一道“幾何概型”題目引發(fā)的思考

福建省莆田市秀嶼莆田第十中學 林振宇

對于一線的教師，我們要時常反思教學中學生出現(xiàn)的問題，及時反饋與改善我們的教學方式，盡量讓學生找到思維出錯的根源，才能更好地服務于我們的教學，提高課堂的時效性。

一、命題者的意圖反思教學

從表面看，命題者是考查幾何概型，實則有更深層次的意圖，如數(shù)形結合能力、化歸轉化能力、數(shù)據(jù)處理能力等。本題的第一個解題切入點很好入手，但之后的第二個切入點求區(qū)域面積問題著實很難。很多學生陷入如何求函數(shù)的原函數(shù)是什么這一節(jié)點，當然，有一定運算與思維能力的學生最終成功了，從考試反映的情況看，寥寥無幾。許多學生都在重點思考函數(shù)的原函數(shù)是什么而百思不得其解，忽視了一種整體思維方式。所以當個體思維出問題時，應當換整體思維。如哪個式子的導數(shù)中會出現(xiàn)lnx？對于平時運算中出現(xiàn)最多的是函數(shù)，從而找到解題的突破口。函數(shù)的導數(shù)為，所以構造函數(shù)在教學中，要教會學生如何形成思維，找到解題的切入點與突破口。作為一線教師，必須要能闡述到位，總結到位，有意識地滲透數(shù)學思維教學，有利于學生思維的拓展而避免生搬硬套。對于本題的另一思維是函數(shù)的對稱性問題。我們知道函數(shù) 的原函數(shù)難求，但是它的一個對稱函數(shù)的原函數(shù)卻很容易求得。是對x進行積分，能否轉化為對y進行積分：，這種考查方式在以往的高考中也有出現(xiàn)。雖然現(xiàn)在淡化了對反函數(shù)的考查，但是在指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)之間的互化上，還是有所涉及，畢竟這兩個函數(shù)體現(xiàn)了一種對稱性，同時也反映了逆向思維思想。

二、反思課堂例題的選擇與構造

在課堂例子的選擇上，應該遵循下列幾個原則：第一，拓展性原則。教學中所選的例子，應該讓學生的思維有拓展性，知識有延伸性與連續(xù)性。若教師教新課知識時，選擇的例子能夠以一個主干條件來層層遞進，把這節(jié)知識能夠考查的方式都盡量呈現(xiàn)出來，那么可以對學生思維進行拓展，達到牽一發(fā)而動全身的效果，也可以通過變式的方式來拓展學生的思維。第二，建構性原則。所謂的建構性，是能使大腦建構一種思維或形成一種條件反射，能夠讓學生較深刻地理解與掌握所涉及的知識與解題方法。例如，在講解一元二次不等式的解法時，其中較難的一塊是一元二次含參不等式的解法。我在講解時，就重點把握四個例子：這四個含參不等式基本涵蓋了我們后續(xù)高中所考不等式解法的所有思想。對于一元二次含參不等式的解法來說，還是立足于一元二次不等式的解法，重點是開口、與x軸的交點情況，再結合圖象考慮。當然還要解釋好為何我們要討論，討論的入手點或標準在哪里。那么反射到其他含參不等式的討論上，就轉化最高次系數(shù)，其他都不變。第三，啟發(fā)性原則。啟發(fā)性原則是基于例子要能啟發(fā)與警示學生可能會出現(xiàn)的錯誤。對于完善數(shù)學知識與概念的理解及解題的嚴密性來說，這樣的例子有很好的輔助作用。比如，我們在教集合這一章節(jié)時，空集是很特殊的集合，在解題時又時常被忽視，那么，列舉與空集相關的例子就很關鍵了。如：已知集合集合，求實數(shù)a的取值范圍。這樣的題目就告訴了學生，當一個集合未知時，就可能要考慮空集的情況。還有不等式在端點上的取值問題，有很好的借鑒與啟發(fā)作用。當然，針對不同的課堂，我們還要加上針對性、時效性、多樣性等原則。課堂例子是我們教學的重點，選擇時要有教師自己的思想與創(chuàng)造，切不可生搬硬套。

三、反思教與學的聯(lián)系

作為教師，我們有兩個職責，那就是“教什么”與“怎么教”。教師不能以本論教，教材有什么教什么，重難主次不分。教材中有顯性的知識與隱性的知識，顯性的是知識點，隱性的是思維，所以教師在處理教材知識時，既要理清整體與局部的互異性，也要把握整體與局部的聯(lián)系，同時，要對數(shù)學的概念與定理進行拓展與延伸，理清來龍去脈。定理公式的產(chǎn)生過程就是一種思維的形成，要給學生解析到位。比如在定積分的教學上，要有微分和極限的思維，講清“化整為零，以直代曲，積零成整”的思想方法，才能把定積分理解到位，在解釋定積分在物理中的應用及求旋轉體的體積時，就會事半功倍。

例：求曲線y=x2與直線x=1及x軸所圍成的圖形繞x軸旋轉360度所圍成的幾何體體積。

解：先將幾何體分割成n等分，當n趨于正無窮大時，那么每一個幾何體都是圓柱，圓柱的高為dx，底面面積為，再把這些圓柱的體積加在一起就是

在高中階段，這樣的解釋，學生能夠簡單易懂，收效很好。

教師在平時的教學中，要善于觀察學生在解題時出錯的形態(tài)，認真思考教學時教師所授的知識與學生吸收的狀況，才能不斷地改進自己的教學方法，更好地做到有效課堂。同時，要落實自己教學任務的最有效手段之一，就是了解學生的問題，各個突破。