研精覃思 踐行“三個理解”
——以“充分條件與必要條件”教學為例

人民教育出版社編審章建躍博士認為：理解數(shù)學、理解學生、理解教學（以下簡稱“三個理解”）是教師專業(yè)化發(fā)展的基石，是數(shù)學教學質量的根本保證。［1］近日，筆者有幸參加了江蘇省教育廳“名師團送培”活動，在連云港市“提升高中數(shù)學課堂教學有效性”專題培訓班上開設公開課——“充分條件與必要條件”（蘇教版高中數(shù)學教材選修2－1），收獲了研訓教師的廣泛好評。在經(jīng)歷了備課修改、課堂展示和課后反思后，筆者深切體會到“三個理解”對于課堂教學的指導作用。本文結合“充分條件與必要條件”的教學實踐，談談筆者在數(shù)學教學中踐行“三個理解”的探索與思考。

一、教學立意：追求“三個理解”

許多教師都知道理解數(shù)學、理解學生、理解教學的重要性，但在實際教學過程中，卻往往會忽略這“三個理解”，表現(xiàn)為過分追求數(shù)學結論、強化學生的訓練、強調教師的講解，降低數(shù)學教育價值，忽視學生思維能力的發(fā)展。因此，在數(shù)學教學中，要明確教學立意，旗幟鮮明地追求“三個理解”。

1.理解數(shù)學，以知為基。

理解數(shù)學是教好數(shù)學的前提。而要教好數(shù)學首先要站在課標的高度明確所教內容的教學目標與任務。數(shù)學是一門邏輯性很強的學科，幾乎處處涉及命題之間的邏輯關系和推理論證。在中學階段，“常用邏輯用語”一章的內容不同于大學的數(shù)理邏輯，在培養(yǎng)學生邏輯思維能力的過程中，更側重于“用語”，講究基本表示符號和規(guī)則，教學定位突出“工具性”原則。而在“充分條件和必要條件”一課的學習過程中，不應當把難點放在其他相關數(shù)學知識的回顧復習上，應當選擇學生熟悉和易于接受的知識載體呈現(xiàn)教學內容，避免過于困難的命題真假判斷沖淡本節(jié)課的重點。

同樣的，在日常生活中，人們無論是進行思考、交流，還是從事各項工作，都經(jīng)常涉及一些邏輯上的問題，都需要正確地運用邏輯用語表達自己的思想。值得一提的是由于實際問題往往受到各種現(xiàn)實因素的影響，在建構數(shù)學的過程中其嚴謹性有待檢驗，所以不建議以實際問題作為問題情境，應注意本節(jié)內容的適度“生活化”。

2.理解學生，以學定教。

學情應成為教師備課的重要參考，是教學設計的珍貴源泉。學情包括學生的認知規(guī)律如何，思維方式怎樣，情感需求有哪些，對已學過的相關知識的掌握情況如何，等等。

在學習本節(jié)課之前，學生在初中階段已經(jīng)接觸過命題、真假命題，高中教材在本節(jié)課教學之前安排了命題、命題的形式和四種命題的學習，一定程度上有助于學生對充分條件、必要條件及充要條件概念的學習理解，但是學生對于這一概念的知識儲備不夠豐富、邏輯思維能力的訓練還不夠充分，容易用生活中感性的體會去理解數(shù)學的邏輯問題。

學生學習時，對命題“若p則q”為真命題時，p是q的充分條件比較容易理解，但是，對同時稱q是p的必要條件就不怎么理解了。不理解的原因主要是學生容易從字面的意思片面地理解“條件”。在命題“若p則q”中，q明明是“結論”，怎么成了“條件”了呢？事實上，p和q是兩個語句，通過“若p則q”的形式將它們聯(lián)結起來形成一個命題，通過命題的真假來判定這兩個語句相互之間的關系。就“若p則q”為真命題時，p是q的充分條件而言，不能誤認為p是這個命題的充分條件，同樣q也不是這個命題的必要條件。因果關系具有相對性，因為一個現(xiàn)象對某現(xiàn)象來說是結果，但對另一個現(xiàn)象來說卻是原因，這使得事物之間的因果聯(lián)系形成了一條沒有起點和終點的因果鏈，因此，因果本身也是可以相互轉換的。對這一內容的認知過程其實是對符號“pq”多角度的詮釋與理解過程。

3.理解教學，深入淺出。

數(shù)學教育學者張奠宙先生認為數(shù)學教學設計的核心是如何體現(xiàn)“數(shù)學的本質”，教師應將“冰冷的美麗”變?yōu)椤盎馃岬乃伎肌保寣W生高效率、高質量地領會和體驗數(shù)學的價值和魅力。

我們在學習任何一門知識時都要明確這樣幾個問題：為什么要學習這個知識？這個知識的本質是什么？應如何理解？學習它可以幫助我們解決哪些問題？為了尋找這些問題的答案，在研讀課本、教參的基礎上，筆者重溫了邏輯學的知識，查閱了相關資料，形成了本節(jié)課的學習路徑：

情境引入（將“若p，則q”為真命題符號化）→問題導學（從“p”和“q”在“pq”中的作用來理解命題中p、q兩部分的因果關系）→數(shù)學建構（通過具體數(shù)學實例得出命題因果關系的四種情況）→數(shù)學應用（在練習過程中深化理解）→回顧反思（回顧學習路徑并體會充分條件和必要條件在數(shù)學和生活中的應用）。

在教學過程中，教師應當設計有高度、有深度、有層次、有呼應的問題，通過交流、對話合作、探究等一系列方式，讓學生自我發(fā)現(xiàn)、自我調整、自我矯正，有效地實現(xiàn)數(shù)學知識的再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造這一自我建構過程。

二、教學過程：踐行“三個理解”

下面將本節(jié)課的教學過程展示如下：

1.問題情境。

師：同學們，我們知道能夠判斷真假的語句叫作命題，那么，你能判斷下列命題的真假嗎？

問題1：請判斷下列命題的真假。

（1）若 x=1，則 x2=1；（2）若 x2＞1，則 x＞1（3）若兩個三角形全等，則這兩個三角形的面積相等。

2.數(shù)學簡化。

師：用這個命題為真命題或者假命題來敘述有一些繁瑣，為了簡便，我們可以引入推出符號。如果“若p，則q”為真命題，我們就說，“p推出q”，記作 pq?！叭魀，則q”為假命題，我們就說，“p不能推出p”，記作 pq。

（1）x=1______x2=1；（2）x2＞1_____x＞1（3）兩個三角形全等_____兩個三角形的面積相等。

問題2：請在橫線上填上合適的語句。

思考：上述問題中的答案唯一嗎？這說明什么？

一方面，如果p成立，就一定能得到q成立；要使q成立，只要具備p就足夠了。我們可以通俗地說“有p就行”。

另一方面，q成立是p成立必不可缺的條件。如果沒有q作為條件，那么一定沒有結論p，也就是說，要得到結論p，必須要有q作為條件。我們可以通俗地說“沒q不行”。

3.新知建構。

再次回到問題1，請用“充分條件”和“必要條件”來說明兩個語句的關系，直觀感知概念。

例題 下列命題中，是充分條件的有_____。

（1）p：x-1=0，q：（x-1）（x+2）=0；（2）p：兩直線平行，q：內錯角相等；（3）p：a＞b，q：a2＞b2；（4）p：四邊形的四條邊相等，q：四邊形是正方形。

追問：對于命題（1）、（2），我們可不可以稱q是p的必要條件呢？

變式 下列命題中，p是q的必要條件的有___________。

（1）p：x-1=0，q：（x-1）（x+2）=0；（2）p：兩直線平行，q：內錯角相等；（3）p：a＞b，q：a2＞b2；（4）p：四邊形的四條邊相等，q：四邊形是正方形。

追問：對于命題（2）、（4），我們可不可以稱q是p的充分條件呢？

（設計意圖：為了深刻詮釋“充分條件和必要條件”的含義，通過正反兩方面的追問，引導學生發(fā)現(xiàn)要得到“p是q的必要條件”或者“q是p的充分條件”，均要從“pq”入手。）

師：在上述問題中，我們發(fā)現(xiàn)要全面地認識p和q的關系，應從p是q的充分條件和p是q的必要條件兩方面加以考慮。從而我們可以得出充分必要條件、充分不必要條件、必要不充分條件、既不充分也不必要條件四種關系。

注：定義中，要研究p是q的什么條件，一方面要判斷p能否推出q，即研究“充分性”，另一方面要判斷q能否推出p，即研究“必要性”，如果要研究q是p的什么條件，同樣要從充分性和必要性兩方面來說明，即一方面要判斷q能否推出p（充分性），另一方面要判斷p能否推出q（必要性）。

（設計意圖：引導學生總結，構建清晰明了的思維體系，培養(yǎng)學生歸納、概括的能力。）

三、教學反思：參悟“三個理解”

1.“三個理解”，缺一不可。

要打造理想的數(shù)學課堂，需要哪些要素？知識是根基，一切教學活動以數(shù)學知識為載體。缺少了載體，數(shù)學課便成了無本之木、無源之水。但一味關注“數(shù)學”，難免給學生“高處不勝寒”的感覺，讓人望而生畏。學生是中心，人的成長永遠是課堂教學的最高價值。學生作為教育的對象應當站在課程和課堂的中央。但單純地考慮“學生”，容易天馬行空、偏離主題，失去數(shù)學課自由而嚴謹?shù)莫毺伧攘?。教學是橋梁，連通著數(shù)學與學生，它把問題情境、學生活動、數(shù)學建構、數(shù)學應用、反思小結中的若干環(huán)節(jié)串聯(lián)起來，為學生開啟了一扇通向數(shù)學世界的大門。因此，教學過程中必須同時關注數(shù)學、關注學生、關注教學。

2.“三個理解”，相輔相成。

孤立地看待數(shù)學、學生與教學，會發(fā)現(xiàn)數(shù)學知識是靜態(tài)的，學生是千差萬別的，教學亦無固定方法可循。但是數(shù)學、學生、教學是一個整體，相互作用，不可分割。理解數(shù)學要立足于學生的視角，將知識的學術形態(tài)轉化為易于被學生理解的教育形態(tài)。理解學生應著眼于其數(shù)學認知水平和特征，理解學生參與數(shù)學教與學的方式和特點。理解教學要置身于所教內容與對象，以最恰當?shù)姆绞浇M織教學。借用物理學中的作用力與反作用力的理論，“三個理解”之間是相互影響、相互支撐的，找到他們合力最大的平衡點也就找到了課堂自然、有效的生成方式。

3.“三個理解”，促進發(fā)展。

數(shù)學教育最終目的是促進學生的終身發(fā)展，“三個理解”是實現(xiàn)這一目的的前提和保證。在“三個理解”相容共生的課堂里，知識的生成更自然，學生的學習更自主，課堂的交互更廣泛。教師將“授之以魚”轉變?yōu)椤笆谥詽O”，而且是具有數(shù)學特色的“漁”。學生學會的不僅是知識，還有發(fā)現(xiàn)問題的方向，思考問題的方法，解決問題的方案，最終達成數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)目標：會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界。