你會(huì)“畫數(shù)學(xué)”嗎
——例談數(shù)形結(jié)合在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用

江蘇南京市潭橋小學(xué) 戴 芬

一、“畫數(shù)學(xué)”在教學(xué)中的價(jià)值

（一）“畫數(shù)學(xué)”描述簡(jiǎn)化題意，有助于理解記憶

從教育學(xué)的角度看，兒童年齡小，識(shí)記具體的知識(shí)、時(shí)間、人物、對(duì)象、事實(shí)要比識(shí)記定義、解釋、描寫等要好一點(diǎn)，并且記得牢固些。如在教學(xué)退位減法時(shí)，教師可以讓學(xué)生自主畫出小棒圖來(lái)理解計(jì)算過(guò)程，這樣的做法有助于將抽象算理轉(zhuǎn)化成有圖畫的形象記憶。

（二）“畫數(shù)學(xué)”分析數(shù)量關(guān)系，有助于解決問(wèn)題

從心理學(xué)角度來(lái)看，小學(xué)階段的學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展總體還處于具體運(yùn)算階段，他們最先用眼睛和耳朵去觀察和認(rèn)識(shí)世界。面對(duì)純文字的數(shù)學(xué)問(wèn)題，學(xué)生的腦中難以形成動(dòng)態(tài)的信息，無(wú)法厘清其中數(shù)量關(guān)系。而通過(guò)形象化的圖文描述以及線段圖等能幫助學(xué)生明確數(shù)量關(guān)系，找到解決問(wèn)題的鑰匙。

（三）“畫數(shù)學(xué)”材料自由開(kāi)放，有助于發(fā)散創(chuàng)造

“畫數(shù)學(xué)”是讓學(xué)生通過(guò)“畫”的方式呈現(xiàn)自己對(duì)于數(shù)學(xué)問(wèn)題的理解，這個(gè)方式的限制很小，形式自由開(kāi)放，不管內(nèi)容如何，在這一過(guò)程中，學(xué)生是思考的主人，能不斷地、自由地發(fā)散創(chuàng)造。

二、“畫數(shù)學(xué)”在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用

（一）在數(shù)的概念中滲透數(shù)形結(jié)合

數(shù)的概念教學(xué)是小學(xué)數(shù)學(xué)中形成數(shù)學(xué)知識(shí)體系的基礎(chǔ)。然而對(duì)于以形象思維為主的小學(xué)生來(lái)說(shuō)，數(shù)的概念是抽象的，不是具體的實(shí)物。這需要通過(guò)學(xué)生充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方式，幫助學(xué)生把抽象概念具體化、直觀化，使學(xué)生從圖中理解數(shù)的來(lái)源、數(shù)的概念之間的關(guān)系，以及其中蘊(yùn)含的意義。

特級(jí)教師張齊華在執(zhí)教《負(fù)數(shù)的初步認(rèn)識(shí)》時(shí)就借助了“畫數(shù)學(xué)”的方式引領(lǐng)學(xué)生理解負(fù)數(shù)的內(nèi)涵。

上課伊始，張老師開(kāi)門見(jiàn)山：“今天學(xué)習(xí)什么？同學(xué)們生活中見(jiàn)過(guò)負(fù)數(shù)嗎？在哪里？”引出課題“負(fù)數(shù)的初步認(rèn)識(shí)”。學(xué)生在張老師的層層追問(wèn)中想起不少對(duì)負(fù)數(shù)的記憶。如“電梯-2層”“溫度-2度”“海拔-155米”等，張老師并沒(méi)有過(guò)多解釋其中負(fù)數(shù)的含義，而是讓學(xué)生小組交流，用“畫”的方式把這些負(fù)數(shù)用示意圖表達(dá)出來(lái)。學(xué)生們嘗試在紙上畫出自己對(duì)這些負(fù)數(shù)的理解，接著張老師展示學(xué)生們的“作品”，這時(shí)候我們才發(fā)現(xiàn)學(xué)生是多么的聰明。

“電梯-2層”有的學(xué)生畫出了地面，并標(biāo)出“-2樓”“-1樓”“1樓”“2樓”，等等?！皽囟?2度”有的學(xué)生在紙上畫了一個(gè)溫度計(jì)，標(biāo)出刻度。還有的學(xué)生很用心地在旁邊畫了一個(gè)“小雪人”，這說(shuō)明學(xué)生對(duì)“-2度”有了更深刻的認(rèn)識(shí)，不是單純地知道它的位置，還理解了它的含義?！昂０?115米”有的學(xué)生畫了一條線寫上了“地面”，旁邊畫了一座山，表明是“海拔-115米”，這幅圖體現(xiàn)出這位學(xué)生對(duì)“海拔”理解的參照標(biāo)準(zhǔn)是存在問(wèn)題的。通過(guò)學(xué)生畫的內(nèi)容，教師能真切地了解學(xué)生對(duì)負(fù)數(shù)這一概念的理解程度。

當(dāng)然張老師并沒(méi)有停止在呈現(xiàn)“畫數(shù)學(xué)”的內(nèi)容上，而是繼續(xù)追問(wèn)：“按順序依次說(shuō)說(shuō)你們是怎么表示這3個(gè)負(fù)數(shù)的？”“思考自己和對(duì)方的有沒(méi)有一樣的、不同的地方？”“你能給對(duì)方提什么意見(jiàn)或還有什么補(bǔ)充？”這些追問(wèn)體現(xiàn)出張老師希望學(xué)生的思維不僅僅停留在“畫數(shù)學(xué)”的表面內(nèi)容上，而是深入到圖中去理解、去思考。在不斷的改進(jìn)中，學(xué)生“去其糟粕，取其精華”，將與數(shù)學(xué)本質(zhì)無(wú)關(guān)的內(nèi)容剔除，提煉完善“負(fù)數(shù)”這一數(shù)學(xué)概念。

例如，對(duì)于“電梯-2層”圖，張老師問(wèn)：“這幅圖有沒(méi)有幫助我們更好地理解-2層？”強(qiáng)調(diào)地面可以看作一個(gè)數(shù)字“0”，以地面為參照標(biāo)準(zhǔn)。緊接著張老師出示了一幅圖，沒(méi)有標(biāo)任何數(shù)字，直接提問(wèn)“這是第幾層”“為什么有不同答案”“如果老師把筆當(dāng)作地面，你能快速說(shuō)出這是第幾層”，之前都是讓學(xué)生用圖形理解負(fù)數(shù)，體現(xiàn)“以形助數(shù)”。張老師又利用圖中的題目讓學(xué)生把圖形補(bǔ)充完整，體現(xiàn)“以數(shù)解形”，使學(xué)生完全將負(fù)數(shù)的概念內(nèi)化運(yùn)用。

本課是數(shù)學(xué)概念教學(xué)，學(xué)生一般都是通過(guò)識(shí)記來(lái)記憶，而張老師在教學(xué)的時(shí)候更加注重的是學(xué)生對(duì)于負(fù)數(shù)意義的理解和分析，從學(xué)生的角度出發(fā)，畫圖表達(dá)，感受用符號(hào)表示等數(shù)學(xué)思想，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。雖然學(xué)生在畫圖時(shí)會(huì)畫得并不美觀、嚴(yán)謹(jǐn)，但是教師可以在圖上做出相應(yīng)完善，指出學(xué)生畫圖中的優(yōu)缺點(diǎn)，這樣才能有的放矢，培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。整個(gè)過(guò)程中，學(xué)生抽象思維的培養(yǎng)主要是以簡(jiǎn)單的圖形、符號(hào)和文字所作的示意圖，使得復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)具體化，從復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系中體現(xiàn)出數(shù)學(xué)最本質(zhì)特征。

（二）在系統(tǒng)復(fù)習(xí)中“畫數(shù)學(xué)”滲透數(shù)形結(jié)合

“畫數(shù)學(xué)”在復(fù)習(xí)課中出現(xiàn)的形式主要是通過(guò)思維導(dǎo)圖、知識(shí)樹(shù)的形式，這蘊(yùn)含了數(shù)形結(jié)合的思想。學(xué)生是課堂的主體，教師通過(guò)不斷的引導(dǎo)使學(xué)生的思維得到螺旋上升，回憶出與本單元相應(yīng)的知識(shí)點(diǎn)，從而進(jìn)行有序地繪圖，層層關(guān)聯(lián)，形成知識(shí)的整體結(jié)構(gòu)框架；再通過(guò)對(duì)每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的細(xì)致分析與學(xué)習(xí)，完成學(xué)生整體的復(fù)習(xí)鞏固，整節(jié)課是為了給學(xué)生梳理知識(shí)，為了增強(qiáng)學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)的一種系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)和記憶。

以特級(jí)教師賁友林“平面圖形的面積總復(fù)習(xí)”為例，通過(guò)“畫數(shù)學(xué)”的方式系統(tǒng)整理關(guān)于平面圖形的面積的數(shù)學(xué)知識(shí)。

課前，學(xué)生自主完成復(fù)習(xí)單。第1題問(wèn)“我們已經(jīng)學(xué)過(guò)哪些平面圖形的面積計(jì)算？能用表格或者圖形的方式將知識(shí)進(jìn)行整理嗎？”這個(gè)問(wèn)題讓學(xué)生用“畫數(shù)學(xué)”的方法整理面積知識(shí)點(diǎn)。學(xué)生自主選擇不同的方式進(jìn)行整理，有的是用表格的方式，讓知識(shí)點(diǎn)顯得清晰，但表格中文字稍多，顯得冗長(zhǎng)，并且缺少其中的聯(lián)系。更多的學(xué)生采用畫圖的方式，但有些缺漏和錯(cuò)誤。教師點(diǎn)名學(xué)生展示的同時(shí)，也鼓勵(lì)其他同學(xué)提出自己的意見(jiàn)，不斷優(yōu)化，展示出更好的“畫數(shù)學(xué)”的作品,不但清晰了系統(tǒng)，而且其中還滲透了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。

就整節(jié)課來(lái)說(shuō)，教師的復(fù)習(xí)非常全面，復(fù)習(xí)的知識(shí)點(diǎn)很細(xì)致，整個(gè)板書(shū)也很清晰，是學(xué)生進(jìn)行再回憶的過(guò)程。教師的復(fù)習(xí)鞏固依據(jù)的是學(xué)生的學(xué)習(xí)情況,學(xué)生變成了學(xué)習(xí)的主體，畫圖的系統(tǒng)回顧利用了圖形簡(jiǎn)潔、直觀和便于思考，且包含大量信息。

復(fù)習(xí)課本來(lái)就枯燥乏味，卻因?yàn)椤爱嫈?shù)學(xué)”，讓學(xué)生提高了研究探索的興趣。學(xué)生在創(chuàng)造 “畫數(shù)學(xué)”、完善“畫數(shù)學(xué)”的過(guò)程中，將每一種平面圖形的面積知識(shí)關(guān)聯(lián)起來(lái)，形成一個(gè)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。學(xué)生能夠通過(guò)一個(gè)知識(shí)點(diǎn)發(fā)散出其他相關(guān)的知識(shí)，使零散的知識(shí)變?yōu)橄到y(tǒng)的整體。

三、“畫數(shù)學(xué)”在小學(xué)教學(xué)中存在的問(wèn)題和建議

（一）在小學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)用中的反思

1.單純描述題意，沒(méi)有提煉本質(zhì)。“畫數(shù)學(xué)”不是簡(jiǎn)單地將數(shù)學(xué)題目中的內(nèi)容畫出來(lái)，而是需要選擇合適簡(jiǎn)潔、益于理解的方式表達(dá)出來(lái)。很多學(xué)生的畫圖經(jīng)驗(yàn)過(guò)少，無(wú)法選擇比較，腦中沒(méi)有簡(jiǎn)化的意識(shí)。數(shù)感薄弱，無(wú)法提煉出題目中的數(shù)學(xué)本質(zhì)，缺乏靈敏度。

2.缺乏畫圖能力，依靠機(jī)械記憶。學(xué)生畫圖意識(shí)薄弱，概念或者算理的理解基本上是依靠機(jī)械的記憶。教師可能缺少畫圖方法的教授，學(xué)生意識(shí)不到畫圖的重要性。在學(xué)習(xí)受阻的時(shí)候，他們大多數(shù)是靠機(jī)械的記憶。

（二）在小學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)用中的建議

1.增強(qiáng)師生“畫數(shù)學(xué)”的意識(shí)，增強(qiáng)能力。對(duì)教師而言，在日常教學(xué)、備課中，不能僅僅使用一種教授數(shù)學(xué)知識(shí)的方法，而是要進(jìn)行全方位的考慮。對(duì)于可以運(yùn)用畫圖的教學(xué)部分，教師可以先認(rèn)真仔細(xì)地探究，想出多種畫圖方法，以及畫圖時(shí)的注意點(diǎn)，通過(guò)日積月累的鍛煉來(lái)增進(jìn)畫圖的技藝，引起對(duì)畫圖的重視；在教學(xué)的時(shí)候，教師要關(guān)注學(xué)生，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)的時(shí)候產(chǎn)生畫圖的需要，提醒學(xué)生畫圖的注意點(diǎn)，使學(xué)生了解畫圖在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的優(yōu)勢(shì)。

2.合理選擇“畫數(shù)學(xué)”。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，畫圖在許多時(shí)候都能夠幫助師生更好地教學(xué)和學(xué)習(xí)，但是畫圖并不適用于所有的數(shù)學(xué)知識(shí)——有些數(shù)學(xué)知識(shí)簡(jiǎn)潔、靈活、方法多樣，使用其他的方法有可能會(huì)更加方便、易懂，這就需要教師的認(rèn)真分析和探究，組織引導(dǎo)、允許學(xué)生尋找更加適合的學(xué)習(xí)方法，避免盲目教學(xué)。?