忘記此二次函數(shù)的定義域為正整數(shù)集這個限制條件.

【解析】由題意知Sn=f（n）=na1+ d= n2+（a1- ）n此函數(shù)是以n為變量的二次函數(shù)，因為a1>0，當(dāng)l≠m時，Sm=Sl故d<0即此二次函數(shù)開口向下，故由f（l）=f（m）得當(dāng)x= 時f（x）取得最大值，但由于n∈N？鄢，故若l+m為偶數(shù)，當(dāng)n= 時，Sn最大. 當(dāng)l+m為奇數(shù)時，當(dāng)n= 時Sn最大.

【點評】數(shù)列的通項公式及前n項和公式都可視為定義域為正整數(shù)集或其子集（從1開始）上的函數(shù)，因此在解題過程中要樹立函數(shù)思想及觀點應(yīng)用函數(shù)知識解決問題. 特別的等差數(shù)列的前n項和公式是關(guān)于n的二次函數(shù)且沒有常數(shù)項，反之滿足形如Sn=an2+bn所對應(yīng)的數(shù)列也必然是等差數(shù)列的前n項和. 此時由 =an+b知數(shù)列中的點（n， ）是同一直線上，這也是一個很重要的結(jié)論. 此外形如前 n項和Sn=can-c所對應(yīng)的數(shù)列必為一等比數(shù)列的前 n項和.

3. 解答數(shù)列問題時沒有結(jié)合等差、等比數(shù)列的性質(zhì)解答使解題思維受阻或解答過程繁瑣而致錯.

例3. 已知關(guān)于的方程x2-3x+a=0和x2-3x+b=0的四個根組成首項為 的等差數(shù)列，求a+b的值.

【分析】注意到兩方程的兩根之和相等這個隱含條件，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)明確等差數(shù)列中的項是如何排列的.

【解析】不妨設(shè) 是方程x2-3x+a=0的根，由于兩方程的兩根之和相等，故由等差數(shù)列的性質(zhì)知方程x2-3x+a=0的另一根是此等差數(shù)列的第四項，而方程x2-3x+b=0的兩根是等差數(shù)列的中間兩項，根據(jù)等差數(shù)列知識易知此等差數(shù)列為： ， ， ， 故a= ，b= 從而a+b= .

【點評】等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)是數(shù)列知識的一個重要方面，有解題中充分運(yùn)用數(shù)列的性質(zhì)往往起到事半功倍的效果. 例如，對于等差數(shù)列{an}，若n+m=p+q，則an+am=ap+aq；對于等比數(shù)列{an}，若n+m=u+v，則an·am=au·av；若數(shù)列{an}是等比數(shù)列，Sn是其前n項的和，k∈N？鄢，那么Sk，S2k-Sk，S3k-S2k成等比數(shù)列；若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，Sn是其前n項的和，k∈N？鄢，那么Sk，S2k-Sk，S3k-S2k成等差數(shù)列等性質(zhì)要熟練和靈活應(yīng)用.

4. 用等比數(shù)列求和公式求和時，易忽略公比q=1的情況而致錯.

例4. 數(shù)列{an}中，a1=1，a2=2，數(shù)列{an·an+1}是公比為q（q>0）的等比數(shù)列.

（I）求使anan+1+an+1an+2>an+2an+3成立的q的取值范圍；

（II）求數(shù)列{an}的前2n項的和S2n .

【錯解】（II）由數(shù)列{an·an+1}是公比為q的等比數(shù)列，得 =q？圯 =q，這表明數(shù)列{an}的所有奇數(shù)項成等比數(shù)列，所有偶數(shù)項成等比數(shù)列，且公比都是q，又a1=1，a2=2，

∴ S2n=a1+a2+a3+a4+…+a2n-1+a2n

=（a1+a2+a3+…+an）+（a2+a4+a6+…+a2n）

= + = .

【分析】對于等比數(shù)列的前n項和易忽略公比q=1的特殊情況，造成概念性錯誤. 再者沒有從定義出發(fā)研究條件數(shù)列{an·an+1}是公比為q（q>0）的等比數(shù)列得到數(shù)列奇數(shù)項和偶數(shù)項成等比數(shù)列而找不到解題突破口. 使思維受阻.

【解析】（I）∵數(shù)列{an·an+1}是公比為q的等比數(shù)列，∴ an+1an+2=anan+1 q，an+2an+3=anan+1 q2，由anan+1+an+1an+2>an+2an+3，得anan+1+anan+1 q>anan+1 q2？圯1+q>q2，即q2-q-1<0（q>0），解得0

（II）由數(shù)列{an·an+1}是公比為q的等比數(shù)列，得 =q？圯 =q，這表明數(shù)列{an}的所有奇數(shù)項成等比數(shù)列，所有偶數(shù)項成等比數(shù)列，且公比都是q，又a1=1，a2=2，∴當(dāng)q≠1時，S2n=a1+a2+a3+a4+…+a2n-1+a2n

=（a1+a2+a3+…+an）+（a2+a4+a6+…+a2n）

= + = ，

當(dāng)q=1時，

S2n=a1+a2+a3+a4+…+a2n-1+a2n

=（a1+a2+a3+…+an）+（a2+a4+a6+…+a2n）

=（1+1+1+…+1）+（2+2+2+…+2）=3n.

【點評】本題中拆成的兩個數(shù)列都是等比數(shù)列，其中 =q是解題的關(guān)鍵，這種給出數(shù)列的形式值得關(guān)注.另外，不要以為奇數(shù)項、偶數(shù)項都成等比數(shù)列，且公比相等，就是整個數(shù)列成等比數(shù)列，解題時要慎重，寫出數(shù)列的前幾項進(jìn)行觀察就得出正確結(jié)論.對等比數(shù)列的求和一定要注意其公比為1這種特殊情況. 高考往往就是在這里人為的設(shè)計陷阱使考生產(chǎn)生對而不全的錯誤.

5. 在數(shù)列求和中對求一等差數(shù)列與一等比數(shù)列的積構(gòu)成的數(shù)列的前n項和不會采用錯項相減法或解答結(jié)果不到位而致錯.

例5. 已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且a1=2，a1+a2+a3=12.

（1）求數(shù)列{an}的通項公式；

（2）令bn =anxn（x∈R）求數(shù)列{bn}前項和的公式.

【錯解】（2）由（1）得bn =2nxn令Sn=2x+4x2+6x3+…+2nxn……（Ⅰ）

則xSn=2x2+4x3+…+2（n-1）xn+2nxn+1 ……（Ⅱ）

用（Ⅰ）減去（Ⅱ）（注意錯過一位再相減）得

（1-x）Sn=2x+2x2+2x3+…+2xn-2nxn+1.

所以，數(shù)列{bn}前項和的公式Sn= [ -nxn+1].

【分析】本題根據(jù)條件確定數(shù)列{an}的通項公式，再由數(shù)列{bn}的通項公式分析可知，數(shù)列{bn}是一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列構(gòu)成的“差比數(shù)列”，可用錯項相減的方法求和.

【解析】（1）易求得an=2n.

（2）由（1）得bn =2nxn令Sn=2x+4x2+6x3+…+2nxn …（Ⅰ）

則xSn=2x2+4x3+…+2（n-1）xn+2nxn+1 ……（Ⅱ）

用（Ⅰ）減去（Ⅱ）（注意錯過一位再相減）得

（1-x）Sn=2x+2x2+2x3+…+2xn-2nxn+1.

當(dāng)x≠1，Sn= [ -nxn+1].

當(dāng)x=1時，Sn=2+4+6+…+2n=n（n+1）.

綜上可得：

當(dāng)x≠1，Sn= [ -nxn+1]；當(dāng)x=1時，Sn=2+4+6+…+2n=n（n+1）.

【點評】一般情況下對于數(shù)列{cn}有cn=anbn其中數(shù)列{an}和{bn}分別為等差數(shù)列和等比數(shù)列，則其前n項和可通過在原數(shù)列的每一項的基礎(chǔ)上都乘上等比數(shù)列的公比再錯過一項相減的方法來求解，但要注意對題目中字母x 的討論. 實際上，課本上等比數(shù)列的求和公式就是這種情況的特例.

6. 不能根據(jù)數(shù)列的通項的特點尋找相應(yīng)的求和方法，在應(yīng)用裂項求和方法時對裂項后抵消項的規(guī)律不清，導(dǎo)致多項或少項而致錯.

例6. 求Sn= + + +…

【分析】本題解答時一方面若不從通項入手分析各項的特點就很難找到解題突破口，其次在裂項抵消中間項的過程中，對消去哪些項剩余哪些項規(guī)律不清而導(dǎo)致解題失誤.

【解析】由等差數(shù)列的前n項和公式得1+2+3+…+n= ，

∴ = =2（ - ），n取1，2，3，…就分別得到 ， ， ，… ∴ Sn=2（1- ）+2（ - ）+2（ - ）+…+2（ - ）=2（1- ）= .

【點評】“裂項法”有兩個特點，一是每個分式的分子相同；二是每項的分母都是兩個數(shù)（也可三個或更多）相乘，且這兩個數(shù)的第一個數(shù)是前一項的第二個數(shù)，如果不具備這些特點，就要進(jìn)行轉(zhuǎn)化. 同是要明確消項的規(guī)律一般情況下剩余項是前后對稱的. 常見的變形題除本題外，還有其它形式，例如：求 + + +…+ ，方法還是抓通項，即 = = （ - ），問題會很容易解決.另外還有一些類似“裂項法”的題目，如：an= ，求其前n項和，可通過分母有理化的方法解決.數(shù)列求和的常用方法：公式法、裂項相消法、錯位相減法、倒序相加法等.

7. 易由特殊性代替一般性誤將必要條件當(dāng)作充分條件或充要條件使用，缺乏嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S.

例7. 設(shè)無窮等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn.

（Ⅰ）若首項a1= ，公差d=1，求滿足 =（Sk）2的正整數(shù)k；

（Ⅱ）求所有的無窮等差數(shù)列{an}，使得對于一切正整數(shù)k都有足 =（Sk）2成立.

【錯解】（II）設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則在 =（Sn）2中分別取 k=1，2，得

S1=（S1）2，S4=（S2）2，即a1=a1 2， （1）4a1+ d=（2a1+ d）2， （2）

由（1）得 a1=0或a1=1.

當(dāng)a1=0，代入（2）得d=0或d=6，

若a1=0，d=0，則an=0，Sn=0，

若a1=0，d=6，則an=6（n-1），Sn=3n（n-1），

當(dāng)a1=1時，代入（2）得4+6d=（2+d）2，解得d=0或d=2，

若a1=1，d=0，則an=1，Sn=n，

若a1=1，d=2，則an=2n-1，Sn=1+3+…+（2n-1）=n2.

綜上，共有4個滿足條件的無窮等差數(shù)列：

①{an} ： an=0，即0，0，0，…；②{an} ： an=6（n-1），即0， 6，12，…；③{an} ： an=1，即1，1，1，…；④{an} ： an=2n-1，即1，3，5，…；

【分析】本小題主要考查數(shù)列的基本知識，以及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析和解決問題的能力. 學(xué)生在解第（Ⅱ）時極易根據(jù)條件“對于一切正整數(shù)k都有 =（Sk）2成立”這句話將k取兩個特殊值確定出等差數(shù)列的首項和公差，但沒有認(rèn)識到求解出的等差數(shù)列僅是對已知條件成立的必要條件，但不是條件成立的充分條件. 還應(yīng)進(jìn)一步的由特殊到一般.

【解析】（I）當(dāng)a1= 時，d=1時Sn=na1+ d= n+ = n2+n.

由 =（Sk）2，得 k4+k2=（ k2+k）2，即k3（ k-1）=0. 又k ≠0，所以k=4.

（II）設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則在 =（Sn）2中分別取k=1，2，得：

S1=（S1）2，S4=（S2）2，即a1=a1 2， （1）4a1+ d=2（a1+ d）2， （2）

由（1）得 a1=0或a1=1. 當(dāng)a1=0，代入（2）得d=0或d=6，

若a1=0，d=0，則an=0，Sn=0，從而 =（Sk）2成立，

若a1=0，d=6，則an=6（n-1），由S3=18，（S3）2=324，Sn=216 知S9≠（S3）2，故所得數(shù)列不符合題意. 當(dāng)a1=1時，代入（2）得4+6d=（2+d）2，解得d=0或d=2.

若a1=1，d=0，則an=1，Sn=n，從而 =（Sk）2成立；

若a1=1，d=2，則an=2n-1，Sn=1+3+…+（2n-1）=n2，從而S=（Sn）2成立.

綜上，共有3個滿足條件的無窮等差數(shù)列：

①{an} ： an=0，即0，0，0，…；②{an} ： an=1，即1， 1， 1，…；③{an} ： an=2n-1，即1，3，5，…

【點評】事實上，“條件中使得對于一切正整數(shù)k都有 =（Sk）2成立.”就等價于關(guān)于k的方程的解是一切正整數(shù)又轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的方程的各項系數(shù)同時為零，于是本題也可采用這程等價轉(zhuǎn)化的思想解答，這樣做就能避免因忽視充分性的檢驗而犯下的邏輯錯誤. 在上述解法中一定要注意這種特殊與一般的關(guān)系.

8. 解答數(shù)列應(yīng)用題時，審題不嚴(yán)易將有關(guān)數(shù)列的第n項與數(shù)列的前n項和混淆導(dǎo)致錯誤解答.

例8. 如果能將一張厚度為0.05mm的報紙對折，再對折……對折50次后，報紙的厚度是多少？你相信這時報紙的厚度可以在地球和月球之間建一座橋嗎？（已知地球與月球的距離約為4×108米）

【錯解】對折一次厚度增加為原來的一倍，設(shè)每次對折厚度構(gòu)成數(shù)列an，則數(shù)列an是以a1=0.05×103米為首項，公比為2的等比數(shù)列. 從而對折50次后紙的厚度是此等比數(shù)列的前51項和，利用等比數(shù)列的前n項和公式，易得，S51= =50（251-1），而地球和月球間的距離為4×108<50（251-1）， 故可以在地球和月球之間建一座橋.

【分析】對折50次后，報紙的厚度應(yīng)理解為一等比數(shù)列的第n項，易誤理解為是等比數(shù)列的前n項和.

【解析】對拆一次厚度增加為原來的一倍，設(shè)每次對拆厚度構(gòu)成數(shù)列an，則數(shù)列an是以a1=0.05×103米為首項，公比為2的等比數(shù)列. 從而對拆50次后紙的厚度是此等比數(shù)列的第51項，利用等比數(shù)列的通項公式易得a51=0.05×10-3×250=5.63×1010，而地球和月球間的距離為4×108<5.63×1010故可建一座橋.

【點評】 以數(shù)列為數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用題曾是高考考查的熱點內(nèi)容之一，其中有很多問題都是涉及到等差或者等比數(shù)列的前n項和或第n項的問題，在審題過程中一定要將兩者區(qū)分開來.

9. 以偏概全，錯將特殊當(dāng)一般而致錯.

例9. 設(shè)等比數(shù)列{an}的全n項和為Sn . 若S3+S6=2S9，求數(shù)列的公比q.

【錯解】∵ an=Sn-Sn-1，∴ an=2n+1（n∈N？鄢）.

【分析】在等比數(shù)列中，a1≠0是顯然的，但公比q完全可能為1，因此，在解題時應(yīng)先討論公比q=1的情況，再在q≠1的情況下，對式子進(jìn)行整理變形.

【解析】若q=1，則有S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1. 但a1≠0，即得S3+S6≠2S9，與題設(shè)矛盾，故q≠1.

又依題意S3+S6=2S9？圯 + =2· ？圯q3（2q6-q3-1）=0，即（2q3+1）（q3-1）=0，因為q≠1，所以q3-1 ≠1，所以2q3+1=0. 解得 q=- .

【點評】此題為1996年全國高考文史類數(shù)學(xué)試題第（21）題，不少考生的解法同錯誤解法，根據(jù)評分標(biāo)準(zhǔn)而痛失2分.

10. 沒有意識到題中所給的隱含條件而致錯.

例10. 在數(shù)列{an}中，a1=-2，2an+1=2an+3，則an等于（ ）

A. B. 10 C. 13 D. 19

【分析】 A、B、D被式子2an+1=2an+3的表面所迷惑，未發(fā)現(xiàn){an}是等差數(shù)列這個本質(zhì)特征，而只由表面的遞推關(guān)系得到，從而計算繁瑣，導(dǎo)致有誤.

【解析】由2an+1=2an+3得an+1-an= ，∴{an}是等差數(shù)列.

∵ a1=-2，d= ，a11=13. 故選C.

11. 由前n項和Sn求通項時未注意an=Sn-Sn-1（n≥2）中并不包括首項a1而致錯.

例11. 已知數(shù)列{an}的前n項之和為① Sn=2n2-n ② Sn=n2+n+1時，分別求數(shù)列{an}的通項公式.

【錯解】① an=2n2-n-2（n-1）2+（n-1）=4n-3；

② an=n2+n+1-（n-1）2-（n-1）-1=2n.

【分析】在對數(shù)列概念的理解上，僅注意了an=Sn-Sn-1的關(guān)系，沒注意a1=S1.

【解析】 ①當(dāng)n=1時，a1=S1=1.

當(dāng)n≥2時，an=2n2-n-2（n-1）2+（n-1）=4n-3.

經(jīng)檢驗n=1時a1=1也適合，∴ an=4n-3.

②當(dāng)n=1時，a1=S1=3.

當(dāng)n≥2時，an=n2+n+1-（n-1）2-（n-1）-1=2n.

∴ an=3，（n=1）2n.（n≥2）

【點評】一般數(shù)列的通項an與前n項和Sn的關(guān)系：an=S1，（n=1）Sn-Sn-1 ，（n≥2）由Sn求an時，an=S1，（n=1）Sn-Sn-1， （n≥2， n∈N？鄢）注意驗證a1是否包含在后面an 的公式中，若不符合要單獨列出. 一般已知條件中含an與Sn的關(guān)系的數(shù)列題均可考慮用上述公式.

12. 未能正確運(yùn)用數(shù)列前n項和的性質(zhì)解決求和問題而致錯.

例12. 已知等差數(shù)列{an}的前n項之和記為Sn，S10=10，S30=70，則S40等于 .

【錯解】∵S30=S10·2d，∴ d=30，∴ S40=S30+d=100.

【分析】將等差數(shù)列中Sm ， S2m-Sm， S3m-S2m成等差數(shù)列誤解為Sm ，S2m ，S3m成等差數(shù)列.

【解析】由題意：10a1+ d=10，30a1+ d=70，得a1= ，d= ，

代入得S40=40a1+ ×40d=120.

【點評】等差數(shù)列{an}的任意連續(xù)m項的和構(gòu)成的數(shù)列：Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，S4m-S3m，…仍為等差數(shù)列.

13. 未能正確運(yùn)用數(shù)列前n項和通項公式的關(guān)系解決求值問題而致錯.

例13. 等差數(shù)列{an}、{bn}的前n項和為Sn、Tn. 若 = （n∈N？鄢），求 .

【錯解】因為等差數(shù)列的通項公式是關(guān)于n的一次函數(shù)，故由題意令an=7n+1；bn=4n+27.

∴ = = .

【分析】誤認(rèn)為 = .

【解析】∴ = = = = .

【點評】若Sn、Tn分別是等差數(shù)列{an}和{bn}的前n項和，則 = .

14. 未能正確運(yùn)用數(shù)列前n項和的分段形式而致錯.

例14. 已知一個等差數(shù)列{an}的通項公式an=25-5n，求數(shù)列{| an |}的前n項和.

【錯解】由an≥0得n≤5，

∴ {an}前5項為非負(fù)，從第6項起為負(fù)，

∴ Sn=a1+a2+a3+a4+a5=50（n≤5）.

當(dāng)n≥6時，Sn= | a6 | + | a7 | + | a8 | +…+ | an | = ，

∴ Sn=50， n≤5 . n≥6

【分析】（1）把n≤5理解為n=5，（2）把“前n項和”誤認(rèn)為“從n≥6起”的和.

【解析】 ，n≤5 +50. n≥6

上述分析只是錯誤解題的一般性問題，后期復(fù)習(xí)應(yīng)考，應(yīng)做的是怎樣才能有效地避免非智力因素失分，對照考點檢查常見知識和公式、定理是否記住.

責(zé)任編輯 徐國堅