預(yù)測銑削穩(wěn)定性的Hamming線性多步法

智紅英 ， 閆獻(xiàn)國， 杜 娟， 曹啟超

(1.太原科技大學(xué) 應(yīng)用科學(xué)學(xué)院, 太原 030024； 2.太原科技大學(xué) 機械工程學(xué)院, 太原 030024)

在高速精密銑削加工過程中，再生顫振是一種常見的自激振動現(xiàn)象[1-2]，是引起加工過程失穩(wěn)的主要因素[3]。因此，為了防止銑削加工過程中再生顫振的發(fā)生，加工前需要對銑削穩(wěn)定性進(jìn)行預(yù)測，以便在加工時獲得較高的表面質(zhì)量，從而提高零件的精度。此外，考慮到再生顫振的銑削動力學(xué)模型可以近似地表示為時滯微分方程[4-5]，所以如何求解時滯微分方程才能精確且快速地獲得穩(wěn)定性葉瓣圖是預(yù)測銑削穩(wěn)定性的關(guān)鍵。

迄今為止，預(yù)測銑削穩(wěn)定性的方法有很多種，主要分為實驗方法和數(shù)值方法，而數(shù)值方法主要有頻域法和時域法兩種。Budak等[6-7]提出了一種近似零階的半解析方法的頻域法求解銑削動力學(xué)方程，但這種方法無法滿足小徑向切深切削的計算精度。為了解決這個問題，Merdol等[8]提出了一種可以滿足小徑向切深的多頻域法。隨后，Insperger等[9-11]用時域法預(yù)測顫振穩(wěn)定性，即半離散法(SDM)。該方法對銑削時滯微分方程中延遲項進(jìn)行離散，其計算精度取決于離散步長。

基于這種方法，龍新華等人考慮了刀具與工件之間接觸效應(yīng)的損失[12]和切削厚度變化相關(guān)的時間延遲效應(yīng)[13]，李中偉等[14]提出了基于Magnus-Gaussian 截斷的銑削系統(tǒng)穩(wěn)定性的改進(jìn)的半離散法，Magnus-Gaussian截斷法比零階半離散法的收斂速度更快、計算時間更短。Butcher等[15-16]提出了Chebyshev多項式法和基于Chebyshev配點法來預(yù)測具有線性時滯微分方程銑削過程穩(wěn)定性。為了提高計算精度和計算效率，Ding等[17-18]提出了全離散方法(FDM)，包括一階全離散法(1st-FDM)和二階全離散法(2nd-FDM)，這種方法是通過線性插值對狀態(tài)項和延遲項進(jìn)行離散化處理。隨后，Guo等[19]在此基礎(chǔ)上通過牛頓插值提出了三階全離散法(3rd-FDM)，得出了具有比一階、二階全離散法更高的計算精度和更快的計算效率。Li等[20]提出了一種完全離散算法，這種方法是針對銑削穩(wěn)定性預(yù)測的一種半解析算法。與半離散算法(SDM)和全離散算法(FDM)相比，此算法對時滯微分方程的各個部分都進(jìn)行了離散化處理，簡化了離散化后迭代方程的復(fù)雜度。為了精確分離刀具自由振動時段和刀具-工件接觸過程中的強迫振動時段，Bayly等[21]提出了時域有限元分析方法，并具有較高的計算精度。Ding等[22]提出了一種數(shù)值積分法，這種方法是基于牛頓-柯特斯公式和高斯公式，通過直接離散積分方程中的積分項，構(gòu)造出系統(tǒng)在單周期上的Floquet轉(zhuǎn)移矩陣用于預(yù)測銑削穩(wěn)定性。Ding等[23]隨后又將有關(guān)數(shù)值積分法擴展為譜方法。在數(shù)值積分方法思想的指導(dǎo)下，Niu等[24]提出了一種廣義的龍格庫塔方法預(yù)測具有再生顫振的銑削穩(wěn)定性。Li等[25]在經(jīng)典的四階龍格庫塔的基礎(chǔ)上，基于完全離散法，提出了一種完全離散化的龍格庫塔方法預(yù)測銑削穩(wěn)定性。Zhang等[26]基于辛普森公式提出了一種全新的方法預(yù)測銑削穩(wěn)定性。Qin等[27]提出了一種基于亞當(dāng)斯-莫爾頓的線性多步法預(yù)測銑削穩(wěn)定性。Zhang等[28]根據(jù)泰勒公式，運用有限差分法和外推法，提出了一種數(shù)值微分法預(yù)測銑削穩(wěn)定性。

隨著研究的不斷深入，越來越多的方法被用于預(yù)測銑削過程的穩(wěn)定性。針對銑削加工動力學(xué)方程，提出了一種Hamming線性多步法預(yù)測銑削穩(wěn)定性。

2 動力學(xué)模型

通過考慮再生顫振的動力學(xué)模型預(yù)測銑削穩(wěn)定性，其動力學(xué)模型可由以下時滯微分方程描述：

(1)

式中:M，C和K分別表示刀具的模態(tài)質(zhì)量、模態(tài)阻尼和模態(tài)剛度矩陣；q(t)為刀具模態(tài)坐標(biāo)，Kc(t)為周期系數(shù)矩陣，ap為軸向切削深度，T為時滯量且等于刀齒切削周期，T=60/(NΩ),N為刀具齒數(shù)，Ω為主軸轉(zhuǎn)速，單位為r/min。

令

(2)

式(2)中，A0表示常數(shù)矩陣；A(t)表示周期為T的考慮再生效應(yīng)的系數(shù)矩陣，且A(t)=A(t+T)。其中

(3)

單自由度和兩自由度系統(tǒng)主要區(qū)別是狀態(tài)向量x(t)、常數(shù)矩陣A0和周期矩陣A(t)的不同，下面將主要介紹這兩種動力學(xué)模型。

1.1 單自由度動力學(xué)模型

具有x方向的單自由度銑削加工動力學(xué)模型可由下列方程表示：

(4)

式中:mt,ζ,ωn分別表示刀具的模態(tài)質(zhì)量、刀具的阻尼比、自然圓頻率；ap為軸向切削深度；T為時滯量且等于刀齒切削周期，即T=60/(NΩ)。h(t)由下列方程表示：

(5)

(6)

式中:φst和φex分別表示刀具的切入角和切出角。對于順銑，φst=arccos(2a/D-1),φex=π; 逆銑時，φst=0,φex=arccos(1-2a/D), 其中a/D表示為徑向切深與刀具直徑之比。

(7)

式(7)中

(8)

1.2 雙自由度動力學(xué)模型

在x和y方向上的雙自由度銑削動力學(xué)模型可由下列方程表示：

(9)

式(9)中周期系數(shù)矩陣Kc(t)可表示為：

(10)

其中：

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

其中：

(16)

(17)

2 Hamming線性多步法(HAMM)

假設(shè)初始時刻為t0，通過空間狀態(tài)變換理論[17-18]，式(1)的解可由如下方程表示：

(18)

刀齒切削周期T可以劃分為自由振動時間間隔和tf強迫振動時間間隔T-tf。當(dāng)?shù)毒咛幱谧杂烧駝訒r刻t時，即t∈[t0,t0+tf]，狀態(tài)值有如下關(guān)系：

x(t)=eA0(t-t0)x(t0)

(19)

加工時刀具處于強迫振動時刻t時，即t∈[t0+tf,T], 將切削時間T-tf平均分成m個時間間隔，則每個時間間隔可表示為h=(T-tf)/m，相應(yīng)的離散點表示為

ti=t0+tf+(i-1)h,i=1, 2, …,m+1

(20)

當(dāng)t∈[ti,ti+1]時，方程(18)可以轉(zhuǎn)化為如下表達(dá)式：

(21)

t=t1時，代入(19)式可得狀態(tài)量x(t1)和時滯量x(tm+1-T)之間的關(guān)系如下式表示：

x(t1)=x(t0+tf)=eA0·tfx(t0)=eA0·tfx(tm+1-T)

(22)

其余離散點x(ti)(i=2, …,m+1)可以通過線性多步法進(jìn)行求解，為了簡化表達(dá)式，將A(ti)表示為Ai，x(ti)表示為xi，x(ti-T)表示為xi-T。

x2和x3利用Adams線性多步法[27]可以表示為：

(23)

(24)

對式(23)、(24)分別化簡可得：

(25)

(26)

對于xi(i=4, 5, …,m+1)，用線性多步法中的Hamming公式來進(jìn)行求解，則可表示為：

(27)

式(27)整理可得：

(28)

聯(lián)立式(22), (25), (26), (28)可得：

(29)

其中：

(30)

(31)

通過Hamming方法(HAMM)求得系統(tǒng)的狀態(tài)傳遞矩陣Φ為：

Φ=P-1Q

(32)

根據(jù)Floquet理論，當(dāng)系統(tǒng)傳遞矩陣Φ特征值都小于1時，系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)，否則，該系統(tǒng)則會進(jìn)入顫振狀態(tài)。

3 數(shù)值仿真結(jié)果分析

3.1 收斂性分析

局部離散誤差的變化可以反映所提出方法收斂速度的快慢程度。通過理論上對局部離散誤差的分析，1st-SDM[10]和2nd-FDM[18]的局部離散誤差均為O(h3)，HAMM的局部離散誤差為O(h5)。利用Matlab軟件編程，在單自由度銑削動力學(xué)模型下對1st-SDM、2nd-FDM和HAMM三種方法的收斂性進(jìn)行分析。切削參數(shù)為：徑向比a/D=1，切向力系數(shù)Kt=6×108N/m2，法向力系數(shù)Kn=2×108N/m2, 主軸轉(zhuǎn)速Ω=10 000 r/min和5 000 r/min，軸向切削深度ap==1.5 mm、1 mm、0.3 mm。模態(tài)參數(shù)采用與文獻(xiàn)[10]一樣的參數(shù)：逆銑，刀具齒數(shù)N=2，模態(tài)質(zhì)量mt=0.039 93 kg，固有圓頻率wn=922×2π rad/s，固有阻尼ζ=0.011。

在1st-SDM、2nd-FDM和HAMM中，分別計算一個刀齒周期下不同離散數(shù)m所對應(yīng)的狀態(tài)傳遞矩陣臨界特征值的模|μ|，局部離散誤差||μ|-|μ0||，而精確值|μ0|是m=500時采用1st-SDM得到的特征值的模。不同轉(zhuǎn)速和不同軸向切削深度下，1st-SDM、2nd-FDM、HAMM三種方法所對應(yīng)的局部離散誤差如圖1所示。

由圖1可知，在不同的主軸轉(zhuǎn)速和軸向切削深度下，隨著離散數(shù)m的不斷增加，三種方法的局部離散誤差越來越接近于0。在離散數(shù)相同的條件下，HAMM的局部離散誤差要遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于1st-SDM和2nd-FDM。

比如主軸轉(zhuǎn)速Ω=10 000 r/min，|μ0|=1.336 4 r/min，m=50時，1st-SDM的局部離散誤差為0.011 72，2nd-FDM的局部離散誤差為0.005 16，HAMM的局部截斷誤差為0.001 28，1st-SDM的局部離散誤差減少89%，比2nd-FDM的局部離散誤差減少75%。

此外還可以明顯地看出，HAMM的收斂速度均快于其它兩種方法，主軸轉(zhuǎn)速越高，離散數(shù)少的HAMM能達(dá)到離散數(shù)較多的1st-SDM和2nd-FDM的局部離散誤差，和理論分析結(jié)論一致。因此，在相同的局部離散誤差下，HAMM計算所用的時間遠(yuǎn)遠(yuǎn)少于1st-SDM和2nd-FDM。

圖1 1st-SDM、2nd-FDM、HAMM三種方法收斂速度的比較Fig.1 Convergence rate comparisons of1st-SDM, 2nd-FDM and HAMM

3.2 穩(wěn)定性葉瓣圖

3.2.1 單自由度銑削模型

在單自由度銑削模型中，為了比較1st-SDM、2nd-FDM和HAMM這三種計算方法的準(zhǔn)確性，將模態(tài)參數(shù)設(shè)置與2.1節(jié)相同。徑向比a/D=1, 0.1, 0.05，主軸轉(zhuǎn)速為5 000≤Ω≤10 000 r/min，并設(shè)置200個等間距的轉(zhuǎn)速；軸向切削深度0≤w≤10 mm，并設(shè)置100個等間距切削深度，則銑削穩(wěn)定性葉瓣圖便構(gòu)成了200×100的網(wǎng)格。設(shè)離散數(shù)m為30、40，通過2.1節(jié)可知，HAMM計算速度快，具有較高階的誤差，故將HAMM離散數(shù)m=200時所得的穩(wěn)定性葉瓣圖作為理想?yún)⒖记€。在不同離散數(shù)值和不同徑深下，三種方法所得的穩(wěn)定性葉瓣圖與理想?yún)⒖记€的對比如圖2～4所示。

由圖2～4可知，在單自由度銑削模型下，在同種方法中，隨著離散數(shù)m的增加，三種方法的計算精度都有所提高，都更接近理想?yún)⒖记€，當(dāng)離散數(shù)m相同時，HAMM的計算精度要優(yōu)于1st-SDM和2nd-FDM的計算精度。

圖2 單自由度銑削模型a/D=1下1st-SDM、2nd-FDM、HAMM三種方法的穩(wěn)定性葉瓣圖Fig.2 Stability lobe diagrams of1st-SDM, 2nd-FDM and HAMM for a single degree-of-freedom milling model with a/D=1

圖3 單自由度銑削模型a/D=0.1下1st-SDM、2nd-FDM、HAMM三種方法的穩(wěn)定性葉瓣圖Fig.3 Stability lobe diagrams of1st-SDM, 2nd-FDM and HAMM for a single degree-of-freedom milling model with a/D=0.1

圖4 單自由度銑削模型a/D=0.05下1st-SDM、2nd-FDM、HAMM三種方法的穩(wěn)定性葉瓣圖Fig.4 Stability lobe diagrams of1st-SDM, 2nd-FDM and HAMM for a single degree-of-freedom milling model with a/D=0.05

在圖2中，當(dāng)m=30時，1st-SDM的計算時間為69.36 s，2nd-FDM的計算時間為42.9 s，HAMM的計算時間為29.5 s，比1st-SDM所用時間縮短57.6%，比2nd-FDM所用時間縮短31.2%。當(dāng)m=40時，1st-SDM的計算時間為117.1 s，2nd-FDM的計算時間為80 s，HAMM的計算時間為46.4 s，比1st-SDM所用時間縮短60.3%，比2nd-FDM所用時間縮短42%。

在圖3，圖4中可以看出，在離散數(shù)m相同時，當(dāng)徑向比a/D比較小時，HAMM方法計算精度遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于1st-SDM和2nd-FDM。故HAMM是一種較優(yōu)的預(yù)測銑削穩(wěn)定性的計算方法。

3.2.2 雙自由度銑削模型

雙自由度銑削過程的系統(tǒng)參數(shù)與單自由度的參數(shù)相同。設(shè)刀具浸入比a/D=0.1，離散數(shù)m=10和20，主軸轉(zhuǎn)速Ω從5 000 r/min到20 000 r/min，軸向切削深度ap從0～10 mm，穩(wěn)定性葉瓣圖的網(wǎng)格設(shè)置為200×100，將m=200時由HAMM進(jìn)行數(shù)值計算得出的穩(wěn)定性葉瓣圖作為理想?yún)⒖记€，三種方法的穩(wěn)定性葉瓣圖與理想?yún)⒖记€的對比圖，如圖5所示。

圖5 雙自由度銑削模型下1st-SDM、2nd-FDM、HAMM三種方法的穩(wěn)定性葉瓣圖Fig.5 Stability lobe diagrams of1st-SDM, 2nd-FDM and HAMM for a double degree-of-freedom milling model

由圖5可以看出，在同種方法中，隨著離散數(shù)的增加，三種方法的計算精度都有所提高；當(dāng)離散數(shù)m相同時，HAMM的計算精度遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于1st-SDM和2nd-FDM。舉個例子來說，當(dāng)m=10時，1st-SDM的穩(wěn)定性葉瓣圖和理想?yún)⒖记€間產(chǎn)生了明顯的偏差，2nd-FDM的穩(wěn)定性葉瓣圖雖然降低了和參考曲線間的偏差，但還是存在明顯的不同之處，而HAMM的穩(wěn)定性葉瓣圖幾乎和理想?yún)⒖记€一致。

當(dāng)m=10時，1st-SDM的計算時間為32.9 s，2nd-FDM的計算時間為11.34 s，HAMM的計算時間為10.51 s。當(dāng)m=20時，1st-SDM的計算時間為81.64 s，2nd-FDM的計算時間為38.54 s，HAMM的計算時間為32.16 s，因此，在離散數(shù)相同時，HAMM的計算效率和2nd-FDM相當(dāng)，遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于1st-SDM。故HAMM是一種具有較高的計算精度和較快的計算效率的預(yù)測銑削穩(wěn)定性的方法。

4 實驗驗證

針對提出的用于預(yù)測銑削穩(wěn)定性的HAMM算法，本節(jié)通過實驗來進(jìn)行驗證。本次驗證實驗所用機床為五軸立銑加工中心DMU60monoBLOCK,所用銑刀為整體式硬質(zhì)合金4刃刀具，直徑為12 mm，刀長為75 mm。被加工工件材料為航空鋁合金AL7075,實驗采用無冷卻液的干式切削。試驗現(xiàn)場，如圖6所示。

圖6 試驗現(xiàn)場Fig.6 Testing site

在切削鋁合金工件的過程中，切削參數(shù)為：徑向比a/D=1，切向力系數(shù)Kt=6×108N/m2，法向力系數(shù)Kn=2×108N/m2，主軸轉(zhuǎn)速為3 000 r/min，3 500 r/min，4 000 r/min，4 500 r/min和5 000 r/min，軸向切削深度為0.4 mm，0.8 mm，1.2 mm，1.6 mm，2.0 mm。模態(tài)參數(shù)由模態(tài)錘擊試驗獲得：逆銑，刀具齒數(shù)N=4，模態(tài)質(zhì)量mt=0.1 kg，固有圓頻率ωn=9 420 rad/s，固有阻尼比ζ-0.029 81。

選用不同的主軸轉(zhuǎn)速和軸向切削深度進(jìn)行切削，利用激光測振儀搜集振動信號，并利用統(tǒng)計方法進(jìn)行分析得穩(wěn)定點和不穩(wěn)定點?；贖AMM法預(yù)測銑削穩(wěn)定性的有效性,結(jié)合實驗參數(shù),計算機仿真結(jié)果和試驗結(jié)果，如圖7所示。

圖7 HAMM法的計算機仿真結(jié)果和實驗結(jié)果Fig.7 Computer simulation and experimental results of HAMM method

圖8 穩(wěn)定點B的時域圖Fig.8 Time-domain diagram of stability point B

穩(wěn)定點B的時域圖如圖8。

圖9 不穩(wěn)定點A的時域圖Fig.9 Time-domain diagram of unstability point A

不穩(wěn)定點A的時域圖如9。

由圖7可以看出，HAMM方法的計算機仿真結(jié)果和實驗結(jié)果是吻合的，進(jìn)一步說明HAMM方法是一種有效的預(yù)測銑削穩(wěn)定性的方法。

5 結(jié) 論

針對銑削動力學(xué)模型，提出了HAMM預(yù)測銑削穩(wěn)定性。通過以上研究，得到如下一些結(jié)論：

通過對局部離散誤差的分析可知，HAMM的收斂速度比1st-SDM和2nd-FDM快得多。主軸轉(zhuǎn)速越高，離散數(shù)少的HAMM能達(dá)到離散數(shù)較多的1st-SDM和2nd-FDM的局部離散誤差，和理論分析結(jié)論一致。

無論是在單自由度還是雙自由度銑削模型中，從所給的三種方法的穩(wěn)定性葉瓣圖中可以得出，隨著離散數(shù)的增加，三種方法的計算精度都有所提高。當(dāng)離散數(shù)相同時，HAMM的計算精度高于1st-SDM和2nd-FDM。特別是在雙自由度銑削模型下，HAMM的計算精度遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于1st-SDM和2nd-FDM。在離散數(shù)相同的條件下，HAMM的計算效率和2nd-FDM相當(dāng)，遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于1st-SDM。

HAMM是一種較優(yōu)的預(yù)測銑削穩(wěn)定性的方法，它具有較高的預(yù)測精度和較快的計算效率。實驗驗證表明，HAMM方法用來預(yù)測銑削穩(wěn)定性是有效的。

DOI:10. 1007/s00170-016-8708-z.