探尋數(shù)學本質(zhì)，揚帆數(shù)學思想

林文柱

一道經(jīng)典的數(shù)學試題，主要考查的是數(shù)學本質(zhì)，體現(xiàn)的是數(shù)學思想，提煉的是數(shù)學方法，為此，在分析與講解時，必須透過表象抓本質(zhì)，盡力究其因，探其果，變其式，尋其源，讓學生真正理解數(shù)學本質(zhì)，領悟思想方法，促進學生在解題中反思，在反思中總結(jié)，在總結(jié)中提高數(shù)學的核心素養(yǎng).

試題 動點P在函數(shù)f（x）=-4/（x+2）的圖象上，定點M （-4， -2），則線段PM長度的最小值為一 本質(zhì)1改變式子結(jié)構(gòu)特征，不改變其賦值的意義.

思想1 拆分重組、配方換元轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題.

評價1 有較大的難度，觀察變形與整體代換讓問題迎刃而解.

本質(zhì)2 改變圖象特殊位置，不改變其數(shù)量的關系.

解析2 同時將函數(shù)f（x）圖象與定點M向右平移2個單位轉(zhuǎn)化為：動點P'在函數(shù)f（x）=-4/x的圖象上，定點M（-2，-2），求線段P'M'長度的最小值.

思想2數(shù)形結(jié)合、分組換元轉(zhuǎn)化為函數(shù)簡單問題.

評價2 有較高的思維，透過表象與看清本質(zhì)讓問題避繁少算.

本質(zhì)3 改變圖象解析關系，不改變其內(nèi)在的聯(lián)系.

解析3 同時將函數(shù)f（x）圖象與定點M向右平移2個單位后，再繞原點逆時針方向旋轉(zhuǎn)π/4轉(zhuǎn)化為：動點P'在雙曲線x2-y2=8圖象上，定點M'（0，-2√2），求線段P'M'長度的最小值，此時，直接設點P'（x，y），則P'M'2=x2+（y+2√2）2=x2+y2+4√2y+8，由X2-y2 =8代入消元，轉(zhuǎn)化為關于y的二次函數(shù)的最值問題，這是解析此題的最佳思路.

思想3雙重數(shù)形、直接配方轉(zhuǎn)化為簡單幾何問題.

評價3有高端的素養(yǎng)，合理轉(zhuǎn)化與思想滲透讓問題柳暗花明.

本質(zhì)4改變函數(shù)研究方法，不改變其幾何的意義.

解析4函數(shù)f（x）在滿足條件的點P處的切線必定垂直直線PM，利用導數(shù)工具求解點P坐標即得PM最小值.

思想4無限逼近、有限歸納轉(zhuǎn)化為導數(shù)最值問題.

評價4有大膽的猜想，動中尋靜與數(shù)形結(jié)合讓問題思維閃現(xiàn).

通過以上分析和求解，我們有理由作如下變式.

變式1改變函數(shù)圖象和定點的位置即同時向上平移1個單位.

試題1動點P在函數(shù)f（x）=（x-2）/（x+2）的圖象上，定點M （-4，-1），則線段PM長度的最小值為____.

點評1 根據(jù)公式代入求解，利用本質(zhì)1與4計算，將會出現(xiàn)繁雜的運算與化簡，利用分離常數(shù)法得f（x）=1-4/（x+2），然后，同時將函數(shù)f（x）=1-4/（x+2）與定點M （一4，-1）向下平移1個單位，即化為原題，這樣就大大的提高解題的效度，充分體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想.

變式2改變函數(shù)的解析式和定點的坐標即引入分段函數(shù)的解析式.

總之，數(shù)學教學盡可能將問題的本質(zhì)揭示給學生，使學生看清本質(zhì)，深刻領會，同時，更應把問題所蘊涵的數(shù)學思想方法及內(nèi)在的知識關聯(lián)進行有效的追溯，從而讓學生看清題目的來龍去脈，分辨出題目的“源”與“流”，實現(xiàn)教與學的雙贏.