應(yīng)用化歸思想，助力解決數(shù)學(xué)函數(shù)問(wèn)題

江蘇省姜堰中學(xué) 周 鵬

化歸思想是一種有效的解題策略，簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，所有將問(wèn)題由難變易的過(guò)程都可以稱(chēng)為化歸，它在學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中能夠發(fā)揮很重要的作用。函數(shù)是許多學(xué)生較為薄弱的一部分內(nèi)容，但是它在高中數(shù)學(xué)中占有很大的比重，和其他部分知識(shí)的聯(lián)系也十分緊密，可以說(shuō)，只有掌握了函數(shù)知識(shí)，才能真正學(xué)好數(shù)學(xué)。因此，對(duì)于函數(shù)的教學(xué)，教師更要多加重視，積極引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)應(yīng)用化歸思想，將復(fù)雜的函數(shù)問(wèn)題簡(jiǎn)單化，提升解題能力。

一、正面反面化歸，改變方向

正面和反面是既有矛盾又有聯(lián)系的兩個(gè)方面，當(dāng)遇到一些正面求解較為困難的題目時(shí)，不妨轉(zhuǎn)換思路，改變解題方向，試著求一求問(wèn)題的反面，往往能夠減少許多計(jì)算量，使得問(wèn)題變得更加容易解決。

在函數(shù)零點(diǎn)這一部分經(jīng)常會(huì)有已知零點(diǎn)個(gè)數(shù)，要求參數(shù)取值范圍的問(wèn)題，比如：若函數(shù)f（x）=x2-2ax+2在區(qū)間[0，4]上至少有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。在拿到這道問(wèn)題時(shí)，許多學(xué)生都會(huì)下意識(shí)地根據(jù)題目中存在零點(diǎn)的條件進(jìn)行求解，但是由于至少一個(gè)零點(diǎn)就意味著可能有一個(gè)或兩個(gè)，同時(shí)由于a的存在導(dǎo)致對(duì)稱(chēng)軸無(wú)法確定，還有一個(gè)區(qū)間范圍的限制，這些因素都可能會(huì)導(dǎo)致學(xué)生在求解過(guò)程中出現(xiàn)錯(cuò)誤，并且使得解題過(guò)程十分復(fù)雜。因此，不如引導(dǎo)學(xué)生試著從沒(méi)有零點(diǎn)這個(gè)反面情況考慮，函數(shù)在[0,4]上沒(méi)有零點(diǎn)，即沒(méi)有實(shí)數(shù)根，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言就是x2-2ax+2≠0，即觀(guān)察這個(gè)式子的結(jié)構(gòu)，很容易聯(lián)想到所以說(shuō)也即當(dāng)時(shí)，方程才沒(méi)有實(shí)根。而題目條件是至少有一個(gè)零點(diǎn)，即要求的是方程有實(shí)根時(shí)a的范圍，所以結(jié)果應(yīng)為從這個(gè)例子中可以看出，對(duì)于含有“至少”這一類(lèi)字眼的函數(shù)問(wèn)題，要引導(dǎo)學(xué)生從反面進(jìn)行嘗試。值得注意的是，最后一定要再回到題目中去，回答真正的問(wèn)題。

二、常量變量化歸，減少變?cè)?/h2>

許多函數(shù)問(wèn)題中經(jīng)常會(huì)伴隨參數(shù)的出現(xiàn)，也就意味著要區(qū)分開(kāi)哪個(gè)是常量，哪個(gè)是變量。對(duì)于這一類(lèi)的問(wèn)題，可以將常量和變量進(jìn)行互換，把函數(shù)中的參數(shù)變成主元，幫助減少不定因素，使得問(wèn)題更加容易求解。

例如有這樣一道有代表性的例題：當(dāng)|k|≤1時(shí)，不等式（lgx）2-（2+`k）lgx+k-1＞0恒成立，求x的取值范圍。在這道題目中，不等式是關(guān)于x的式子，k是其中的參數(shù)，即x是變量，而k為常量，相比于將函數(shù)變?yōu)殛P(guān)于lgx的函數(shù)，觀(guān)察式子不難看出，倘若將其變?yōu)殛P(guān)于k的式子，則是一個(gè)一次函數(shù)，且題目中還給出了k的范圍，顯然一次函數(shù)更加簡(jiǎn)單。因此，題目就變成了：當(dāng)|k|≤1時(shí)，不等式 f（k）=（1-lgx）k+[（lgx）2-2lgx-1]＞0 恒成立，求 x 的取值范圍。這樣，k就變成了函數(shù)中的變量，而x則變?yōu)槌Ａ?，即?shí)現(xiàn)了變量和常量的互化。問(wèn)題簡(jiǎn)單了，對(duì)于一次函數(shù)而言，只能增或減，再者不變，因此，想要在|k|≤1的范圍內(nèi)讓f（k）＞0，只需要讓f（-1）＞0 和f（1）＞0即可，問(wèn)題就迎刃而解了。回顧這道題目，學(xué)生更容易想到的思路是生成一個(gè)新的變量來(lái)代替lgx，然后將其變成一個(gè)二次函數(shù)，這種方法雖然也可行，但是增加了一個(gè)未知的量，意味著求解過(guò)程將會(huì)變得更加復(fù)雜，學(xué)生會(huì)更加容易出現(xiàn)混亂，因此，如何將變?cè)獪p少才是應(yīng)該考慮的方向，這也是教師需要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)的一個(gè)重要解題思路。

三、特殊一般化歸，捕獲規(guī)律

特殊和一般的思想也是數(shù)學(xué)中經(jīng)常存在的一種思想，一般規(guī)律的發(fā)展往往是從特殊問(wèn)題引發(fā)而來(lái)的，而一般的結(jié)論在特殊條件下也可以成立，這個(gè)相互轉(zhuǎn)化的過(guò)程應(yīng)用在解題中，也可以幫助解決一系列函數(shù)問(wèn)題。

以函數(shù)性質(zhì)的教學(xué)為例，經(jīng)常會(huì)遇到這樣的題目：函數(shù)f（x）在R上任意可導(dǎo)，若（x-2）f’（x）≥0成立，則f（1）+f（3）和2f（2）之間有什么關(guān)系？觀(guān)察問(wèn)題，f（1）、f（3）和f（2）都是指具體的函數(shù)值，學(xué)生看到這種要求函數(shù)值的問(wèn)題，經(jīng)常會(huì)先想到要求出函數(shù)的表達(dá)式。這種思路是萬(wàn)萬(wàn)不可取的，一般對(duì)于這種類(lèi)型的題目，很難直接得出函數(shù)具體的式子，但是我們可以分析出函數(shù)的性質(zhì)。在這道題目中，根據(jù)（x-2）f’（x）≥0這個(gè)不等關(guān)系可以很容易地推導(dǎo)出：當(dāng)x≥2時(shí)，f’（x）≥0；當(dāng)x＜2時(shí)，f’（x）＜0，翻譯在圖像上就意味著：當(dāng)x＞2時(shí)，函數(shù)圖像遞增；當(dāng)x＜2時(shí)，函數(shù)圖像遞減；當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)能夠取得最小值。根據(jù)這個(gè)規(guī)律可得f（1）≥f（2），f（3）≥f（2），所以f（1）+f（3）≥2f（2）。這就是一個(gè)簡(jiǎn)單的利用一般規(guī)律來(lái)求解特殊值的例子，其中分析出的函數(shù)的單調(diào)性就是根據(jù)題目信息得到的一般規(guī)律。也就是說(shuō)，在面對(duì)許多無(wú)法直接求出函數(shù)表達(dá)式的問(wèn)題時(shí)，都需要學(xué)會(huì)分析函數(shù)性質(zhì)來(lái)解決問(wèn)題，同樣的，在遇到需要求解函數(shù)一般表達(dá)式的問(wèn)題時(shí)，也要學(xué)會(huì)利用特殊值代入的方法進(jìn)行解答。

四、相等不等化歸，建立關(guān)系

相等和不等也是數(shù)學(xué)中常出現(xiàn)的兩種對(duì)立關(guān)系，在函數(shù)問(wèn)題中經(jīng)常出現(xiàn)不等或相等關(guān)系，那么充分利用這些關(guān)系，并學(xué)會(huì)將其互相轉(zhuǎn)化，在問(wèn)題和條件中建立一定的關(guān)系，也能夠幫助找到問(wèn)題的突破口。

例如這道題目：定義在R上的函數(shù)f（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有f（x+3）≤ f（x）+3和f（x+2）≥ f（x）+2，且 f（1）=1,求 f（2003）的值。在拿到題目時(shí)，學(xué)生往往看到2003就不知如何下手了，但是其實(shí)這一類(lèi)問(wèn)題很簡(jiǎn)單，題目讓求的是當(dāng)x=2003時(shí)，f（x）的值，但是條件卻給的是兩個(gè)不等關(guān)系，所以，不如利用f（2003）所存在的不等關(guān)系進(jìn)行求解。根據(jù)第一個(gè)不等式可以列出式子：f（2003）≤f（2000）+3≤f（1997）+3+3≤…≤f（2）+2001，同樣根據(jù)第二個(gè)不等式也可以得出：f（2003）≥f（2001）+2≥f（1999）+2+2≥…≥f（1）+2002。將這兩個(gè)不等式合并之后可以得到一個(gè)最終的不等關(guān)系：f（1）+2002≤f（2003）≤f（2）+2001，因此，只需要知道 f（1）和 f（2）的值，就可以知道f（2003）的范圍，題目中已給出f（1）=1，所以?xún)H求出f（2）即可。在求解時(shí)，要對(duì)題目信息進(jìn)行充分的利用，分別讓x=1,0和-1，并代入這兩個(gè)不等關(guān)系中，最終可以求出f（2）=2，所以，2003≤f（2003）≤2003，即f（2003）=2003。函數(shù)問(wèn)題中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)這種求函數(shù)值的問(wèn)題，許多學(xué)生看到x的值很大，就會(huì)產(chǎn)生害怕心理，不敢繼續(xù)做下去，所以，教師要引導(dǎo)學(xué)生不要膽怯，類(lèi)似f（2003）的式子最終都會(huì)根據(jù)不等關(guān)系而轉(zhuǎn)化為求一個(gè)像f（2）一樣的式子，很輕易地就能夠得到結(jié)果。

函數(shù)問(wèn)題千變?nèi)f化，但是萬(wàn)變不離其宗。只要能夠正確判斷出題目的類(lèi)型和解決這類(lèi)題目的化歸方法，所有問(wèn)題就都會(huì)變得簡(jiǎn)單而有趣。因此在課堂上，教師應(yīng)充分運(yùn)用化歸思想，不斷重復(fù)，建立學(xué)生學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化方法解決問(wèn)題的意識(shí)，再配合不斷的練習(xí)，真正實(shí)現(xiàn)函數(shù)問(wèn)題上的突破。