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    突出代數(shù)特色 彰顯核心素養(yǎng)

    2018-11-29 07:24:48梁振文
    福建中學(xué)數(shù)學(xué) 2018年5期
    關(guān)鍵詞:元法代數(shù)拋物線(xiàn)

    梁振文

    近些年初中階段比較側(cè)重幾何方面的學(xué)習(xí),但從學(xué)生后續(xù)高中學(xué)習(xí)的連續(xù)發(fā)展要求來(lái)看,就急需教師轉(zhuǎn)變觀(guān)念,加強(qiáng)學(xué)生在代數(shù)方面能力的培養(yǎng),數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模是中學(xué)生應(yīng)具有的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的三個(gè)重要內(nèi)容,也是高中階段相對(duì)更為重視的能力要求,本文以廈門(mén)2018年九年級(jí)數(shù)學(xué)質(zhì)檢的一道以二次函數(shù)為背景的壓軸題為例,探討學(xué)生代數(shù)方面能力的考查、培養(yǎng),

    例在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)A在拋物線(xiàn)y= X2+bX+C(6>0)上,且A(1,-1).

    (1)若b-c=4,求b,c的值;

    (2)若拋物線(xiàn)與y軸交于點(diǎn)B,其對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)C,則命題“對(duì)于任意的一個(gè)k(0

    (3)將拋物線(xiàn)平移,平移后的拋物線(xiàn)仍經(jīng)過(guò)(1,一1),點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1為(1-m,2b—1),當(dāng)m≥-3/2時(shí),求平移后拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)能達(dá)到最高點(diǎn)的坐標(biāo)。

    第(1)問(wèn)由于拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(l,-1),將點(diǎn)A坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)解析式可得b+c=-2,又根據(jù)第(1)問(wèn)中單獨(dú)添加的條件b-c=4,可組成關(guān)于b,c二元一次方程組,即可求出b=1, c=-3.

    此設(shè)問(wèn)易入手,但內(nèi)涵、作用卻不簡(jiǎn)單,既考查函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)與函數(shù)解析式之間的關(guān)系,又考查解方程組的方法,消元法是解多元方程組的重要指導(dǎo)思想,也是函數(shù)問(wèn)題中含有多個(gè)參數(shù)時(shí)的處理方法,此設(shè)問(wèn)為后續(xù)解題做了很好的鋪墊。

    第(2)問(wèn)真假命題的判斷、證明,突出了對(duì)學(xué)生代數(shù)邏輯推理能力的要求,如果沒(méi)有對(duì)命題做比較深入的分析,難以判斷命題的真假,因此對(duì)命題的分析、轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵,由于拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(l,-1),可得b+c= -2.因此利用代入消元法,函數(shù)解析式中的參數(shù)統(tǒng)一為6,即y= X2 +bx-b-2.由題意易得B,C兩點(diǎn)坐標(biāo)為B(O,-b-2),c(-b/2,0).又b>0,所以線(xiàn)段OC=b/2,OB=2+b.坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)與相關(guān)線(xiàn)段之間的轉(zhuǎn)化是較為常見(jiàn)的考查內(nèi)容,條件“OC=k·OB”可轉(zhuǎn)化為“b/2=k·(2+b)”,這些分析是學(xué)生容易解決的部分,也是命題進(jìn)一步轉(zhuǎn)化的基礎(chǔ)。

    另外,因?yàn)闂l件“OC=k·OB”可看作K=OC/OB,再者線(xiàn)段OC,OB的比值能用含有b的式子表示,所以從函數(shù)的角度來(lái)看命題,即“函數(shù)k=2/(2+b)=1/(4/b+2)的自變量取值范圍b>0與函數(shù)值取值范圍O

    函數(shù)k=1/(4/b+2)并不屬于初中所學(xué)的函數(shù)類(lèi)型,應(yīng)屬于高中的復(fù)合函數(shù),學(xué)生要計(jì)算其自變量取值范圍或函數(shù)值取值范圍是比較困難的,對(duì)運(yùn)算能力要求較高,需要抓住式子的結(jié)構(gòu),利用換元法轉(zhuǎn)化為已學(xué)的、熟悉的函數(shù)類(lèi)型,設(shè)n=4/b,當(dāng)b>0時(shí),顯然n>0.再設(shè)h=n+2,當(dāng)n>0時(shí),h>2.原函數(shù)k=1/(4/b+2)則化為k=1/h且h>2,易得O0與函數(shù)值取值范圍O

    此設(shè)問(wèn)形式新穎,突出了對(duì)學(xué)生“數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)學(xué)建?!比N核心素養(yǎng)的考查,要求學(xué)生具備較高的數(shù)學(xué)能力以及熟悉知識(shí)的縱向發(fā)展、橫向聯(lián)系,對(duì)命題真假的判定過(guò)程,是一個(gè)數(shù)學(xué)建模、解模的過(guò)程,可以建立方程模型,也可以建立函數(shù)模型,整個(gè)過(guò)程以方程、函數(shù)、不等式為載體,考查了邏輯推理能力、運(yùn)算能力,巧妙地滲透了轉(zhuǎn)化思想、方程與函數(shù)思想,對(duì)方程的解的判斷或是函數(shù)自變量取值范圍與函數(shù)值取值范圍的匹配問(wèn)題,無(wú)不體現(xiàn)了代數(shù)的本質(zhì)一式的變形與結(jié)構(gòu)分析,學(xué)生具備一定的代數(shù)推理能力,無(wú)疑對(duì)高中的學(xué)習(xí)助力匪淺。

    第(3)問(wèn)要研究平移后拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)所能達(dá)到的最高點(diǎn),實(shí)質(zhì)上是要研究平移后的拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡,因此第(3)問(wèn)其實(shí)也是一個(gè)建模的過(guò)程,通過(guò)建立的函數(shù)模型反應(yīng)頂點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡,根據(jù)函數(shù)模型的性質(zhì)求得最高點(diǎn)的坐標(biāo),

    此設(shè)問(wèn)著重考查函數(shù)方面的知識(shí)與能力,體現(xiàn)了學(xué)生對(duì)函數(shù)本質(zhì)的認(rèn)識(shí),函數(shù)本質(zhì)上是兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)與什么變量相關(guān)?關(guān)系如何?這是我們解決問(wèn)題的關(guān)鍵,自變量的選擇不是一蹴而就的,而是在不斷地分析過(guò)程中逐一剔除,當(dāng)然能作為自變量的變量不一定是唯一的,上述問(wèn)題亦可選擇m,b作為自變量,整個(gè)過(guò)程實(shí)質(zhì)上也是數(shù)學(xué)建模解模的過(guò)程,主要的方法是消元法,建模過(guò)程中,代數(shù)推理貫穿始終,平移的變化規(guī)律應(yīng)用、函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)與函數(shù)解析式之間的關(guān)系、函數(shù)的最值,集中展現(xiàn)了學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思維能力。

    類(lèi)似這種能夠突出代數(shù)特色的壓軸題在全國(guó)各地市的中考試題中,還是較為少見(jiàn)的,它往往合方程、不等式、函數(shù)為一體,能夠體現(xiàn)學(xué)生的代數(shù)邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng),又蘊(yùn)含了豐富的數(shù)學(xué)思想方法,對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力要求比較高,常用的“消元法”、“換元法”等代數(shù)方法始終是式子變形與結(jié)構(gòu)變化的基本方法,能夠展現(xiàn)學(xué)生對(duì)技能疊加、整合的熟練程度,通過(guò)此類(lèi)問(wèn)題的學(xué)習(xí)、訓(xùn)練、考查,對(duì)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),對(duì)學(xué)生后續(xù)高中的學(xué)習(xí),有極其重要的意義.

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