一道二元最值問題的“四解、二變”

■河南省鄭州工業(yè)應(yīng)用技術(shù)學(xué)院 鄭素芳

二元最值問題是多元最值問題中最基本的題型,但是同學(xué)們?cè)谔幚磉@類問題時(shí)常常感到比較棘手,一來思路受阻,二來容易出錯(cuò),究其原因是對(duì)這類問題的結(jié)構(gòu)特征、變化規(guī)律以及解題技巧沒有掌握。對(duì)此,本文對(duì)一道二元最值問題從四種解法、二個(gè)變式的視角加以探究,供同學(xué)們學(xué)習(xí)時(shí)參考。

題目已知正實(shí)數(shù)a,b滿足2a+b=1,則的最小值是

一、四種解法

(一)常規(guī)解法

所求式是由兩個(gè)分子與分母都是一次的分式組成,所以容易想到用方程思想求解。

解法1：先減元,后用判別式。

去分母后,整理得：

(3t-5)b2+(4t-2)b+t-1=0。

若3t-5=0,即時(shí),由上式可得,與已知條件b是正實(shí)數(shù)相矛盾,所以3t-5≠0。因此,Δ=(4t-2)2-4(3t-5)·(t-1)≥0,整理得t2+4t-4≥0。由此可得,所以t-,即得,故的最小值是

點(diǎn)評(píng)：按照上述方法,如果將b=1-2a代入后,則得到的方程是(3t-5)a2+(6-5t)a+2(t-1)=0。當(dāng)3t-5=0時(shí),可得a=,此時(shí)b=,不符合題意。因此,3t-5≠0,以下解題過程同上。

如果不用判別式法,那么用常用的解題工具——基本不等式,行不行呢?

解法2：先變形后用基本不等式。

點(diǎn)評(píng)：在解法2中,由于使用了“1”的代換技巧,使得變形過程中出現(xiàn)了分子與分母都是齊次的分式,為下面的變形得到搭建了平臺(tái),從而使基本不等式的應(yīng)用水到渠成。

(二)優(yōu)美解法

解法3：由已知條件及基本不等式,可得：

如果第二項(xiàng)的分母不變,而改變第一項(xiàng)的分母,行不行呢?

解法4：由已知條件及基本不等式,可得：,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。

點(diǎn)評(píng)：比較上述四種解法,前兩種解法比較復(fù)雜,但是通解通法,屬于基礎(chǔ)層面,后兩種解法十分簡(jiǎn)捷,但卻需要抓住問題式的結(jié)構(gòu)特征,對(duì)同學(xué)們的觀察能力具有較高的要求,因此屬于能力層面。希望同學(xué)們?cè)跀?shù)學(xué)解題中,思維不能僅僅停留在通解通法的基礎(chǔ)層面,還要加強(qiáng)對(duì)優(yōu)美解法的能力訓(xùn)練,不斷提升數(shù)學(xué)解題素養(yǎng)。

二、二個(gè)變式

1.等差換元。由已知條件知,2a,,b成等差數(shù)列,由此可設(shè)x,則代入原問題整理后,可得：

變式1已知,則的最小值是

解：由已知條件可知,5-6x＞0,3-2x＞0。由基本不等式可得：

點(diǎn)評(píng)：變式1是將原來的二元最值問題轉(zhuǎn)化為一元最值問題,如果按照習(xí)慣性思維,采用判別式法求解,則要復(fù)雜一些,但利用分子與分母的結(jié)構(gòu)特征,用“添項(xiàng)法”處理卻十分簡(jiǎn)捷。

2.適當(dāng)升冪。將分子中的變a為a2,b變?yōu)閎2,同時(shí)對(duì)第二項(xiàng)的分母作“微調(diào)”處理,可得：

變式2已知正實(shí)數(shù)a,b滿足2a+b=1,則的最小值是

解：由已知條件及柯西不等式,可得：

當(dāng)且僅當(dāng)2a=b時(shí)等號(hào)成立。