立體幾何易錯(cuò)點(diǎn)分析

童其林

立體幾何是高考的必考內(nèi)容，特點(diǎn)是試題題量、題型和分值穩(wěn)定：一般是兩個(gè)小題一個(gè)大題共22分，約占全卷總分的15%；考查全面：柱、錐、球及其簡(jiǎn)單組合體齊亮相， 對(duì)幾何體進(jìn)行組、割、補(bǔ)、嵌、折手法多.從近幾年的試題來看，三視圖、判斷或證明線面關(guān)系和求空間的角是必考內(nèi)容，求表面積和體積也很常見.

總的來說，立體幾何是高考比較容易得分的部分，但常出現(xiàn)“會(huì)而不對(duì)”“對(duì)而不全”的現(xiàn)象，導(dǎo)致失分.怎樣才能多得分，得高分，避免失誤是本文要研究的內(nèi)容.下面就針對(duì)立體幾何的常見易錯(cuò)點(diǎn)進(jìn)行歸納分析，期望對(duì)考生的備考有幫助.

一、空間幾何體的三視圖

三視圖是同一個(gè)幾何體在互相垂直的三個(gè)平面上的射影，在解決空間幾何體的三視圖時(shí)，易出現(xiàn)的問題主要有：（1）不能正確確定特殊幾何體的三視圖；（2）不能由幾何體的三視圖正確確定幾何體的形狀；（3）不能正確把三視圖中得數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的幾何體中得線段長(zhǎng)度，尤其是側(cè)視圖中的數(shù)據(jù)處理很容易出錯(cuò)，從而導(dǎo)致幾何體中的計(jì)算出現(xiàn)錯(cuò)誤.

1. 由幾何體辨別三視圖

例1. 如圖1，點(diǎn)M，N分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱A1B1，A1D1的中點(diǎn)，用過點(diǎn)A，M，N和點(diǎn)D，N，C1的兩個(gè)截面截去正方體的兩個(gè)角后得到的幾何體的正（主）視圖、側(cè)（左）視圖、俯視圖依次為（ ）

A. ①③④ B. ②④③ C. ①②③ D. ②③④

【錯(cuò)解】選A或B或C.

【錯(cuò)誤分析】錯(cuò)誤原因主要是不理解用過點(diǎn)A，M，N和點(diǎn)D，N，C1的兩個(gè)截面截去正方體的兩個(gè)角是什么意思，導(dǎo)致錯(cuò)選.

【正解】用過點(diǎn)A，M，N和點(diǎn)D，N，C1的兩個(gè)截面截去正方體的兩個(gè)角后得到的幾何體是一個(gè)不規(guī)則的幾何體NMC1B1-ABCD.所以由正視圖的定義可知點(diǎn)A，B，B1在后面的投影點(diǎn)分別是D，C，C1，線段AN在后面的投影面上的投影是以D為端點(diǎn)且與線段CC1平行且相等的線段，另外線段AM在后面的投影線要畫成實(shí)線，被遮擋的線段DC1要畫成虛線，故幾何體的正視圖為②，側(cè)視圖為③，俯視圖為④，故選D.

【突破策略】（1）熟練把握常見的規(guī)則幾何體如柱體、椎體與球的三視圖，注重“三面一線”，即底面、側(cè)面、對(duì)角面（軸截面）、側(cè)棱（母線）四個(gè)方面的基本特征.（2）熟練掌握常見幾何體的三視圖是解決由三視圖確定幾何問題的關(guān)鍵，先根據(jù)俯視圖確定幾何體的底面，然后利用正視圖和側(cè)視圖確定幾何體的側(cè)面；（3）三視圖原則：“主側(cè)等高，主俯等寬”是我們利用三視圖中的數(shù)據(jù)確定幾何體中相關(guān)線段的長(zhǎng)度，特別注重側(cè)視圖中數(shù)據(jù)的長(zhǎng)度.

2. 由三視圖求對(duì)應(yīng)空間幾何體的表面積

空間幾何體表面積與體積的求解是新課標(biāo)考查的重點(diǎn)，多以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)求解此類問題易出現(xiàn)的問題主要有下面幾個(gè)方面：（1）對(duì)幾何體的結(jié)構(gòu)特征把握不準(zhǔn)，導(dǎo)致空間線面關(guān)系的推理、表面積與體積的求解出現(xiàn)錯(cuò)誤，尤其是對(duì)正棱柱、正棱錐中隱含的線面關(guān)系不能熟練把握，正確應(yīng)用；（2）混淆幾何體的表面積與側(cè)面積兩個(gè)概念，導(dǎo)致計(jì)算時(shí)錯(cuò)用公式，漏掉底面積的計(jì)算；（3）在組合體的表面積的計(jì)算問題中，對(duì)于兩個(gè)幾何體重合問題或幾何體的挖空問題，不能正確確定幾何體表面積的構(gòu)成導(dǎo)致計(jì)算重復(fù)或漏算；（4）計(jì)算失誤問題是最常見的錯(cuò)誤，基本計(jì)算能力是高考重點(diǎn)考查的四大能力之一，在這個(gè)方面一定要正確對(duì)待.

例2. 如圖2，某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條相互垂直的半徑.若該幾何體的體積是 ，則它的表面積是（ ）

（A）17π （B）18π

（C）20π （D）28π

【錯(cuò)解】選D或B或C.

【錯(cuò)誤分析】錯(cuò)誤原因：一是不能畫出幾何體，二是計(jì)算出錯(cuò).

【正解】該幾何體的直觀圖如圖3所示，是一個(gè)球被切掉左上角的 .設(shè)球的半徑為R，則V= × πR3= ，解得R=2，所以它的表面積是 的球面面積和三個(gè)扇形面積之和.

S= ×4π×22+3× ×π×22=17π，故選A.

【點(diǎn)評(píng)】根據(jù)“長(zhǎng)對(duì)正、寬相等、高平齊”的直觀圖畫法規(guī)則，畫出對(duì)應(yīng)幾何體的直觀圖，確定幾何體中個(gè)元素的量，再計(jì)算幾何體的表面積.

【突破策略】解決此類問題分兩步：第一步，一般先確定幾何體的大致輪廓，然后利用三視圖中的實(shí)線和虛線通過切割、挖空等手段逐步調(diào)整；第二步，先部分后整體，即先分別求出各個(gè)簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積，然后用它們表示所求幾何體的表面積與體積，注意重疊部分的表面積以及挖空部分的體積的處理.

3. 由三視圖求對(duì)應(yīng)幾何體的體積

由三視圖確定幾何體的形狀并求解表面積或體積是高考命題的重點(diǎn)，多為客觀題，在求解過程中易出現(xiàn)的問題主要有：（1）不能根據(jù)三視圖確定幾何體的形狀，尤其是組合體的三視圖以及幾何體挖空、切割等問題，導(dǎo)致無(wú)法計(jì)算幾何體的體積與表面積；（2）不能把三視圖中的數(shù)據(jù)準(zhǔn)確地與幾何體中有關(guān)幾何體的有關(guān)度量對(duì)應(yīng)起來，導(dǎo)致計(jì)算出錯(cuò)，對(duì)于組合體三視圖中的相關(guān)數(shù)據(jù)的處理不當(dāng)導(dǎo)致失誤；（3）幾何體的表面積和體積的求解過程出錯(cuò)；（4）計(jì)算不細(xì)心導(dǎo)致運(yùn)算失誤問題.

例3.（2017屆江西省贛州市二模）某多面體的三視圖如圖4所示，則該多面體外接球的體積為_________.

【解析】由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)四棱錐，如圖5所示，再取點(diǎn)Q，可得直三棱柱，高為2，在三角形PBC中，PC=2，PB=BC= ，由余弦定理可得cos∠PBC= ，則sin∠PBC= ，由正弦定理可得三角形PBC的外接圓的直徑2r= = ，又四棱錐的球心到平面PBC的距離為1，所以外接球的半徑R= = ，則外接球的體積V= πR3= π.

【突破策略】空間幾何體是立體幾何的基礎(chǔ)，在學(xué)習(xí)過程中應(yīng)首先注重對(duì)簡(jiǎn)單幾何體——柱、錐、臺(tái)、球的學(xué)習(xí)，把握它們的幾何特征，注意三面一棱（線），即底面、側(cè)面、對(duì)角線（軸截面）中反映的幾何度量之間的關(guān)系，側(cè)棱（母線）與底面的關(guān)系等，可以借助身邊的實(shí)物，進(jìn)一步加深對(duì)這些幾何體的把握，培養(yǎng)自己的空間想象能力，這是我們分析空間組合體的結(jié)構(gòu)特征的基礎(chǔ).其次，正確理解空間幾何體的三視圖，熟練掌握簡(jiǎn)單幾何體的三視圖是我們確定組合體三視圖以及由三視圖確定幾何體形狀的關(guān)鍵，注意三視圖中的數(shù)據(jù)與幾何體的幾何度量之間的轉(zhuǎn)化，三視圖的畫圖規(guī)則是實(shí)現(xiàn)彼此轉(zhuǎn)化的依據(jù).最后，熟記規(guī)則幾何體的表面積與體積公式，準(zhǔn)確理解公式中的各個(gè)字母表示的幾何意義，區(qū)分側(cè)棱（母線長(zhǎng)）與高、底面積、側(cè)面積等概念，求解椎體的體積時(shí)，應(yīng)注重靈活選擇頂點(diǎn)和底面；對(duì)于組合體的面積、體積求解問題，要根據(jù)其結(jié)構(gòu)特征通過分割或補(bǔ)形將其轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體的有關(guān)計(jì)算.

4. 與三視圖有關(guān)的最值問題

例4. 如圖6，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的各條棱中，最長(zhǎng)的棱的長(zhǎng)度為（ ）

A. 6 B. 6

C. 4 D. 4

【錯(cuò)解】選C.

【錯(cuò)誤分析】錯(cuò)誤原因：一是不能畫出幾何體，二是最長(zhǎng)的棱判斷錯(cuò)誤.

【正解】該幾何體是如圖所示的棱長(zhǎng)為4的正方體內(nèi)的三棱錐E-CC1D1（其中E為BB1的中點(diǎn)），其中最長(zhǎng)的棱為D1E= =6.選B.

【點(diǎn)評(píng)】一些三視圖的問題置于正方體或長(zhǎng)方體中去研究，往往化難為易，能直達(dá)目標(biāo).

二、空間幾何體的角

空間幾何體的角包括線線角，線面角，面面角.在解決空間幾何體的三視圖時(shí)，易出現(xiàn)的問題主要有：（1）求解兩條異面直線所成角的過程中，不注意角的取值范圍，誤以為通過平移構(gòu)造的三角形內(nèi)角就是兩條異面直線所成的角；（2）求解線面角的過程中，把向量公式弄錯(cuò)；（3）求解面面角的過程中，分辨不出是銳角還是鈍角.

1. 異面直線所成的角

例5. 已知直三棱柱中ABC-A1B1C1，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為（ ）

A. B. C. D.

【錯(cuò)解】選A或B或選D.

【錯(cuò)誤分析】錯(cuò)誤原因：一是找不到異面直線AB1與BC1所成角究竟是哪一個(gè)，二是計(jì)算出錯(cuò).

【正解】如圖8所示，補(bǔ)成直四棱柱ABCD-A1B1C1D1，則所求角為∠BC1D，∵BC1= ，BD= = ，C1D=AB1= ，可得∠DBC1為直角，因此cos∠BC1D= = ，故選C.

【點(diǎn)評(píng)】平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面問題化歸為共面問題來解決，具體步驟如下：①平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；②認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；③計(jì)算：求該角的值，常利用解三角形；④取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是（0， ]，當(dāng)所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為兩條異面直線所成的角.求異面直線所成的角要特別注意異面直線之間所成角的范圍.

2. 直線與平面所成的角

例6. 如圖9，四棱錐P-ABCD中，底面四邊形ABCD是正方形，側(cè)面PDC是邊長(zhǎng)為a的正三角形，且平面PDC⊥底面ABCD，E為PC的中點(diǎn).

（Ⅰ）求異面直線PA與DE所成角的余弦值；

（Ⅱ）求AP與平面ABCD所成角的正弦值.

【錯(cuò)解】如圖9所示，取DC的中點(diǎn)O，連結(jié)PO，

因?yàn)椤鱌DC為正三角形，所以PO⊥DC.

又因?yàn)槠矫鍼DC⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD.

建立如圖7所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz，

則P（0，0， a），A（a，- ，0），B（a， ，0），C（0， ，0）， D（0，- ，0）.

（Ⅰ）E為PC的中點(diǎn)，所以E（0， ， a），

所以 =（0， a， a）， =（a，- ，- a），

所以 · = a×（- ）+ a×（- a）=- a2，

| |= a，| |= a，

cos〈 ， 〉= = =- .

所以異面直線PA與DE所成角的余弦值為- .

（Ⅱ）因?yàn)槠矫鍭BCD的法向量 =（0，0， a），

所以cos〈 ， 〉= = =- .

所以AP與平面ABCD所成角的正弦值為- .

（本題也可能出現(xiàn)另一種錯(cuò)誤：cos〈 ， 〉=- ，所以sin〈 ， 〉= ，所以AP與平面ABCD所成角的正弦值為 ）

【剖析】本題失分的根本原因是概念不清，混淆了空間角與向量所成角的概念.（Ⅰ）中，異面直線PA與DE所成的角為銳角或直角，余弦值一定非負(fù).（Ⅱ）中，將直線與平面所成角和直線的方向向量和平面的法向量的夾角混為一談，事實(shí)上它們并不是一回事兒，兩者相差90°，所以直線與平面所成角的正弦值等于直線的方向向量與平面的法向量所成角的余弦的絕對(duì)值. 正確解法是：

（Ⅰ）由錯(cuò)解，知cos〈 ， 〉=- ，因?yàn)楫惷嬷本€PA、DE所成的角是銳角或直角，所以異面直線PA、DE所成角的余弦值是 .

（Ⅱ）設(shè)AP與平面ABCD所成角為θ，由錯(cuò)解，知cos〈 ， 〉=- ，所以sinθ=|cos〈 ， 〉|= . 所以直線AP與平面ABCD所成角的正弦值為 .

【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于考生出現(xiàn)的概念模糊致誤，最好的方法是回歸課本，從教材中理解知識(shí)的來龍去脈.

3. 平面與平面所成的角

例7. 正三角形ABC的邊長(zhǎng)為10，A∈？琢，B，C在平面？琢的同側(cè)，且與？琢的距離分別為4和2，求平面ABC與平面？琢所成角的正弦值.

【錯(cuò)解】如圖10，過點(diǎn)A作直線a∥BC，則平面BAC與平面？琢相交于直線a.作BM⊥？琢于M，CN⊥？琢于N，并取BC的中點(diǎn)為E，作EF⊥？琢于F.

因?yàn)椋狂vABC為正三角形，所以AE⊥BC，因?yàn)锽C∥a，所以AE⊥a.

又EF⊥a，所以a⊥平面AEF，所以AF⊥a，即∠EAF為平面ABC和平面？琢所成的角.

因?yàn)镋F= （BM+CN）=3，AE=5 ，所以sin∠EAF= = .

【剖析】上述解法錯(cuò)在第一步，即“過點(diǎn)A作直線a∥BC”.已知A∈？琢，那么過點(diǎn)A且平行于BC的直線不一定在平面？琢內(nèi).而上述解法卻誤認(rèn)為a是平面ABC與平面？琢的交線，進(jìn)而得出錯(cuò)誤的二面角的平面角，從而導(dǎo)致了錯(cuò)誤的出現(xiàn).

【正解】如圖11所示，延長(zhǎng)BC交？琢于點(diǎn)D，連接AD，則平面ABC∩平面？琢=AD.作BB1⊥？琢，CC1⊥？琢，垂足分別為B1，C1，于是CC1∥BB1，BB1=4，CC1=2，則C為BD的中點(diǎn).

因?yàn)锳C=BC=CD= BD，所以？駐BAD為直角三角形，且∠BAD=90°.

又AB1為AB在平面？琢內(nèi)的射影，所以DA⊥AB1，即∠B1AB為平面ABC與平面？琢所成角的平面角，所以sin∠B1AB= = .

【點(diǎn)評(píng)】立體幾何的公理看似用得很少，但它是構(gòu)成立體幾何的脊梁，本題就是公理3的靈活運(yùn)用.

三、“斜二測(cè)畫法”

我們知道：斜二測(cè)畫法是畫平面圖形的直觀圖與空間圖形的直觀圖的一種方法.這種畫法強(qiáng)調(diào)了兩種數(shù)量關(guān)系：

在解題過程中如果兩種數(shù)量關(guān)系混淆，就容易導(dǎo)致錯(cuò)誤.

1. 求線段長(zhǎng)度

例8. 如圖12所示，四邊形OABC是上底為2，下底為6，底角為45°的等腰梯形，由斜二測(cè)畫法，畫出這個(gè)梯形的直觀圖O′A′B′C′，在直觀圖中梯形的高為（ ）

A. B. 1

C. D.

【解析】按斜二測(cè)畫法，得梯形的直觀圖O′A′B′C′，如圖13所示，原圖形中梯形的高CD=2，在直觀圖中C′D′=1，且∠C′D′E′=45°，作C′E′垂直x′軸于E′，則C′E′即為直觀圖中梯形的高，那么C′E′=C′D′sin45°= ，故正確答案為C.

2. 求面積

例9. 一水平放置的平面圖形，用斜二測(cè)畫法畫出了它的直觀圖，此直觀圖恰好是一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形，如圖14，則原平面圖形的面積為（ ）

A. 4 B. 4

C. 8 D. 8

【解析】由斜二測(cè)畫法可知，原圖形是一個(gè)平行四邊形，且平行四邊形的一組對(duì)邊長(zhǎng)為2，在斜二測(cè)圖形中O′B′=2 ，且∠B′O′A′=45°，那么在原圖形中，∠BOA=90°且OB=4 ，因此，原平面圖形的面積為2×4 =8 ，故正確答案為（D）.

【點(diǎn)評(píng)】本題抓住在斜二測(cè)畫法中平行于x軸的線段畫為平行于x′軸，得到了原圖形是平行四邊形；畫結(jié)合原圖形中垂直在直觀圖中畫為夾角45°，得到原圖形中的高，從而得到結(jié)論.

3. 畫原圖形

例10. 如圖15，A′B′C′D′是邊長(zhǎng)為1的正方形，又知它是某個(gè)四邊形按斜二測(cè)畫法畫出的直觀圖，請(qǐng)畫出該四邊形的原圖形.

【解析】由于A′B′C′D′是邊長(zhǎng)為1的正方形，則∠D′A′C′=45°.

于是取A′C′，A′D′所在的直線分別為x′，y′軸.

畫兩條垂直的有向直線，分別為x，y軸，A為原點(diǎn)，AC在x軸上，且AC= ，再在y軸上取點(diǎn)D，使AD=2，取AC的中點(diǎn)E，連結(jié)DE并延長(zhǎng)至B使DE=EB，連結(jié)DC，CB，BA得四邊形ABCD，即為正方形A′B′C′D′的原圖形，見圖16.

至此，可以看出斜二測(cè)畫法看似是一種比較簡(jiǎn)單的畫圖方法，但當(dāng)我們認(rèn)真深入其中時(shí)，會(huì)發(fā)現(xiàn)并非都是簡(jiǎn)單問題.逆向斜二測(cè)問題有時(shí)還真有點(diǎn)難度，必須細(xì)心分析，才能保證萬(wàn)無(wú)一失.實(shí)際上，正如對(duì)公式的應(yīng)用，應(yīng)會(huì)正用、逆用和變形應(yīng)用一樣，對(duì)“斜二測(cè)畫法”的原來也要懂得“正用、逆用和變形應(yīng)用”.

四、推理論證時(shí)的常見錯(cuò)誤

1. 共面、共線、共點(diǎn)問題

常見錯(cuò)誤是不能靈活利用平面的基本性質(zhì)確定兩個(gè)平面的交線，導(dǎo)致有關(guān)共線、線共點(diǎn)的證明問題無(wú)從下手.

【突破策略】解決點(diǎn)共線、線共點(diǎn)問題的關(guān)鍵是利用基本性質(zhì)，即確定兩個(gè)平面的交交線，證明“點(diǎn)共線”先由 “兩點(diǎn)” 定“線”，后證其他點(diǎn)也是在這條“線”上；證明“線共點(diǎn)”先由 “兩線”定“點(diǎn)”，后證其他線也過該“點(diǎn)”.

2. 空間平行關(guān)系

（1）空間平行關(guān)系的判斷

在解決有關(guān)該考點(diǎn)的具體問題時(shí)，易出現(xiàn)的問題主要有：（1）對(duì)空間線面關(guān)系考慮不全面，導(dǎo)致位置關(guān)系判斷出錯(cuò)，漏掉直線在平面內(nèi)的情況；（2）在利用空間線面平行與面面平行的性質(zhì)定理證明空間平行關(guān)系時(shí)，往往忽略限制條件導(dǎo)致思維過程不嚴(yán)謹(jǐn)，導(dǎo)致誤判.

【突破策略】對(duì)于結(jié)論不能確定的線面位置關(guān)系，常用為長(zhǎng)方體為模型的構(gòu)造反例；利用定理進(jìn)行推理證明時(shí)，要注意定理的條件，把涉及的點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系搞清楚，尤其要注意一些關(guān)鍵性字眼，如“平面外的直線”、“平面內(nèi)的直線”、“平面內(nèi)的兩條相交直線”等，避免出錯(cuò).

（2）空間平行關(guān)系的證明

空間平行關(guān)系的證明往往作為解答題中的第（1）問，而兩條直線的平行是證明空間平行關(guān)系的基礎(chǔ)，在證明空間平行關(guān)系時(shí)往往出現(xiàn)以下問題：（1）不能靈活運(yùn)用平面幾何中的相關(guān)結(jié)論，尤其是利用中位線、比例線段等來構(gòu)造線線平行關(guān)系；（2）不能利用幾何體或幾何圖形的結(jié)構(gòu)特征將空間問題靈活轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)的問題，然后再利用平面幾何中的結(jié)論構(gòu)造平行關(guān)系.

【突破策略】（1）靈活利用平面圖形的性質(zhì)構(gòu)造平行關(guān)系是證明線面關(guān)系的關(guān)鍵，一般可通過取中點(diǎn)或比例分點(diǎn)構(gòu)造比例線段得到平行關(guān)系；（2）注意空間幾何體的側(cè)面、底面、對(duì)角面、截面等的應(yīng)用，把問題轉(zhuǎn)化為平面圖形中的相關(guān)問題解決.

（3）空間平行關(guān)系的綜合應(yīng)用

由于空間線面關(guān)系的復(fù)雜性，在求值或證明的過程中，對(duì)于點(diǎn)、線、面的位置分析得不夠徹底.就會(huì)漏掉它們的一些特殊位置關(guān)系，導(dǎo)致漏解或漏證.

【突破策略】準(zhǔn)確把握空間元素的相互位置關(guān)系是正確求值，求證的基礎(chǔ).注意空間中兩個(gè)元素之間的位置關(guān)系，要對(duì)所有可能的情況進(jìn)行討論；當(dāng)涉及多個(gè)、多類元素時(shí)，一定要抓住其中的關(guān)鍵條件，確定分類的依據(jù)和標(biāo)準(zhǔn)，然后進(jìn)行分類討論，如一個(gè)點(diǎn)和兩個(gè)平面，則應(yīng)分點(diǎn)在平面的同側(cè)、點(diǎn)在平面的中間兩種情況進(jìn)行分析.

3. 空間垂直關(guān)系

（1）空間垂直關(guān)系的判斷與性質(zhì)

在解決具體問題時(shí)，易出現(xiàn)的問題主要有：（1）對(duì)直線和平面垂直的判定定理理解不深刻，忽視定理中的“兩條相交直線”導(dǎo)致對(duì)直線和平面是否垂直判斷失誤；（2）利用兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理時(shí)，忽視“直線在平面內(nèi)”的條件，導(dǎo)致誤判；（3）對(duì)空間線面關(guān)系的有關(guān)判定、性質(zhì)定理掌握不扎實(shí)，不能靈活運(yùn)用其推導(dǎo)結(jié)論.

【突破策略】在記憶相關(guān)定理時(shí)，要結(jié)合圖形梳理定理的條件與結(jié)論，不能遺漏.把定理中所涉及的點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系搞清楚，弄清楚每個(gè)定理所包含的條件，尤其要注意一些關(guān)鍵性字眼：如“平面外的直線”、“平面內(nèi)的直線”、“平面內(nèi)的兩條相交直線”等.

（2）垂直關(guān)系在求空間角中的應(yīng)用

在求解此類問題時(shí)，易出現(xiàn)的問題主要有：過多地依賴空間向量，導(dǎo)致忽視最基本的定義法或性質(zhì)法，對(duì)于簡(jiǎn)單的空間角的求解，不能利用定義或性質(zhì)快速、準(zhǔn)確地進(jìn)行求解，而是一味地利用向量求解，導(dǎo)致計(jì)算失誤.

例11.（2018年福建省高一數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）如圖17所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M、E分別為棱BC、BB1的中點(diǎn)，N為正方形B1BCC1的中心，l為平面A1MN與平面D1BE的交線，則直線l與正方體底面ABCD所成角的大小為（ ）

A. 30° B. 45°

C. 60° D. 90°

【解析】如圖17，由正方體的性質(zhì)與條件，可得MN⊥面ABCD，BE⊥ 面ABCD.

所以，面A1MN⊥面ABCD，面D1BE⊥面ABCD.

所以，l⊥面ABCD，l與面ABCD所成角的大小為90°，選D.

【點(diǎn)評(píng)】通常的思路是找出平面A1MN與平面D1BE的交線l，再求出直線l與正方體底面ABCD所成角的大小，但繁瑣，利用性質(zhì)（兩個(gè)相交平面和第三個(gè)平面垂直，則交線和第三個(gè)平面垂直），整體考慮可化繁為簡(jiǎn).

【突破策略】空間角的求解往往與幾何體的結(jié)構(gòu)特征綜合在一起進(jìn)行考查，所以應(yīng)該首先考慮定義法，即利用定義作出空間角的平面角，然后再求解（本題用的是性質(zhì)法）。作出線面角與二面角的平面角大多要利用直線和平面垂直，所以首先要結(jié)合幾何體的結(jié)構(gòu)特征，尋找線面垂直關(guān)系，如果幾何體中的線面垂直關(guān)系比較明顯，可直接利用定義法或性質(zhì)去求解；如果線面垂直關(guān)系不明顯，則可以考慮利用向量法求解.

（3）空間平行與垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用

空間線面關(guān)系的證明思路更多地來自直觀的圖形，在解題過程中往往因?yàn)閳D形不直觀、不形象而導(dǎo)致對(duì)幾何體中線面關(guān)系認(rèn)識(shí)不清，尤其是輔助線，一定要注意區(qū)分虛實(shí).

【突破策略】利用幾何的綜合方法解決立體幾何問題時(shí)，往往要作一些輔助線或者輔助平面，作圖時(shí)不能憑借直觀，而要用根據(jù)，其中有兩條線極為重要：一是找中點(diǎn)連輔助線，出現(xiàn)平行線；二是找兩個(gè)平面垂直，在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂直，出現(xiàn)線面垂直.

（4）空間垂直關(guān)系在綜合性證明題中的應(yīng)用

空間垂直關(guān)系的證明與利用是空間線面關(guān)系的重點(diǎn)，在判斷、證明空間垂直關(guān)系時(shí)，往往出現(xiàn)以下問題：（1）忽視特殊平面圖形中的一些垂直關(guān)系，導(dǎo)致證明沒有思路.（2）忽視已知條件中線段的長(zhǎng)度之間的關(guān)系，不能通過計(jì)算找出線線的垂直關(guān)系；

【突破策略】要解決上述問題，需要注意兩個(gè)方面：（1）注意特殊的平面圖形中的垂直關(guān)系；（2）當(dāng)已知條件出現(xiàn)線段的長(zhǎng)度時(shí)，要注意這些長(zhǎng)度之間的關(guān)系，當(dāng)幾何體中線面關(guān)系不是很明顯時(shí)，往往需要通過計(jì)算來證明垂直關(guān)系.

例12. 設(shè)α，β，γ是三個(gè)不重合的平面，m，n是兩條不重合的直線，給出下列命題：

①α⊥β，β⊥γ，則α⊥γ

②若m∥α，n∥β，α⊥β，則m⊥n

③若α∥β，β∥γ，則α∥γ

④若m，n在γ內(nèi)的射影互相垂直，則m⊥n

其中錯(cuò)誤命題的個(gè)數(shù)為（ ）

A. 3 B. 2 C. 1 D. 0

【錯(cuò)解】選 C.

【剖析】由于空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系是在空間考慮，這與在平面上考慮點(diǎn)、線的位置關(guān)系相比復(fù)雜了許多，特別是當(dāng)直線和平面的個(gè)數(shù)較多時(shí)，各種位置關(guān)系錯(cuò)綜復(fù)雜，相互交織，如果考慮不全面就會(huì)導(dǎo)致一些錯(cuò)誤的判斷.因此，我們可以借助正方體、三棱錐、三棱柱模型來分析.

【正解】?jī)蓚€(gè)平面都垂直于同一個(gè)平面，這兩個(gè)平面可能平行，可能相交，不一定垂直故①錯(cuò)誤；m∥α，n∥β，α⊥β，則m，n可能相交，可能平行，可能異面，故②錯(cuò)誤；由平行的傳遞性，可知，若α∥β，β∥γ，則α∥γ，故③正確；若m，n在γ內(nèi)的射影互相垂直，則m，n可能相交，可能異面，故④錯(cuò)誤.故正確的命題為③，故選A.

例13. 如圖18，△ABC是簡(jiǎn)易遮陽(yáng)棚，A，B是南北方向上兩個(gè)定點(diǎn)，正東方向射出的太陽(yáng)光線與地面成40°角，為了使遮陰影面ABD面積最大，遮陽(yáng)棚ABC與地面所成的角應(yīng)為（ ）

A. 75° B. 60°

C. 50° D. 45°

【錯(cuò)解】為了使遮陰影面ABD面積最大，遮陽(yáng)棚ABC與地面所成的角應(yīng)該越大越好，選A.

【剖析】由于正東方向射出的太陽(yáng)光線與地面成40°角，并非遮陽(yáng)棚ABC與地面所成的角越大， 遮陰影面ABD面積就最大，應(yīng)該通過計(jì)算才能說明何時(shí)最大.

作CE⊥平面ABD于E，則∠CDE是太陽(yáng)光線與地面所成的角，即∠CDE=40°，延長(zhǎng)DE交直線AB于F，連接CF，則∠CFD是遮陽(yáng)棚與地面所成的角，設(shè)為？琢. 要使S？駐ABD最大，只需DF最大.

在△CFD中， = ，所以DF= .

∵CF為定值，∴當(dāng)？琢=50°時(shí)，DF最大.

故遮陽(yáng)棚ABC與地面所成的角為50°時(shí)遮陰影面最大.故正確答案是C.

【點(diǎn)評(píng)】解題離不開猜想，有時(shí)也需要想當(dāng)然（合情推理），但這些都需要邏輯的驗(yàn)證.

【突破策略】空間線面關(guān)系的綜合問題包含立體幾何初步的所有內(nèi)容，綜合性較強(qiáng)，在學(xué)習(xí)過程中應(yīng)該抓住“圖”“證”“算”這三個(gè)字.

“圖”是立體幾何的根本，主要包括幾何體的直觀圖與三視圖，我們要學(xué)會(huì)識(shí)圖、用圖、作圖，通過周圍實(shí)例，不斷提高自己的空間想象能力，把實(shí)現(xiàn)直觀圖、三視圖兩者之間的互化，把握常見幾何體中的線面關(guān)系及其三視圖，是解決此類問題的關(guān)鍵.

“證”是要熟練掌握空間平行與垂直關(guān)系的有關(guān)判定和性質(zhì)定理，牢記定理中的條件和結(jié)論，養(yǎng)成嚴(yán)密的推理論證習(xí)慣，把各個(gè)定理的條件用完全，在推理論證中藥做到層次分明，結(jié)構(gòu)合理，嚴(yán)密無(wú)誤.

“算”是運(yùn)算要準(zhǔn)確，養(yǎng)成良好的運(yùn)算習(xí)慣，逐步計(jì)算，注意運(yùn)算過程中的各個(gè)環(huán)節(jié)，在運(yùn)算過程中適時(shí)調(diào)整運(yùn)算的方法，注意核對(duì)運(yùn)算過程和最后的結(jié)果，確保準(zhǔn)確無(wú)誤.

責(zé)任編輯 徐國(guó)堅(jiān)