深海采礦轉(zhuǎn)臂關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)規(guī)劃的遺傳退火算法

程一凡 楊 智 周知進(jìn)

（1.湖南電氣職業(yè)技術(shù)學(xué)院，湖南湘潭，411101；2.湘電集團(tuán)，湖南湘潭，411101；3.貴州理工學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院，貴州貴陽，550003）

目前的深海采礦采集系統(tǒng)不能應(yīng)用于商業(yè)化開采的原因有經(jīng)濟(jì)性與技術(shù)性2個(gè)方面。其中技術(shù)性主要存在采集率低、海底的行走機(jī)構(gòu)適應(yīng)性差、對(duì)海底地貌破壞嚴(yán)重等問題［1-4］。采礦轉(zhuǎn)臂可以調(diào)整關(guān)節(jié)的角度即調(diào)整采礦姿態(tài)，去適應(yīng)海底不同的地形，這樣采集率將大大提高［5-6］。

采礦轉(zhuǎn)臂為了適應(yīng)海底地形，要不斷變化采礦姿態(tài)，且其位置的精度直接影響到集礦率。為準(zhǔn)確快速控制采礦轉(zhuǎn)臂的采礦姿態(tài)，文獻(xiàn)［4］對(duì)轉(zhuǎn)臂進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模并進(jìn)行運(yùn)動(dòng)規(guī)劃，但其規(guī)劃中沒有考慮水動(dòng)力，且采用的普通遺傳算法優(yōu)化有不可避免的缺點(diǎn)。所以本研究采用Kane法考慮水動(dòng)力建立轉(zhuǎn)臂深海姿態(tài)調(diào)整時(shí)的動(dòng)力學(xué)模型，并在此基礎(chǔ)上采用遺傳退火算法對(duì)轉(zhuǎn)臂關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)進(jìn)行規(guī)劃，使其變幅機(jī)構(gòu)之間力矩變化幅度最小，從而運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)，姿態(tài)調(diào)整容易控制［7-8］。

1 采礦轉(zhuǎn)臂動(dòng)力學(xué)模型

轉(zhuǎn)臂支腿式深海集礦機(jī)構(gòu)［8-9］如圖1所示。在對(duì)轉(zhuǎn)臂的運(yùn)動(dòng)規(guī)劃中，除了考慮各運(yùn)動(dòng)量的大小以及其連續(xù)性等問題，還要考慮其轉(zhuǎn)臂的力矩，所以必須要建立轉(zhuǎn)臂的動(dòng)力學(xué)方程。

1.1 節(jié)臂等效受力

根據(jù)文獻(xiàn)［9-12］，節(jié)臂所受水動(dòng)力可以等效為對(duì)節(jié)臂質(zhì)點(diǎn)一個(gè)作用力與一個(gè)力矩的疊加，節(jié)臂之間變幅機(jī)構(gòu)通過油缸的伸縮去驅(qū)動(dòng)節(jié)臂，其等效于添加力矩M1，M2，M3，所以轉(zhuǎn)臂受力如圖2所示［4］。

M1，M2，M3均為驅(qū)動(dòng)力矩；均為重力與浮力的等效合力；TP1，TP2，TP3均為集礦器對(duì)節(jié)臂的張力；Ff1，F(xiàn)f2，F(xiàn)f3均為水動(dòng)力集中力；T1，T2，T3均為節(jié)臂水動(dòng)力力矩；Ff為浮力輪對(duì)節(jié)臂的浮力。

1.2 Kane法轉(zhuǎn)臂動(dòng)力學(xué)模型

節(jié)臂的主動(dòng)力（矩）方程為：

節(jié)臂的慣性力（矩）方程為：

其中，ac1、ac2、ac3分別節(jié)臂質(zhì)心的加速度；I1，I2，I3為各節(jié)臂轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；ε1、ε2、ε3分別是節(jié)臂的角加速度；m1、m2、m3分別為名節(jié)臂臂質(zhì)量。

由kane法［13］可得廣義主動(dòng)力必須滿足如下等式：

則轉(zhuǎn)臂的廣義動(dòng)力分別為：

廣義慣性力必須滿足如下等式：

則廣義慣性力分別為：

系統(tǒng)的主動(dòng)力與慣性力必須平衡，則必須滿足如下等式［8］：

聯(lián)立以上等式就能建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程，根據(jù)以上方程只要給出轉(zhuǎn)臂的位置及速度就能求解出其驅(qū)動(dòng)力矩［4］。

2 采礦轉(zhuǎn)臂的關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)規(guī)劃

當(dāng)采礦轉(zhuǎn)臂關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)速不同，其各變幅機(jī)構(gòu)的驅(qū)動(dòng)力矩將不同，而驅(qū)動(dòng)力矩的波動(dòng)直接影響到控制的精度，從而影響到采集率［4，7］。轉(zhuǎn)臂的軌跡規(guī)劃其實(shí)就是為了控制轉(zhuǎn)臂從初始姿態(tài)轉(zhuǎn)到目標(biāo)姿態(tài)時(shí)，規(guī)劃其路徑并控制其速度、加速度。在對(duì)轉(zhuǎn)臂的軌跡規(guī)劃中，目前有2種方式［14-15］：笛卡爾空間軌跡規(guī)劃與關(guān)節(jié)軌跡規(guī)劃。笛卡爾空間運(yùn)動(dòng)軌跡規(guī)劃，其建立的運(yùn)算坐標(biāo)為直角坐標(biāo)，要根據(jù)目標(biāo)末端點(diǎn)的軌跡曲線，并利用運(yùn)動(dòng)逆運(yùn)算求解關(guān)節(jié)量。關(guān)節(jié)軌跡規(guī)劃是直接控制關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)速，并滿足角速度、角加速等約束條件，選擇不同的函數(shù)插值生成關(guān)節(jié)量與時(shí)間的函數(shù)。對(duì)應(yīng)深海采礦轉(zhuǎn)臂，其末端運(yùn)動(dòng)軌跡沒有要求，但存在關(guān)節(jié)的逆運(yùn)算計(jì)算量大、反應(yīng)時(shí)間長等問題，所以不宜使用笛卡爾空間軌跡規(guī)劃。關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃需要給出初始姿態(tài)，終止姿態(tài)及運(yùn)動(dòng)時(shí)間。在對(duì)轉(zhuǎn)臂的運(yùn)動(dòng)規(guī)劃中，除了考慮角速度的連續(xù)性等問題，還要考慮其轉(zhuǎn)臂的力矩，所以必須要根據(jù)動(dòng)力學(xué)模型求解轉(zhuǎn)臂的驅(qū)動(dòng)力矩。

2.1 遺傳退火算法

遺傳退火算法［16-18］的基本思路是在模擬退火的總框架中，把隨機(jī)擾動(dòng)產(chǎn)生新目標(biāo)函數(shù)的模塊改為遺傳算法的相關(guān)模塊（選擇、交叉、變異）。這樣程序的大循環(huán)是模擬退火算法的流程，而同一個(gè)退火溫度中的內(nèi)循環(huán)又是遺傳算法的流程，其流程圖如圖3所示。這樣既能克服模擬退火算法的缺點(diǎn)：擾動(dòng)產(chǎn)生新解收斂時(shí)間比較長，又能克服遺傳算法得到局部最優(yōu)解（早熟）的缺點(diǎn)。

2.2 拋物線過渡理論

一次函數(shù)是最簡單的轉(zhuǎn)臂關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)規(guī)劃，但是此方法在啟動(dòng)與停止時(shí)候會(huì)出現(xiàn)大的角加速度，從而出現(xiàn)節(jié)臂的抖動(dòng)，影響節(jié)臂的平穩(wěn)性。為了避免這一情況，在啟動(dòng)與停止時(shí)使用拋物線過渡［15］如圖4所示。

找到過渡時(shí)間的大小以及求出二次函數(shù)的常數(shù)項(xiàng)，整個(gè)關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)軌跡就能求解。令起始時(shí)刻ti=0時(shí)關(guān)節(jié)的角度的位置為θi，得到ti-tb時(shí)拋物線方程為：

其中，t為關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)時(shí)間；θ（t）為角位移函數(shù)；θ?（t）為角速度函數(shù)；θ?（t）為角加速度函數(shù)。

由文獻(xiàn)［4］可得過渡時(shí)間tb與常數(shù)C2:

式中，ω為角加速度；θi為起始角位移；θf為終止是角位移；tf為運(yùn)動(dòng)總時(shí)間。

2.3 采礦轉(zhuǎn)臂運(yùn)動(dòng)參數(shù)的優(yōu)化

（1）設(shè)計(jì)變量。由過渡線理論［15］可知，其轉(zhuǎn)臂的關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)由初始角度、終止角度、勻速階段角速度決定。而初始位置與終點(diǎn)位置是根據(jù)海底地形決定，其值可以由傳感器測量。所以整個(gè)運(yùn)動(dòng)只需要確定勻速階段的角速度，設(shè)計(jì)變量為3個(gè)關(guān)節(jié)勻速階段的相對(duì)角速度：

（2）目標(biāo)函數(shù)。若驅(qū)動(dòng)力矩變化小，則液壓油壓波動(dòng)小，控制性能越好，所以以驅(qū)動(dòng)力矩波動(dòng)為目標(biāo)。根據(jù)動(dòng)力學(xué)模型可知，無論是水動(dòng)力還是慣性力都與轉(zhuǎn)臂間的角度、角速度、角加速度相關(guān)。而角度、角加速度又可以由其轉(zhuǎn)臂關(guān)節(jié)實(shí)時(shí)角速度轉(zhuǎn)換得到。根據(jù)拋物線過渡理論，勻速階段的角速度決定了轉(zhuǎn)臂的實(shí)時(shí)角速度。所以關(guān)節(jié)的驅(qū)動(dòng)力矩可以由勻速階段的角速度表示：

當(dāng)驅(qū)動(dòng)力矩小于其油缸的最大力矩時(shí)，節(jié)臂間的驅(qū)動(dòng)力矩變化幅度最小，其油缸壓力變化幅度也最小，從而運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)。所以以轉(zhuǎn)臂在調(diào)整采礦姿態(tài)時(shí)驅(qū)動(dòng)力矩變化幅度最小化為目標(biāo)，則目標(biāo)函數(shù)可以設(shè)置為：

其中，T1ma（xε）、T2ma（xε）、T3ma（xε）分別為位置調(diào)整時(shí)關(guān)節(jié)1、2、3的驅(qū)動(dòng)力矩最大值；T1mi（nε）、T2mi（nε）、T3mi（nε）分別為位置調(diào)整時(shí)關(guān)節(jié)1、2、3的驅(qū)動(dòng)力矩最小值；T1

'max、分別為關(guān)節(jié)1、2、3的液壓泵所能產(chǎn)生的最大力矩?？紤]到關(guān)節(jié)1，2，3的驅(qū)動(dòng)力矩是依次減少，所以加權(quán)系數(shù)可以設(shè)置為λ1=0.5，λ2=0.3，λ3=0.2。

（3）約束條件：由文獻(xiàn)［19］可知，在轉(zhuǎn)動(dòng)角度、轉(zhuǎn)動(dòng)總時(shí)間不變的情況下，關(guān)節(jié)i勻速階段角速度ωi由拋物線過渡時(shí)間tbi決定。根據(jù)拋物線過渡理論［15］，tbi不能大于關(guān)節(jié)i調(diào)整總時(shí)間tfi的一半，則tbi其取值范圍為（0，tfi/2）。根據(jù)tbi取值范圍，根據(jù)文獻(xiàn)［11］可以求解出關(guān)節(jié)i勻速階段角速度ωi的范圍；此外關(guān)節(jié)i驅(qū)動(dòng)力矩不能大于其液壓泵所能產(chǎn)生的最大力矩。所以其要滿足的約束條件為：

式中，θii，θfi，tfi分別為關(guān)節(jié)i初始角度、終止角度及運(yùn)動(dòng)時(shí)間。

3 優(yōu)化算例

若要使水平采礦姿態(tài)即θ1=θ2=θ3=0，轉(zhuǎn)到姿態(tài)θf1=θf2=θf3=0.1，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為tf1=tf2=tf3=2 s。液壓泵能產(chǎn)生的最大驅(qū)動(dòng)力矩分別為=1.0×10（5N·m）根據(jù)采礦轉(zhuǎn)臂動(dòng)力學(xué)系數(shù)如表1所示，采用遺傳模擬退火算法優(yōu)化節(jié)臂，其算法參數(shù)如表2所示，從圖5所示的算法歷程可以看出其收斂性良好。反應(yīng)其驅(qū)動(dòng)力矩波動(dòng)大小的目標(biāo)函數(shù)η（ε）=0.233，此時(shí)3個(gè)關(guān)節(jié)勻速階段的角速度為ε（0.069 5，0.067 3，0.066 2）。根據(jù)過渡拋物線理論，代入設(shè)計(jì)變量，可以得到關(guān)節(jié)1、2、3的最優(yōu)運(yùn)動(dòng)函數(shù)為分別為：

?

?

為了考察其優(yōu)化后的結(jié)果，須與幾種經(jīng)典運(yùn)動(dòng)規(guī)劃比較。運(yùn)動(dòng)規(guī)劃Ⅰ為加減速時(shí)間與勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)間相等，此時(shí)ε（0.066 7，0.066 7，0.066 7）。運(yùn)動(dòng)規(guī)劃Ⅱ?yàn)閯蛩龠\(yùn)動(dòng)階段時(shí)間為0，也就是先加速后減速，此時(shí)ε（0.095，0.095，0.095）。運(yùn)動(dòng)規(guī)劃Ⅲ為加減速時(shí)間極短ε（0.055，0.055，0.055）。這3種運(yùn)動(dòng)規(guī)劃矩波動(dòng)是最小的。把幾種規(guī)劃的運(yùn)動(dòng)方程代入動(dòng)力與遺傳模擬退火算法所規(guī)劃的對(duì)比如表3所示。由表3可知，經(jīng)過遺傳模擬退火算法所規(guī)劃的關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，可得其3個(gè)關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩如圖6所示，從圖6可知關(guān)節(jié)1、關(guān)節(jié)2、關(guān)節(jié)3力矩是依次減少的，其采用優(yōu)化算法后規(guī)劃的力矩幅值最小，波動(dòng)最小，運(yùn)行最平穩(wěn)。

?

4 結(jié)論

本研究介紹了一種新型深海采礦方式——轉(zhuǎn)臂支腿式采集方式，采用Kane法建立轉(zhuǎn)臂深海姿態(tài)調(diào)整時(shí)的動(dòng)力學(xué)模型，并在此基礎(chǔ)上采用遺傳退火算法對(duì)轉(zhuǎn)臂運(yùn)動(dòng)進(jìn)行規(guī)劃，規(guī)劃后其關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩波動(dòng)明顯減少，從而整個(gè)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)控制更加平穩(wěn)。