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    數(shù)列有擴(kuò)充 極限難度低

    2012-03-27 01:54
    關(guān)鍵詞:特征方程不動(dòng)點(diǎn)正整數(shù)

    主 講: 沈新權(quán)

    浙江省數(shù)學(xué)特級(jí)教師,嘉興市數(shù)學(xué)會(huì)副會(huì)長(zhǎng).

    推薦名言

    音樂(lè)能激發(fā)或撫慰情懷,繪畫(huà)使人賞心悅目,詩(shī)歌能動(dòng)人心弦,哲學(xué)使人獲得智慧,科學(xué)可改善物質(zhì)生活,但數(shù)學(xué)能給予以上的一切.

    ——菲利克斯·克萊因 (德國(guó)數(shù)學(xué)家,發(fā)現(xiàn)了“克萊因四元群”和“克萊因瓶”)

    數(shù)列問(wèn)題是歷年自主招生考試重點(diǎn)考查的內(nèi)容.它包含著豐富的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法,形式多變,有一定的難度.在考查數(shù)列內(nèi)容時(shí),一方面會(huì)以等差、等比數(shù)列為載體考查基礎(chǔ)知識(shí),另一方面會(huì)以遞推數(shù)列、數(shù)列極限的形式,結(jié)合函數(shù)、方程、不等式、三角函數(shù)、解析幾何、立體幾何等知識(shí)考查同學(xué)們的歸納猜想能力、論證能力以及綜合分析能力.在解決數(shù)列問(wèn)題時(shí),除了要熟練掌握相關(guān)的概念公式,還要善于觀察題設(shè)特征,聯(lián)想有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法,迅速確定解題方向.在論證問(wèn)題時(shí),還有可能用到數(shù)學(xué)歸納法.

    一、等差數(shù)列與等比數(shù)列問(wèn)題

    例1 (2009年北京大學(xué)自主招生考試第2題) 已知由整數(shù)組成的無(wú)窮等差數(shù)列中依次有三項(xiàng):13,25,41.求證:2009為其中一項(xiàng).

    解析: 設(shè)等差數(shù)列{an}中依次有三項(xiàng)am=13,an=25,ak=41,公差為d(d≠0). 要證明2009是{an}中的一項(xiàng),就要證明存在正整數(shù)p使ap=2009.由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得25-13=12=(n-m)d,41-25=16=(k-n)d. 若ap=2009,則ap=2009=13+(p-m)d,即1996=(p-m)d. 又1996=16+12×165,將(p-m)d=1996,(n-m)d=12,(k-n)d=16代入,可得(p-m)d=(k-n)d+165(n-m)d,整理得p=k+164n-164m. ∵ n>m,由m,n,k都是正整數(shù)可知p也是正整數(shù),∴ 2009為{an}中的一項(xiàng).

    例2 (2011年復(fù)旦大學(xué)自主招生考試試題) 設(shè)含有4個(gè)數(shù)的數(shù)列各項(xiàng)為a1,a2,a3,a4.前3個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列,其和為k;后3個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列,其和為9,且公差不為0.對(duì)于任意固定的k,若滿足條件的數(shù)列的個(gè)數(shù)大于1,則k應(yīng)滿足

    A. 12k>27 B. 12k<27 C. 12k=27 D. 其他條件

    解析: 我們可以先根據(jù)“后3個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列,其和為9”設(shè)出后3個(gè)數(shù),再由“前3個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列”推出第1個(gè)數(shù),最后根據(jù)“前3個(gè)數(shù)之和為k”建立等量關(guān)系.

    設(shè)后3個(gè)數(shù)為a2=3-d,a3=3,a4=3+d. 由前3個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列可得a1=. 由題意可得+3-d+3=k,整理得d2-9d+27-3k=0. ∵ 滿足條件的數(shù)列的個(gè)數(shù)大于1, ∴ Δ>0,解得12k>27. 選A.

    點(diǎn)評(píng): 例2的突破口在于如何設(shè)這4個(gè)數(shù),難點(diǎn)在于如何將這4個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于d的二次方程,從而由 Δ>0求出k的取值范圍.

    例3 (2009年中國(guó)科技大學(xué)自主招生考試第14題) 已知A={xx=n!+n,n∈N*},B是A在N*上的補(bǔ)集. (1) 求證:無(wú)法從B中取出無(wú)限個(gè)數(shù)組成等差數(shù)列;(2) 能否從B中取出無(wú)限個(gè)數(shù)組成等比數(shù)列?試說(shuō)明理由.

    解析: (1) 用反證法證明.設(shè)能夠從B中取出無(wú)限個(gè)數(shù)組成公差為d的等差數(shù)列{am},則am=a1+(m-1)d.當(dāng)n>d時(shí), ∵ n!+n=n?[(n-1)!+1], ∴ [n!+n],[(n+1)!+(n+1)],[(n+2)!+(n+2)],…除以d所得的余數(shù)分別與n,n+1,n+2,…除以d所得的余數(shù)相同,且這些余數(shù)是逐一遞增的,當(dāng)余數(shù)取到d-1后,又周期性重復(fù)出現(xiàn). ∴ 存在n0,使得n0!+n0被d除與am被d除的余數(shù)相同,這就說(shuō)明n0!+n0是等差數(shù)列{am}中的項(xiàng). 而n0!+n0∈A說(shuō)明n0!+n0?埸B,∴ 假設(shè)不成立,即無(wú)法從B中取出無(wú)限個(gè)數(shù)組成等差數(shù)列.

    (2) 能從B中取出無(wú)限個(gè)數(shù)組成等比數(shù)列.例如取bm=5m (m∈N*),∵ n!+n=n[(n-1)!+1],當(dāng)n>5時(shí)[(n-1)!+1]不能被5整除,∴ 5m?埸A,∴ 5m∈B,數(shù)列{bm}是B中取出無(wú)限個(gè)數(shù)組成的等比數(shù)列.

    點(diǎn)評(píng): 解決問(wèn)題(1)的關(guān)鍵,是理解如果某個(gè)數(shù)是等差數(shù)列{am}中的一項(xiàng),那么這個(gè)數(shù)被d除所得的余數(shù)與數(shù)列中任意一項(xiàng)am被d除所得的余數(shù)相同. 解決問(wèn)題(2)則要靠構(gòu)造法找出不屬于集合A但屬于集合B的等比數(shù)列.

    二、遞推數(shù)列問(wèn)題

    遞推數(shù)列問(wèn)題主要考查三種遞推數(shù)列:線性遞推數(shù)列、分式型遞推數(shù)列、混合型遞推數(shù)列.解決遞推數(shù)列問(wèn)題時(shí),如果能求出通項(xiàng),一般要先求出通項(xiàng);如果無(wú)法求出通項(xiàng),則要研究遞推數(shù)列所滿足的性質(zhì).

    例4(2010年“華約”自主招生考試第15題) 函數(shù)f(x)=,設(shè)x1=3,xn+1=f(xn),n∈N*. 證明: xn-2≤.

    補(bǔ)充知識(shí):方程f(x)=x的根叫做函數(shù)f(x)的不動(dòng)點(diǎn),利用不動(dòng)點(diǎn)可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式. 對(duì)于an+1=形式的遞推數(shù)列{an},不動(dòng)點(diǎn)為方程=x的解. 當(dāng)方程=x有兩個(gè)不同的解α,β時(shí),將α,β分別代入an+1=,由=整理可得=k?的形式,令bn=,原問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列問(wèn)題. 當(dāng)方程=x只有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)α?xí)r,對(duì)an+1=兩邊同時(shí)減去α再取倒數(shù),得=,該式可轉(zhuǎn)化為=k+的形式,令bn=,原問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列問(wèn)題.

    解析: 由題意得xn+1=,設(shè)不動(dòng)點(diǎn)為λ,則λ=,解得λ=±2. 由xn+1-λ=-λ可得 xn+1+2=(①),xn+1-2=(②),①式除以②式可得=-3?. ∵ x1=3, ∴ 數(shù)列是首項(xiàng)為5、公比為-3的等比數(shù)列, ∴ =5×(-3)n-1,整理可得xn-2=.

    要證xn-2≤,只需證明4×3n-1≤5×(-3)n-1-1. 至此,需討論n的奇偶性.若n=2k(k∈N*),則5×(-3)n-1-1=5×32k-1+1≥4×32k-1;若n=2k-1(k∈N*),則只需證明4×32k-2≤5×32k-2-1,即32k-2≥1,該式顯然成立. xn-2≤得證.

    例5 (2009年中國(guó)科技大學(xué)自主招生考試第11題) 正數(shù)數(shù)列{xn},{yn}滿足:xn+2=2xn+1+xn,yn+2=yn+1+2yn (n∈N*). 證明:存在正整數(shù)n0,對(duì)任意n>n0,xn>yn恒成立.

    補(bǔ)充知識(shí):我們把二次方程x2=c1x+c2稱(chēng)為數(shù)列遞推式an=c1an-1+c2an-2 (n≥3,n∈N*)的特征方程. 設(shè)x1,x2是此特征方程的兩根(即特征根),則當(dāng)x1≠x2時(shí),an=α1+α2;當(dāng)x1=x2時(shí),an=(β1+β2n). 其中待定常數(shù)α1,α2,β1,β2均由初始值a1,a2確定.

    解析:例5中的兩個(gè)遞推數(shù)列都是線性遞推數(shù)列,可以用特征根法求出通項(xiàng)公式,再根據(jù)數(shù)列的特點(diǎn)比較xn和yn的大小.

    xn+2=2xn+1+xn對(duì)應(yīng)的特征方程為x2-2x-1=0,其特征根為1-,1+. yn+2=yn+1+2yn對(duì)應(yīng)的特征方程為y2-y-2=0,其特征根為-1,2. 設(shè)xn=λ1(1-)n+λ2(1+)n,yn=u1?(-1)n+u2?2n,則有xn-yn=[λ1(1-)n-u1(-1)n]+[λ2(1+)n-u2?2n]. ∵x1=λ1(1-)+λ2(1+),x2=λ1(3-2)+λ2(3+2),{xn},為正數(shù)數(shù)列,可得λ2=?x1+x2>0.同理,u2=(y1+y2)>0. ∵ 1+>2>1,λ2>0,u2>0, ∴ 當(dāng)n充分大時(shí),λ2(1+)n-u2?2n也充分大.又 λ1(1-)n-u1(-1)n∈(-λ1-u1,λ1+u1),∴存在正整數(shù)n0滿足xn-yn=[λ1(1-)n-u1(-1)n]+[λ2(1+)n-u2?2n]>0,對(duì)任意n>n0,xn>yn恒成立.

    三、數(shù)列極限問(wèn)題

    作為高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),數(shù)列極限問(wèn)題在自主招生考試中出現(xiàn)的頻率比較高,但難度一般都不大. 求解數(shù)列極限問(wèn)題一般需掌握三個(gè)最基本的極限:(1) C=C(即常數(shù)列的極限是其本身);(2) =0 (k為常數(shù));(3) 當(dāng)q<1時(shí),qn=0.

    例6 (2005年復(fù)旦大學(xué)自主招生考試第5題) (-)= .

    解析:-)===1.

    點(diǎn)評(píng):求數(shù)列極限的基本思路是“先變形,再根據(jù)極限的運(yùn)算法則求解”. 先把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成為“”或者“”的類(lèi)型,再借助三個(gè)基本的極限求出極限.例6通過(guò)分子有理化,把“∞-∞”類(lèi)型的極限題轉(zhuǎn)化成了“”的類(lèi)型.

    例7 (2007年清華大學(xué)自主招生考試第2題) 設(shè)正三角形的邊長(zhǎng)為a,Tn+1 是Tn的中點(diǎn)三角形,An為T(mén)n減去Tn+1后剩下的三個(gè)三角形的內(nèi)切圓的面積之和,求Ak.

    解析:設(shè)Tn的邊長(zhǎng)為an (其中a1=a),則有An=3π??2=. 又a1=a,an=an-1,∴ an=,代入可得An=?n, ∴Ak=, Ak=.

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