立足本質(zhì) 引導(dǎo)探究

黃江龍

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》倡導(dǎo)探究性課題學(xué)習(xí)，要求關(guān)注引導(dǎo)學(xué)生圍繞某個(gè)數(shù)學(xué)問題，觀察分析，提出問題，自主研究，探究適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)結(jié)論或規(guī)律，圓錐曲線歷史悠久，知識豐富，幾乎每一個(gè)性質(zhì)都有豐富的背景，研究方法靈活多樣，研究難度分布廣泛，對培養(yǎng)學(xué)生的研究性學(xué)習(xí)能力效果顯著，

高考試題中的解析幾何題都是命題專家精心設(shè)計(jì)的杰作，具有很強(qiáng)的教學(xué)指導(dǎo)性和方向性，同時(shí)又有很強(qiáng)的學(xué)習(xí)研究性，用好高考試題，將它用于課堂上的探究性教學(xué)，能充分提高課堂教學(xué)的有效性，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，以下是引導(dǎo)學(xué)生從2016年新課標(biāo)文科數(shù)學(xué)全國I卷第20題出發(fā)，探究和拓展拋物線的一個(gè)性質(zhì)，努力揭示問題本質(zhì)的一次探究式問題教學(xué)，

題目在直角坐標(biāo)系xOy中，直線，l：y=t（t≠0）交y軸于點(diǎn)M，交拋物線C：y2= 2px（p>0）于點(diǎn)P，M關(guān)于點(diǎn)P的對稱點(diǎn)為N，連結(jié)ON并延長交C于點(diǎn)H.（如圖1）

（I）求|OH|/|ON|;

（Ⅱ）除H以外，直線MH與C是否有其他公共點(diǎn)？請說明理由.

探究1探究逆命題的真假

師這個(gè)題目條件簡潔，結(jié)論漂亮，而且適用于任何情況，這樣的問題很有研究的價(jià)值，我們今天一起對它來進(jìn)行改編，先看老師的，不知道它的逆命題是否成立？請看下列問題：

探究2動(dòng)動(dòng)定點(diǎn)弦

探究3再探定直線

總結(jié)和反思探究至此，似乎完美，但這樣的一對點(diǎn)和直線，配合起來，可以變化出這么多且漂亮的命題，筆者意猶未盡，想知道它們是什么？于是查閱資料，原來早有說法：這對點(diǎn)和直線叫拋物線的極點(diǎn)和極線，不僅拋物線有，其他圓錐曲線也有，所有二次曲線都有，并且它們都有很多類似的漂亮的性質(zhì).2016年新課標(biāo)全國I卷文科20題中，原點(diǎn)和y軸就是拋物線y2=2PX的一對極點(diǎn)和極線.

定義對于二次曲線C：AX2+ By2+Cx+Dy+E=o和一點(diǎn)P（x0，y0）（其中A2 +B2≠0，P不在曲線C的中心或漸近線上），則稱直線L：Ax。x+ By。y+C.（xo +x）/2+D.（Yo+Y）/2+E：0是點(diǎn)P關(guān)于曲線C的極線.（特殊地，焦點(diǎn)和準(zhǔn)線是曲線的一對極點(diǎn)和極線）

性質(zhì)1 （設(shè)焦點(diǎn)所在區(qū)域?yàn)榍€的內(nèi)部）

①若極點(diǎn)P在曲線C上，則點(diǎn)P對應(yīng)的極線L是曲線C在P點(diǎn)的切線;（圖3）

②若極點(diǎn)P在曲線C內(nèi)，則點(diǎn)P對應(yīng)的極線L是與以P為中點(diǎn)的弦平行;（圖4）

③若極點(diǎn)P在曲線C外，則點(diǎn)P對應(yīng)的極線L是與過P點(diǎn)作曲線C的兩條切線的切點(diǎn)連線.（圖5）

性質(zhì)2設(shè)點(diǎn)P和直線L是關(guān)于曲線C的一對極點(diǎn)和極線，則

①若C為有心曲線，0是C的中心，直線OP交C于R，交L于Q，則|OP||OQ|=|OR|2.（如圖6）

②若C為無心曲線，過點(diǎn)P作對稱軸的平行線交C于R，交L于Q，則|PR|=|QR|.（如圖7）

極點(diǎn)與極線是射影幾何的重要概念，雖然不是《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》規(guī)定的學(xué)習(xí)內(nèi)容，也不屬于高考考查的范圍，但由于極點(diǎn)與極線是圓錐曲線的一種重要特征，以它為背景的命制的題目，高屋建瓴，不僅題目新穎，難度可控，區(qū)分度高，對有選拔要求的高考來說，是一個(gè)不錯(cuò)的選擇，自然是高考中?？汲Ｐ碌拿}背景，作為一名中學(xué)數(shù)學(xué)老師，我們應(yīng)當(dāng)了解一些相關(guān)的高等數(shù)學(xué)知識與方法，才能“識破”試題中蘊(yùn)含的知識背景，進(jìn)而在更為一般的層面上把握試題的求解策略.

參考文獻(xiàn)

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