高中數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想之探索

李沁芮

(重慶市南開中學(xué) 400030)

一、認(rèn)識數(shù)形結(jié)合思想

對于高中數(shù)學(xué)來說，“數(shù)”和“形”是其中非常關(guān)鍵的構(gòu)成部分，數(shù)量關(guān)系主要是以圖象進(jìn)行直觀體現(xiàn)，而集合圖形內(nèi)也涉及到數(shù)量關(guān)系.所以，將“數(shù)”“形”進(jìn)行融合來解答數(shù)學(xué)問題，這是非常高效的一種解題思想.通過對數(shù)形結(jié)合思想的實際運用，了解到其中包括兩點內(nèi)容：(1)以形助數(shù)；(2)以數(shù)解形.正確運用這兩種方法，可以快速、正確地完成解題.

二、數(shù)形轉(zhuǎn)化的有效方法

針對數(shù)形轉(zhuǎn)化模式進(jìn)行分析，其中包括三種轉(zhuǎn)化模式：(1)形轉(zhuǎn)數(shù)；(2)數(shù)轉(zhuǎn)形；(3)數(shù)形互轉(zhuǎn).其一，形轉(zhuǎn)數(shù).這種模式一般是按照題目中的已知圖形，經(jīng)過詳細(xì)審題之后便可以創(chuàng)造圖象中隱藏的數(shù)量相關(guān)性，將幾何圖形所有屬性以數(shù)這種形式進(jìn)行體現(xiàn).其二，數(shù)轉(zhuǎn)形這種轉(zhuǎn)化模式，一般是按照問題中的已知假設(shè)，畫出相應(yīng)的圖形，圖形可以表示既有數(shù)量關(guān)系，從而更加直接地了解數(shù)、形本質(zhì).其三，數(shù)形互轉(zhuǎn).這種模式主要是通過數(shù)、形之間的相互對立統(tǒng)一，詳細(xì)觀察圖形之后，展開數(shù)、公式結(jié)構(gòu)的分析，并展開聯(lián)想，從而實現(xiàn)轉(zhuǎn)化，將數(shù)學(xué)習(xí)題原本抽象、空洞的內(nèi)容便成更為形象且直觀的知識，幫助快速解題.

三、高中數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想

1.求解方程式習(xí)題

高中數(shù)學(xué)當(dāng)中涉及到一元二次方程，面對這一類習(xí)題的求解，有時我們會遇到一元二次方程根分布的相關(guān)問題，這時可以使用二次函數(shù)圖象進(jìn)行求解.

例1 設(shè)f(x)=x2-2ax+2，當(dāng)x∈[-1,+∞)時，f(x)>a恒成立，求a的取值范圍.

解析：運用數(shù)形結(jié)合思想，可知這道題有兩種解法.

第一種解法：由f(x)>a，在[-1，+∞)上恒成立?x2-2ax+2-a>0在[-1，+∞)上恒成立.函數(shù)g(x)=x2-2ax+2-a的圖象在區(qū)間[-1，+∞)上位于x軸上方，如下圖可知兩種情況：

綜上所述a∈(-3，1).

第二種解法：由f(x)>a?x2+2>a(2x+1)，令y1=x2+2,y2=a(2x+1),在同一坐標(biāo)系中作出兩個函數(shù)的圖象,如圖滿足條件的直線l位于l1與l2之間，而直線l1、l2對應(yīng)的a值分別為1，-3，所以直線l對應(yīng)的a∈(-3,1).

2.求解函數(shù)解習(xí)題

函數(shù)有各自的表達(dá)式以及圖象，解題時可以通過繪制圖形的方式高效完成，展開數(shù)學(xué)計算也可以求解一些難度較高的問題.

例2 一家運輸公司的運輸設(shè)備分別包括7輛載重量6t的A型卡車、4輛載重量10t的B型卡車，駕駛?cè)藛T為9名.某次該公司承包了每天搬運360t瀝青的工作.已知每輛卡車每日往返次數(shù)如下：A型卡車8次，B型卡車6次.每輛卡車每日往返成本費如下：A型車160元，B型車252元.那么每日派出A型車、B型車多少輛，可以將公司成本控制到最低？

畫出可行域圖，保證z=160x+252y取最小值.

在可行域內(nèi)針對某確定整數(shù)y，x取最小整數(shù)，也可以先定x，再定y的值，如此可行域內(nèi)可能成為最優(yōu)解的可行解如下：(7,1)(5,2)(4,3)(3,4)，將其代入到目標(biāo)函數(shù)中，點(5,2)可以使公式z=160x+252y取最小值，計算可得最小值是1304元.因此，每日派A型車7輛，B型車1輛，這時可以將公司成本控制到最低.

3.求解集合類習(xí)題

一般我們面對集合類問題使用韋恩圖的幾率比較大，所謂韋恩圖，即使用圓代表集合，若兩圓相交，則證明集合內(nèi)有公共元素，若兩圓相離，則證明集合不包括公共元素.如此可見，韋恩圖是求解集合類習(xí)題的有效方法.

例3 假設(shè)a、b為兩個實數(shù)，A={(x，y)|x=n，y=na+b,n∈Z}，B={(x，y)|x=m，y=3m2+15,m∈Z}，C={(x，y)|x2+y2≤144}，是否存在a和b使A∩B≠?和(a，b)∈C同時成立.

解析集合A、B均為不連續(xù)點集，已知條件中給出“存在a、b，使得A∩B≠?”這一條件，即代表“存在a、b使得na+b=3n2+15(n∈Z)有解，解為(A∩B時x=n=m).根據(jù)主參數(shù)a、b，便可明確問題在幾何角度的意義，即動點(a，b)在直線l：nx+y=3n2+15上，且直線與圓x2+y2=144有公共點，但原點到直線l的距離不小于12.應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，這道題同樣有兩種解法：

第一種解法：由A∩B≠φ得na+b=3n2+15

第二種解法：這一道題也可以使用代數(shù)方法求解.

由A∩B≠?可得na+b=3n2+15,即b=3n2+15-an. ①

由(a,b)∈C可得，a2+b2≤144. ②

將①代入②中可得關(guān)于a的不等式：(1+n2)a2-2n(3n2+15)a+(3n2+15)2-144≤0. ③

判別式Δ=4n2(3n2+15)2-4(1+n2)[(3n2+15)2-144]=-36(n2-3)2.

∵n是整數(shù),

∴n2-3≠0，Δ<0.

又∵1+n2>0，故③不存在實數(shù)解.

∴不存在a、b，使得A∩B≠?與(a,b)∈C同時成立.

綜上所述，數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)解題中運用，可以提高解題效率，降低問題難度，這對于增強(qiáng)高中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平、綜合素質(zhì)發(fā)展有重要作用.