數(shù)學(xué)歸納法在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

江蘇省海門實(shí)驗(yàn)學(xué)校 黃 敏

高中教育階段的數(shù)學(xué)知識(shí)變得更加復(fù)雜、抽象，特別是證明類題目深?yuàn)W難懂，證明過(guò)程也是復(fù)雜多變，可應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)輔助證明。數(shù)學(xué)歸納法屬于證明方法的一種，一般用來(lái)證明某一給定命題在局部或整個(gè)自然數(shù)范圍內(nèi)成立。在高中數(shù)學(xué)中應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法，可以把抽象、復(fù)雜的證明題變得具體與簡(jiǎn)單，幫助學(xué)生快速證明，讓他們學(xué)會(huì)多角度看待問(wèn)題。

一、幾何命題應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法，切實(shí)提高學(xué)生解題能力

在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，解題是學(xué)生鞏固理解和深化掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的主要方式，他們往往會(huì)遇到一些難度系數(shù)較高的幾何類問(wèn)題，常規(guī)方法很難解決，這就需應(yīng)用特殊至一般的解題方法來(lái)處理。對(duì)此，高中數(shù)學(xué)教師可指導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法分析和解決幾何命題，先鼓勵(lì)他們大膽提出猜想得出一般性結(jié)論，之后再把一般性結(jié)論應(yīng)用至假設(shè)條件上，實(shí)現(xiàn)從特殊值內(nèi)容上的論證，并檢驗(yàn)特殊性結(jié)論是否成立，切實(shí)提高學(xué)生的解題能力。

例如：有n個(gè)半圓的圓心在同一條直線m上，其中這些半圓兩兩相交，而且都位于直線m的同一側(cè)，那么這些交點(diǎn)能夠?qū)雸A劃分成多少段圓??？解析：假設(shè)這些交點(diǎn)能夠把半圓最多相互劃分成f（n）段圓弧，采用從特殊至一般的解題模式，逐步深入進(jìn)行解析。第一種情況：如果n=2，那么兩個(gè)半圓有一個(gè)交點(diǎn)，可以把圓弧分成4段，即為f（2）=4=22。第二種情況：如果n=4，那么一共有4個(gè)半圓，它們有6個(gè)交點(diǎn)，能夠把圓弧劃分成16段，即為f（4）=16=42。以此為基礎(chǔ)，大膽猜想n個(gè)半圓能夠?qū)A弧劃分成f（n）=n2段。通過(guò)以上猜想和論證，學(xué)生能夠清晰發(fā)現(xiàn)：當(dāng)滿足題目條件時(shí)的n個(gè)半圓，會(huì)被這些兩兩相交半圓的交點(diǎn)劃分成n2段圓弧。

上述案例，在解決該類問(wèn)題時(shí)找出幾何元素十分關(guān)鍵，明確幾何數(shù)量所增加的內(nèi)容，從數(shù)據(jù)處理和幾何圖形兩個(gè)方面切入，探究其中包含的規(guī)律，應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法解決問(wèn)題。將歸納法與幾何圖形相結(jié)合，讓學(xué)生在幾何圖形閱讀與審視的過(guò)程中，學(xué)會(huì)篩選有效信息，并把信息與思想相對(duì)接，達(dá)成思想與模型的融合，真正在訓(xùn)練中感受歸納思想的應(yīng)用與特點(diǎn)。

二、證明問(wèn)題運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法，著重指導(dǎo)學(xué)生解題方法

不等式屬于高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系的重要部分，在證明有關(guān)不等式問(wèn)題時(shí)，教師可引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法輔助證明，借此優(yōu)化整個(gè)證明過(guò)程，真正提升他們的解題速度與準(zhǔn)確性。高中生在證明不等式問(wèn)題時(shí)，假如進(jìn)行直接證明，他們往往面臨較大的證明難度。要想提高學(xué)生的解題效率，高中數(shù)學(xué)教師需要從數(shù)學(xué)歸納法切入，靈活利用不等式中的可加性和傳遞性，假設(shè)各類特征或關(guān)系，著重指導(dǎo)他們的解題方法，使其快速證明問(wèn)題。

比如：已知n是正整數(shù)，當(dāng)n個(gè)整數(shù)a1，a2，a3……an的乘積為1，嘗試證明a1+a2+a3+……+an≥n。解析：如果n=1，能夠得出a1=1，那么命題成立。假設(shè)：n的值是k時(shí)命題仍然成立，假如k個(gè)正數(shù)的相乘結(jié)果是1，那么a1+a2+……+ak≥k。當(dāng)n的值是k+1時(shí)，根據(jù)題意如果k+1個(gè)正數(shù)相同，那么它們都是1，和是k+1，能夠證明命題成立。假如k+1個(gè)正數(shù)不完全相等，其中一定有小于1或大于1的數(shù)，這與a1×a2×a3×……×ak+1=1相矛盾。能夠假設(shè)a1＞1，a2＜1，把a(bǔ)1×a2的積當(dāng)成一個(gè)數(shù)，利用數(shù)學(xué)歸納法中的結(jié)論，得出a1+a2+……+ak+ak+1-1≥k，推理得到：a1+a2+……+ak+ak+1≥k+1，即為當(dāng)n=k+1時(shí)，假設(shè)成立。

如此，在處理證明類問(wèn)題時(shí)，學(xué)生應(yīng)當(dāng)具備開放性的視野，不能局限于純粹的計(jì)算內(nèi)容上，要結(jié)合數(shù)學(xué)概念，從假設(shè)出發(fā)推至目標(biāo)，最終借助數(shù)學(xué)歸納法的優(yōu)勢(shì)順利解題。思想與方法是有限的，但是題目卻是無(wú)限的，在解答的過(guò)程中，我們要引領(lǐng)學(xué)生融會(huì)貫通、舉一反三，巧妙靈活地應(yīng)用思想來(lái)診斷題目中的問(wèn)題，提升審視高度。

三、論證問(wèn)題采用數(shù)學(xué)歸納法，幫助學(xué)生梳理解題思路

在學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)知識(shí)過(guò)程中，論證類題目主要考查學(xué)生的邏輯思維能力，教師在指導(dǎo)學(xué)生對(duì)題目進(jìn)行論證時(shí)，可以引領(lǐng)他們采用數(shù)學(xué)歸納法，使其梳理出清晰的解題思路。在處理論證類問(wèn)題過(guò)程中，數(shù)學(xué)歸納法主要體現(xiàn)在解題步驟分析方面，以此確保數(shù)學(xué)歸納法的合理應(yīng)用。在高中數(shù)學(xué)試題中，論證類問(wèn)題一般有兩種，其一是能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法先假設(shè)后證明，其二是無(wú)法使用數(shù)學(xué)歸納法，教師需有目的性地進(jìn)行科學(xué)引導(dǎo)。

例如：在數(shù)列{an}中各項(xiàng)都不是0，其中前n項(xiàng)的和是Sn，a1=1，且Sn=×an×an+1，那么數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是什么？解析：根據(jù)題目中的條件，能夠輕松推理出a2=2，a3=3，a4=4……an=n的結(jié)論。當(dāng)n=1時(shí)，a1=1成立。此時(shí)，能夠假設(shè)n的值是m，a1=1與Sm=m（m+1）成立，即為當(dāng)m的值是n+1時(shí)，Sm=×am×am+1成立，amannN進(jìn)一步推斷出m+1=2+1。因此，n=在 ∈ ＊的情況下均能夠判定成立。此外，在論證該類題目過(guò)程中，假如題目中給出的已知條件不夠多，教師需先幫助學(xué)生確定整體解題思路，明確題目中的數(shù)列是等比數(shù)列還是等差數(shù)列，讓他們?cè)谇疤岵蛔兊那闆r下梳理出清晰的解題思路，從而求出正確答案。

在上述案例中，教師在指導(dǎo)學(xué)生解析論證類問(wèn)題過(guò)程中，采用數(shù)學(xué)歸納法，能夠幫助學(xué)生整理出正確的解題思路，避免錯(cuò)誤解題思路的出現(xiàn)，引領(lǐng)他們分析和探索問(wèn)題的本質(zhì)。

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法，教師需堅(jiān)持開放性的教學(xué)原則，從實(shí)際知識(shí)特點(diǎn)和內(nèi)容切入，結(jié)合學(xué)生的邏輯推理能力和學(xué)習(xí)意識(shí)，全面優(yōu)化教學(xué)策略，引導(dǎo)他們恰當(dāng)采用數(shù)學(xué)歸納法解決幾何問(wèn)題、證明問(wèn)題和論證問(wèn)題等。而教師在課前更要全面而深入地研究高考題目，精選、精練、精講每道題目，并啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行歸納和總結(jié)，最終達(dá)成授之以漁的效果。