雙變量不等式的解題策略

■河南省濮陽(yáng)市第一高級(jí)中學(xué) 李佳穎

2018年全國(guó)Ⅰ卷的導(dǎo)數(shù)壓軸題,再次掀起研究雙變量不等式、極值點(diǎn)偏移的熱潮。據(jù)統(tǒng)計(jì)近九年的全國(guó)及各地高考試題中,有七次出現(xiàn)在高考?jí)狠S題位置,很多同學(xué)對(duì)此類問(wèn)題經(jīng)常是束手無(wú)策。而且此類問(wèn)題變化多樣,有些題型是不含參數(shù)的,而更多的題型又是含有參數(shù)的。不含參數(shù)的如何解決?含參數(shù)的又該如何解決?是否有更簡(jiǎn)便的方法來(lái)解決?其實(shí),處理這類問(wèn)題的手段有很多,方法也就有很多,下面從兩類典型問(wèn)題出發(fā)探究解決此類問(wèn)題的常用策略。

一、不含參數(shù)的問(wèn)題

例1(2010年天津理數(shù))已知函數(shù)f(x)=xe-x(x∈R),如果x1≠x2,且f(x1)=f(x2),證明：x1+x2＞2。

證法一：欲證x1+x2＞2,即證x2＞2-x1。f'(x)=(1-x)e-x,易得f(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減,f(x)在x=1處取得極值。f(x1)=f(x2),且x1≠x2,不妨設(shè)0＜x1＜1＜x2,故2-x1,x2∈(1,+∞)。又因?yàn)閒(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減,故只需證f(x2)＜f(2-x1)。又因?yàn)閒(x1)=f(x2),故即證f(x1)＜f(2-x1)。構(gòu)造函數(shù)H(x)=f(x)-f(2-x),x∈(0,1),則等價(jià)于證明H(x)＜0對(duì)x∈(0,1)恒成立。

由于H'(x)=在(0,1)上恒大于0,則H(x)在x∈(0,1)上單調(diào)遞增,所以H(x)＜H(1)=0。故H(x)＜0對(duì)x∈(0,1)恒成立,原不等式x1+x2＞2亦成立。

證法二：由f(x1)=f(x2),得=,化簡(jiǎn)得

不妨設(shè)x2＞x1,由證法一知,0＜x1＜1＜x2。令t=x2-x1,則t＞0,x2=t+x1。代入①式,得,解得。則x1+x2=2x1+t=。故要證x+x

12＞2,即證+t＞2。又因?yàn)閑t-1＞0,等價(jià)于證明：2t+(t-2)(et-1)＞0。②

構(gòu)造函數(shù)G(t)=2t+(t-2)(et-1)(t＞0),則G'(t)=(t-1)et+1,G″(t)=tet＞0,故G'(t)在t∈(0,+∞)上單調(diào)遞增,G'(t)＞G'(0)=0,從而G(t)也在t∈(0,+∞)上單調(diào)遞增,G(t)＞G(0)=0,即證②式成立,也即原不等式x1+x2＞2成立。

小結(jié)：以上兩種證法均是為了實(shí)現(xiàn)將雙變量的不等式轉(zhuǎn)化為單變量不等式,證法一利用構(gòu)造新的函數(shù)來(lái)達(dá)到消元的目的,證法二則是利用構(gòu)造新的變量,將兩個(gè)舊的變量都換成新變量來(lái)表示,從而達(dá)到消元的目的。

二、含參數(shù)的問(wèn)題

例2已知函數(shù)f(x)=x-aex有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1,x2,求證：x1+x2＞2。

思路1：函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn),等價(jià)于方程xe-x=a的兩個(gè)實(shí)根,從而這一問(wèn)題與例1完全等價(jià),例1的兩種證法全都可以用。

思路2：也可以利用參數(shù)a這個(gè)媒介去構(gòu)造出新的函數(shù)。解答如下：

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2,所以

由(1)+(2)得：

x1+x2=a()。

要證明x1+x2＞2,只要證明a(+)＞2。

由(1)-(2)得：

x1-x2=

證(x1-x2＞2?(x-x)·12

不妨設(shè)x1＞x2,記t=x1-x2,則t＞0,et＞1。因此只要證明。再次換元令et=x＞1,t=l nx,即證

小結(jié)：本題是含參數(shù)的極值點(diǎn)偏移問(wèn)題,在原有的兩個(gè)變量x1,x2的基礎(chǔ)上,又多了一個(gè)參數(shù),思路很自然地就會(huì)想到：想盡一切辦法消去參數(shù),從而轉(zhuǎn)化成不含參數(shù)的問(wèn)題去解決;或者以參數(shù)為媒介,構(gòu)造新的函數(shù)解題。

例3已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2,證明：x1+x2＜2。

證明：由f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2,得f'(x)=(x-1)(ex+2a),可知f(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增。要使函數(shù)y=f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2,則必須有a＞0。

不妨設(shè)x1＜x2,由單調(diào)性知x1∈(-∞,1),x2∈(1,+∞),所以2-x2∈(-∞,1)。f(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞減,故要證x1+x2＜2,等價(jià)于證明f(2-x2)＜f(x1)=0。

解決雙變量不等式的兩種方法,實(shí)質(zhì)上都是把雙變量的等式或不等式轉(zhuǎn)化為一元變量求解,途徑都是構(gòu)造一元函數(shù),掌握了這一本質(zhì)思想,此類問(wèn)題就可以迎刃而解。