構造函數 曲徑通幽

吳嘉琛

(河北省張家口市第一中學 075000)

函數與不等式有著密不可分的聯系，在不等式問題中，應重視以函數為橋梁，根據問題建立函數模型，用函數思想分析，解決問題.解(證)不等式問題，從實質上說，是研究相應函數的零點，正負值問題.所以，用函數與方程思想來處理這類問題，不僅會優(yōu)化解題過程，而且會使我們迅速獲得解題的途徑.

一、參數的取值范圍問題

在解決不等式恒成立問題時，一種重要的方法就是構造適當的函數，利用函數的圖象和性質解決問題.同時要注意在一個含多個變量的數學問題中，需要確定合適的變量和參數，從而揭示函數關系，使問題更明朗化.現舉例說明如下：

令f′(x)>0，可得1

令f′(x)<0，可得03.

所以函數f(x)的單調遞增區(qū)間是(1，3)，單調遞減區(qū)間是(0，1)和(3，+∞).

對于函數g(x)=-x2+2bx-4,x∈[1，2]，

當b<1時，[g(x)]max=g(1)=2b-5；

當1≤b≤2時，[g(x)]max=g(b)=b2-4；

當b>2時，[g(x)]max=g(2)=4b-8.

綜合所述，b的取值范圍是(-,

二、證明不等式

在證明不等式時，當所證式子的結構非常復雜，用通常的比較法、配方法、分解因式等方法不能正常解決時，可以構造函數，通過求導，利用函數的單調性、極值等生成不等關系，證明不等式，使解答過程峰回路轉.現舉例說明如下.

(1)求a,b;

(2)證明：f(x)>1.

解析(1)略.