鐵基超導中拓撲量子態(tài)研究進展?

郝寧1)? 胡江平2)3)?

1)(中國科學院強磁場科學中心,極端條件凝聚態(tài)物理安徽省重點實驗室,合肥 230031)

2)(中國科學院物理研究所,北京凝聚態(tài)物理國家研究中心,北京 100190)

3)(中國科學院大學,卡弗里理論科學研究所,北京 100190)

鐵基超導體和拓撲量子材料是近年來凝聚態(tài)物理兩個重要的前沿研究方向.鐵基超導體中是否能衍生出非平庸的拓撲現(xiàn)象是一個非常有意義的問題.本文從晶體對稱性、布里淵區(qū)高對稱點附近的有效模型以及自旋軌道耦合相互作用三個方面具體分析了鐵基超導的電子結(jié)構(gòu)的基本特點.在此基礎(chǔ)上,重點闡述鐵基超導的正常態(tài)、臨近超導的長程有序態(tài)以及超導態(tài)中非平庸的拓撲量子態(tài)是如何衍生的;具體介紹了相關(guān)的理論模型以及結(jié)果,回顧了相關(guān)的實驗進展,展望了該領(lǐng)域的發(fā)展前景.

1 引 言

2008年,日本科學家首次合成出超導轉(zhuǎn)變溫度達到26 K的LaO1?xFxFeAs鐵基超導材料[1],這一突破性發(fā)現(xiàn)標志著鐵基超導材料研究的開端.從新材料合成的角度回顧十年來鐵基超導研究的歷程,主要分為三個階段:1)以LaO1?xFxFeAs為代表的鐵砷超導系,主要特點是布里淵區(qū)Γ點和M點分別存在空穴型和電子型的費米面,這一特征是早期基于費米面嵌套的超導理論的基礎(chǔ);2)2010年中國科學院物理研究所的陳小龍研究組[2]首次合成了超導轉(zhuǎn)變溫度為30 K的KxFe2Se2鐵硒超導材料,與鐵砷超導相比,其主要特點是布里淵區(qū)Γ點處的空穴型費米面消失了,只在M點存在電子型的費米面,這一新的材料體系對早期的鐵基超導理論提出了巨大挑戰(zhàn),導致了完全不同的鐵基超導理論;3)2012年清華大學薛其坤教授研究組[3]首次通過分子束外延法在SrTiO3襯底上生長出單層的FeSe薄膜,實驗得到了超導轉(zhuǎn)變溫度高達65 K的超導態(tài),這是實驗上首次制備出的界面高溫超導體系.以上述三種材料體系為代表,經(jīng)過十多年的發(fā)展,鐵基超導材料家族變得十分龐大.如此豐富的材料類別,為探索各種新的衍生量子物態(tài)提供了可能性.

傳統(tǒng)的高溫超導研究的基本問題主要包括兩個方面:一是如何理解高溫超導機理;二是如何理解不同的有序態(tài)(電荷序、磁有序、軌道序和超導序等)或量子漲落的共存與競爭關(guān)系.對于鐵基超導研究也是如此,但是與單軌道的銅基高溫超導相比,鐵基超導材料屬于多軌道的復雜電子體系,其豐富的自由度為在鐵基超導材料中研究新問題提供了基礎(chǔ).

自2005年量子自旋霍爾效應(yīng)和拓撲絕緣體首次在理論上預測并實驗實現(xiàn)以來[4?10],拓撲量子材料迅速成為凝聚態(tài)物理研究的焦點,其中拓撲能帶論描述的電子材料由于其真實材料體系的豐富性和相關(guān)理論的完備性而成為拓撲量子材料的研究重點.因此,一個自然而然的新問題是,在鐵基超導材料中是否可以實現(xiàn)高溫超導和拓撲的交叉和關(guān)聯(lián)?以此新問題為目標,本綜述主要回顧近幾年來鐵基超導材料中各種關(guān)于衍生拓撲量子態(tài)的理論設(shè)計和相關(guān)實驗進展,分別討論在鐵基超導的正常相、對稱性破缺的有序相以及超導相中,拓撲如何衍生并與之耦合,從而形成一些奇異的拓撲量子物態(tài).通過系統(tǒng)總結(jié)和歸納,希望可以拓展鐵基超導新的研究方向.

圖1 (a)鐵基超導X-Fe-X三層子結(jié)構(gòu);(b)X-Fe-X 三層子結(jié)構(gòu)的俯視圖,紅色實線代表一個鐵的原胞,藍色虛線代表兩個鐵的原胞,A和B代表兩個鐵的子格,AB中點是空間反演中心,鏡面滑移對稱操作 和空間反演滑移操作以鐵原子為原點定義,分數(shù)平移 在兩個鐵的原胞坐標 (x′,y′,z′) 中定義

Fig.1.(a)The lattice structures of FeSe;(b)the top view of Fig.(a).The one-Fe unit cell is enclosed by red/solid lines and the two-Fe unit cell is enclosed by the blue/dashed lines,with the two-Fe sublattice labeled with A and B.The inversecenter is labeled by the small cross at the midpoint{ o?f the }A-B link.The glide-plane mirror re fl ection symmetryand the glide-plane inversion symmetryare de fi ned after the origin is fi xed on Fe

2 鐵基超導體的電子結(jié)構(gòu)

2.1 晶格和對稱性

所有鐵基超導體都具有核心的X-Fe-X三層子結(jié)構(gòu),其中X代表As,P,S,Se,Te原子,大部分重要的物理現(xiàn)象都與這個子結(jié)構(gòu)密切相關(guān).XFe-X的三層子結(jié)構(gòu)如圖1(a)所示,其中Fe四方格子被上下的X原子層夾在中間,并且上層的X原子沿著Fe格子的對角線方向排布,下層的X原子沿著Fe格子的反對角線方向排布.X原子這種上下交錯的排布使得原胞中包含兩個不等價的Fe原子[11].

這個X-Fe-X三層子結(jié)構(gòu)的對稱性由非點式的P4/nmm空間群來決定,這意味著在X-Fe-X三層子結(jié)構(gòu)中不存在一個原點使得每一個對稱操作都可以分解成一個點群操作和一個整數(shù)格矢的平移操作.P4/nmm空間群的對稱性操作元可以按以下方式構(gòu)造,取任意Fe原子為原點(0,0,0),其中的八個對稱性操作元包括單位操作E,兩個關(guān)于z軸的90?旋轉(zhuǎn),接著做空間反演組成的2S4,三個關(guān)于x,y,z軸的180?旋轉(zhuǎn)c2(x),c2(y),c2(z)以及兩個鏡面反射2σd,這八個對稱性操作元形成一個點群D2d.此{外?,上述}八個對稱操作元乘以一個滑移反演操作可以得到另外八個對稱操作元,其中i表示關(guān)于原點(0,0,0)的空間反演操作,表示定義在兩個Fe原胞坐標系(x′,y′,z′)中的分數(shù)平移操作.滑移反演操作價于關(guān)于最近鄰Fe與Fe中點的空間反演操作,如圖1(b)中的“X”點所示.P4/nmm空間群中的最后一個操作是定義在坐標系(x′,y′,z′)中的整數(shù)周期的平移對稱操作T.因此,P4/nmm空間群可以表示成如下形式:那么單粒子的電子態(tài)的對稱性完全由P4/nmm空間群來決定.由于整數(shù)平移對稱操作T的作用,這些單粒子的電子態(tài)可以表示成布洛赫態(tài)的形式.進一步,這些布洛赫態(tài)的對稱{性?由商群}(P4/nmm)/T來決定.但是,分數(shù)平移的作用導致商群(P4/nmm)/T不是封閉的,因此,它不是一個點群.在這種情況下用點群的不可約表示來對布洛赫態(tài)進行分類似乎是不合適的.幸運的是,商群(P4/nmm)/T中的對稱性操作元是有限的,那么確定布洛赫態(tài)在商群(P4/nmm)/T的群元素操作下是如何變化的就變得可能并且有意義.特別地,在布里淵區(qū)某些高對稱點,分數(shù)平移操作的效果可以被消除掉,那么商群(P4/nmm)/T就同構(gòu)于一個點群D4h,該點群等于D2d和C4v的直和.在這種情況下,布洛赫態(tài)可以用點群D4h的不可約表示來表征.布里淵區(qū)中其他具有較低對稱性的點或線處的布洛赫態(tài)可以由這些點或線所具有的對稱性形成的小群來表征,更多的細節(jié)可以參考文獻[12].

下面主要闡述某些關(guān)鍵的對稱操作對鐵基超導布洛赫電子態(tài)的約束關(guān)系以及鐵基超導體中一個Fe的原胞圖景和兩個Fe的原胞圖景的關(guān)系.特別地,在理解鐵基超導的許多問題時,采用一個Fe的原胞圖景通常是非常有用的.在P4/nmm空間群中一個非常關(guān)?鍵的對稱操作元是滑移鏡面反射對稱操作這個對稱操作元直接包含了X原子的交錯排列對Fe四方格子的影響,應(yīng)該隱含了電子態(tài)在一個Fe和兩個Fe原胞之間變換的某些關(guān)聯(lián).為了更清楚地揭示這種關(guān)聯(lián),考慮一個定義在兩個Fe原胞圖景下的布洛赫電子態(tài),

其中H?表示單粒子的哈密頓量.能量的本征態(tài)用能帶的指標j來標記,并有如下定義:

給定能帶指標j,布洛赫波函數(shù)unj,k′(α)可以用狄拉{克括?號簡}記為|αη,k′?.根據(jù)鏡面滑移對稱操作的宇稱,布洛赫態(tài)可以被分為兩組,并可以重組為如下贗布洛赫態(tài)的形式:

其中p=?α|mz|α?,k是定義在一個Fe原胞對應(yīng)的布里淵區(qū)內(nèi)的動量.Q=(π,π,0)對應(yīng)于折疊的波矢量.可以發(fā){現(xiàn),?贗的}布洛赫態(tài)|α,k?具有鏡面滑移對稱操作的奇宇稱,贗的布洛赫態(tài)|α,k+Q?具有鏡面滑移對稱操作偶宇稱.(6)式表明,由于X原子的分布構(gòu)型導致的二元子格的自由度可以被消除,代價是布里淵區(qū)要發(fā)生折疊.(6)式清楚地表明了一個Fe和兩個F{e的?圖景間}的映射關(guān)系,并且只要鏡面滑移操作對稱性不被破壞,這種映射關(guān)系就是嚴格成立的.

上述的討論并沒有涉及具體的電子結(jié)構(gòu).實際上,第一性原理計算和相應(yīng)的緊束縛模型可以給出明確的電子結(jié)構(gòu)[13,14],這些電子結(jié)構(gòu)的特點完全由上述的對稱性來決定,在下面的討論中,針對具體的問題會做詳細的分析.在結(jié)束本節(jié)的討論前,再討論一些可能導致對稱性破缺的效應(yīng).實際上,鏡面滑移對稱操作的對稱性通常是不守恒的,在大多數(shù)鐵基超導體中都被很弱的效應(yīng)所破缺掉,從而導致某些類似|α,k+Q??α′,k|+H.c.的效應(yīng)存在.在這種意義上,鐵基超導體的正常態(tài)屬于一種弱的電荷密度波態(tài).例如,這種弱的耦合效應(yīng)可以來自于c方向的層間耦合.層間耦合包括兩部分:第一部分描述具有相同鏡面滑移對稱操作宇稱的兩個贗布洛赫態(tài)間的耦合,這種耦合f(kx,ky)coskz不破壞鏡面滑移對稱性[15];第二部分描述具有相反的鏡面滑移對稱操作宇稱的兩個贗布洛赫態(tài)間的耦合,這種耦合g(kx,ky)sinkz會破壞鏡面滑移對稱性[15].需要特別指出的是,耦合g(kx,ky)sinkz應(yīng)當非常弱,因為這種耦合項來自于長程的躍遷過程.但是,耦合g(kx,ky)sinkz在布里淵區(qū)的某些點會非常關(guān)鍵,當它的強度與這些點非常小的能隙可以比擬時,類似于Bi2Se3,鐵基超導體中可以產(chǎn)生出三維的拓撲絕緣體相[16].

2.2 高對稱性點處k·p有效哈密頓量

鐵基超導中的許多問題只和費米能附近非常窄的能量區(qū)間的電子結(jié)構(gòu)有緊密關(guān)系,因此在布里淵區(qū)高對稱點處費米能級附近關(guān)于能帶的k·p展開是一種描述電子結(jié)構(gòu)非常有效的近似.圖2給出了典型的鐵基超導的能帶結(jié)構(gòu).這里討論兩種不同的途徑來構(gòu)造k·p有效模型:第一種途徑是利用布里淵區(qū)高對稱點處的布洛赫本征態(tài)作為基來構(gòu)造k·p有效模型[12],在此基函數(shù)下,k·p有效哈密頓量中的項是關(guān)于動量k的冪次展開,并且具有布洛赫本征態(tài)的不可約表示函數(shù)的形式;第二種途徑是利用布里淵區(qū)高對稱點處具有特定軌道的萬尼爾波函數(shù)作為基來構(gòu)造k·p有效模型.

圖2 緊束縛模型近似下典型的鐵基超導的能帶圖Fig.2.Band structures of a typical iron-based superconductor.

在精確的布洛赫基下,對于布里淵區(qū)的Γ和M點,k·p有效哈密頓量可以表示為如下形式[12]:

其中六分量的旋量具有如下形式:

對于每一個自旋投影,ψX的上分量按群表示EXM1的形式變換,ψX的下分量按群表示EXM3的形式變換,ψY的上分量按群表示EYM1的形式變換,ψY的下分量按群表示EYM3的形式變換.類似地,對于每一個自旋投影,ψΓ的上下兩個分量按軸矢量Eg的形式變換.因此,方程(7)的對角元可以表示成如下形式:

(9)—(12)式可以用來擬合鐵基超導體的布里淵區(qū)Γ和M 點附近的能帶結(jié)構(gòu)[12].對于拓撲能帶論而言,用萬尼爾函數(shù)作為基來構(gòu)造有效的k·p哈密頓量通常來說是非常有效的.第一性原理計算可以確定高對稱點Γ和M附近能帶的軌道權(quán)重.對于鐵基超導體,計算表明,在高對稱點Γ和M附近三個t2g軌道具有最大的權(quán)重;在Γ點費米能附近,其中兩條能帶具有兩維的Eg不可約表示,一條能帶具有一維的B1g不可約表示.萬尼爾函數(shù)|xz,k?和|yz,k?給出Eg表示的基函數(shù),|xy,k+Q?給出了B1g表示的基函數(shù).因此,Γ點附近的k·p有效哈密頓量具有如下的形式:

如圖2所示,在布里淵區(qū)M點(也就是(π,0)點),所有的能帶都是兩重簡并(不考慮自旋自由度),其中在費米能附近的兩個簡并點分別是EM3和EM1,EM3對應(yīng)的萬尼爾基是(|xy,k?,|xy+Q,k?),EM1對 應(yīng) 的 萬 尼 爾 基 是(|yz,k?,|xz,k+Q?).根據(jù)鏡面反演對稱性的宇稱,M點附近的k·p有效哈密頓量具有下列形式:

取合適的擬合參數(shù),(7)—(12)式和(13)—(19)式可以給出類似的描述布里淵區(qū)Γ和M點附近的能帶結(jié)構(gòu)[12].

2.3 自旋軌道耦合

一般而言,對鐵基超導體的自旋軌道耦合效應(yīng)是可以忽略的.但是,鐵基超導體中存在一些具體的材料體系,在布里淵區(qū)的某些點處,能帶有一些非常小的能隙,大小從幾個毫電子伏特到幾十個毫電子伏特[17,18],自旋軌道耦合可以克服這些小的能隙進而導致系統(tǒng)發(fā)生拓撲相變.

在鐵基超導中唯象的自旋軌道耦合可以表示成原子極限下的形式[17]:

其中λso表示鐵原子3d軌道的自旋軌道耦合的強度. X原子p軌道的效果可以被重整到λso. Fe原子裸的自旋軌道耦合強度大約在80 meV[18]附近或50 meV附近[17].這個強度的自旋軌道耦合可以引起布里淵區(qū)M點附近大概50—100 meV的裸的能量劈裂.sα代表三個泡利矩陣,(Lx,Ly,Lz)代表三個角動量矩陣,在基[dxz,dyz,dx2?y2,dxy,dz2]下,三個角動量矩陣具有如下形式:

(20)式表明自旋軌道耦合分為自旋守恒的項λsoLzsz和自旋翻轉(zhuǎn)的項λso(Lxsx+Lysy).(21)式表明自旋守恒的項耦合了兩個具有相同鏡面滑移對稱操作宇稱的軌道,自旋翻轉(zhuǎn)的項耦合了兩個具有相反鏡面滑移對稱操作宇稱的軌道.

自旋軌道耦合通常在驅(qū)動拓撲相變的過程中扮演非常重要的角色[19,20],下面看自旋軌道耦合如何影響布里淵區(qū)高對稱點附近的能帶結(jié)構(gòu).以最簡單的k·p有效哈密頓量為例,并且只考慮三個t2g軌道.對于(13)式中的Γ點附近的有效哈密頓量,考慮自旋自由度,那么自旋守恒的項λsoLzsz導致|xz,k,σ?和|yz,k,σ?的耦合,自旋翻轉(zhuǎn)的項λso(Lxsx+Lysy)導致|xz,k,σ?,|yz,k,σ?和|xy,k,?σ?的耦合.在t2g(dxz,dyz,dxy)子空間中,三個有效的軌道角動量矩陣(?Lx,?Ly,?Lz)具有如下的形式:

在Γ點附近新的k·p有效哈密頓量可以表示成如下形式:

(23)式中包含了三個軌道角動量矩陣,因此Γ點的費米能附近的三個能帶是相互耦合在一起的.

對于(17)式描述的M點附近的有效哈密頓量,從(17)式—(19)式和(22)式可以看出,當考慮自旋自由度以及自旋軌道耦合時,由于自旋反轉(zhuǎn)項λso(Lxsx+Lysy)會引起|yz,k,σ?與|xy,k+Q,?σ?的耦合以及|xy,k,σ?與|xz,k+Q,?σ?的耦合.因此,計入自旋軌道耦合中自旋翻轉(zhuǎn)項對M點附近k·p有效哈密頓量的貢獻可以表示成

值得注意的是,在上述M點附近k·p有效哈密頓量中,自旋守恒的項λsoLzsz并沒有貢獻.實際上,自旋守恒項的貢獻可以通過下面的考慮來導出,前述構(gòu)造M點附近哈密頓量時,忽略了EM2的貢獻,因為EM2態(tài)距離費米能很遠,如圖2所示.EM2態(tài)包含萬尼爾態(tài)|xz,k,σ?和|yz,k+Q,σ?.自旋守恒項λsoLzsz耦合來自于EM1的|yz,k,σ?和EM2的|xz,k,σ?以及EM1的|xz,k+Q,σ?和EM2的|yz,k+Q,σ?.由于EM1和EM2對應(yīng)的能量劈裂很大,因此自旋守恒項λsoLzsz對k·p有效哈密頓量的修正可以近似地表示為

因此,計入自旋軌道耦合的影響,在M點附近的k·p有效哈密頓量具有如下形式:

值得注意的是,哈密頓量HM+?M和BHZ模型具有類似的形式.調(diào)節(jié)參數(shù)t5可以導致能帶反轉(zhuǎn)進而引起拓撲相變.通常而言,?HM和?M的效應(yīng)比較弱,對鐵基超導體的能帶結(jié)構(gòu)影響不大.但是對于某些具體的材料或者界面體系,比如單層FeSe/SrTiO3,?H?M可以強烈地調(diào)制M點附近的能帶結(jié)構(gòu)并有可能引起拓撲相變[21].

3 鐵基超導體正常態(tài)的拓撲

在上面一節(jié)的論述中,重點討論了鐵基超導的對稱性和電子結(jié)構(gòu)的特點,現(xiàn)在轉(zhuǎn)向本綜述的核心內(nèi)容:鐵基超導中的拓撲量子態(tài).首先討論鐵基超導體正常態(tài)的拓撲.拓撲絕緣體Bi2Se3是關(guān)于能帶拓撲的一個范例,圖3(a)給出了在原子極限下各種相互作用導致的Bi2Se3能帶演化的典型圖像[16],在第IV步,自旋軌道耦合驅(qū)動了能帶反轉(zhuǎn).圖3(a)是描述拓撲絕緣體發(fā)生拓撲相變的標準圖像,類似地,鐵基超導體的拓撲相變也應(yīng)該有類似的圖像.圖3(b)和圖3(c)給出了在原子極限下鐵基超導的3d能帶在雜化、晶體場、自旋軌道耦合或者其他效應(yīng)的作用下,Γ點和M點的能帶演化圖像.具體來看,用符號do/e,α來表示具有關(guān)于鏡面滑移對稱操作的奇/偶宇稱的α軌道.|do/e,ml,mj?表示磁量子數(shù)ml和mj標記的具有關(guān)于鏡面滑移對稱操作的奇/偶宇稱的d軌道.考慮圖3(b)和圖3(c)中綠線標記的長方形區(qū)域,軌道do/e,α和|do/e,ml,mj?當α =xz,yz和ml=±1時的空間反演對稱操作的宇稱與軌道do/e,α當α=xy時的空間反演對稱操作的宇稱是相反的.因此,圖3(b)和圖3(c)所示的空間反演對稱操作下的宇稱反轉(zhuǎn)和圖3(a)中拓撲絕緣體的圖像是一致的.這種類比表明,在鐵基超導體的某些化合物中,一定存在拓撲相變.下面幾個小節(jié)將分別討論對應(yīng)于圖3(b)和圖3(c)中拓撲相變圖像的幾個具體例子.

圖3 (a)原子極限下,Bi和Se的軌道在如下四種效應(yīng)下的演化[16],(I)Bi和Se軌道的雜化,(II)由于時間反演對稱性形成的成鍵態(tài)和反鍵態(tài),(III)晶體場劈裂,(IV)自旋軌道耦合效應(yīng)的影響;(b),(c)鐵基超導在高對稱點Γ(圖(b))和M(圖(c))點的能帶演化圖像,其中,(I)Fe的3d軌道和X原子的4p或者5p軌道的雜化;(II)晶體場劈裂;(III)根據(jù)鏡面滑移對稱操作的宇稱分類,Fe的3d軌道電子態(tài)分別形成成鍵態(tài)和反鍵態(tài);(IV)自旋軌道耦合或者其他效應(yīng)的影響Fig.3.(a)In the atomic limit,the evolution of the bands from Bi and Se under the in fl uences of the following four e ff ects[16],(I)the hybridization of Bi orbitals and Se orbitals,(II)the formation of the bonding and antibonding states due to the inversion symmetry,(III)the crystal fi eld splitting,(IV)the in fl uence of the spin-orbit coupling;(b)and(c)are the similar processes in iron-based superconductors at high-symmetry Γ point(Fig.(b))and M point(Fig.(c)).In both(b)and(c),(I)the hybridization of iron 3d orbitals and X 4p or 5p orbitals,(II)the crystal fi eld splitting,(III)the formation of the bonding and antibonding states,which are classi fi ed with the parities of glide-plane symmetry,(IV)the in fl uence of the spin-orbit coupling or other e ff ects.

3.1 單層FeSe/SrTiO3

本節(jié)討論布里淵區(qū)M點附近的拓撲相變.根據(jù)上面的討論,M點附近存在一個非常小的能隙,是討論拓撲相變的一個非常重要的前提條件.引人注目的單層FeSe/SrTiO3就是這樣一個體系[3],由于它具有超高的超導轉(zhuǎn)變溫度,引起了人們廣泛的興趣和關(guān)注[22?28].圖4(a)和圖4(b)給出了角分辨光電子譜(angle-resolved photoemission spectroscopy,ARPES)得到的能帶結(jié)構(gòu)[23,25].為了模擬實驗觀測到的能帶結(jié)構(gòu),采用一個緊束縛近似的哈密頓量來描述從體材料到單層材料能帶結(jié)構(gòu)的演化.圖4(c)—圖4(e)中的能譜來自于緊束縛近似的哈密頓量計算的結(jié)果[29].與體材料相比,單層FeSe/SrTiO3只有在M點的電子型費米面,而Γ點的費米面沉到費米能以下消失了.ARPES實驗表明,單層FeSe/SrTiO3的能帶結(jié)構(gòu)不能通過體材料能帶結(jié)構(gòu)的剛性位移得到,因為與體材料相比,布里淵區(qū)M點費米能以下會出現(xiàn)一個非常小的能隙.圖4(c)—圖4(e)給出了電子結(jié)構(gòu)從FeSe體材料到單層FeSe/SrTiO3的轉(zhuǎn)變.從對稱性的角度來看,圖4(c)中兩個紅色的奇宇稱的能帶No.2和No.3屬于A2和B2不可約表示,這就是它們交叉不打開能隙的原因.但是,兩條藍色的偶宇稱的能帶No.1和No.4屬于相同的B1不可約表示,若它們交叉,則必會打開能隙.注意到在M點附近,這兩條能帶主要具有dxz和dxy軌道權(quán)重.此外,能帶的對稱性不依賴于軌道間的耦合,因為這種耦合在高對稱的M點處為零.因此,可以調(diào)整dxz和dxy的相對軌道能使這兩個能帶在M 點交叉進而打開能隙.通過比較圖4(c)與圖4(e),可以清楚地發(fā)現(xiàn)圖4(e)中的能帶對應(yīng)于圖3(c)中的第III步,可以進一步地追問,M點的這個小能隙是否可以被自旋軌道耦合克服進而實現(xiàn)第IV步?實際上,如果M點的這個由SrTiO3襯底的應(yīng)力調(diào)制的小能隙可以與自旋軌道耦合強度相比擬,那么可以預期在某些參數(shù)區(qū)間內(nèi)單層FeSe/SrTiO3可以發(fā)生拓撲轉(zhuǎn)變進而進入到圖3(c)所示的第IV步,這一物理圖像類似于量子自旋霍爾效應(yīng).

圖4 (a)角分辨光電子譜測得的能帶[25];(b)Γ點和M點附近的能帶結(jié)構(gòu)示意圖[23];(c)—(e)對應(yīng)不同的參數(shù),緊束縛模型得到的能帶結(jié)構(gòu),紅色和藍色代表鏡面滑移對稱操作的奇和偶宇稱[29]Fig.4.(a)Band structures which are resolved by ARPES[25];(b)the schematic drawing about the bands near Γ and M points[23];(c)–(e)band structures obtained from tigh-binding Hamiltonian with dif f erent hopping parameters.The red and blue colors label the bands with odd and even parities[29].

上述討論說明單層FeSe/SrTiO3中的拓撲相變包含兩個重要的物理過程:首先在高對稱點M附近需要存在包含一個小能隙的特定電子結(jié)構(gòu),并且這個拓撲平庸的小能隙來源于外界的調(diào)制,例如襯底的應(yīng)力;其次,自旋軌道耦合強度和這個小能隙可以比擬,進而可以克服這個小能隙引起能帶反轉(zhuǎn).單層FeSe/SrTiO3的拓撲非平庸態(tài)可以用Z2拓撲數(shù)來標記.在兩個Fe原胞圖景中,有兩套能帶,分別由鏡面滑移對稱操作的奇和偶宇稱來標記,如圖4(c)—圖4(e)中紅色和藍色的能帶所示.對于每一套給定宇稱的能帶,可以定義一個Z2拓撲不變量,這個Z2拓撲不變量可以通過{圖?5(a})中四個高對稱點處的空間反演對稱操作的宇稱來計算.也就是

圖5 (a)兩個鐵原胞中高對稱點1—4;(b)弱拓撲相的邊界譜[21];(c),(d)弱拓撲相到強拓撲相轉(zhuǎn)變[21];(e),(f)拓撲平庸相到強拓撲相轉(zhuǎn)變[21]Fig.5.(a)The high-symmetry points 1–4 in two-iron unit cell picture;(b)the edge spectrum in weak topological phase[21];(c),(d)the transition from weak to strong topological phase[21];(e),(f)the transition from trivial to strong topological phase[21].

其中在最低階近似下ξs()取常數(shù)ξs.當考慮Hs時,情況就會非常不同,相較于破壞拓撲相,Hs會使拓撲相更穩(wěn)定進而驅(qū)動系統(tǒng)進入一個強的拓撲相.實際上,M點附近的有效能帶結(jié)構(gòu)可以用一個有質(zhì)量的狄拉克方程來描寫,下面考慮這個狄拉克方程,當λso>0時,狄拉克質(zhì)量m(k)被修正為m(k)±ξs,其中m(k)=α(m?k2).Hs的作用是在不同的M點改變狄拉克質(zhì)量.對于兩個不同的M點,這種改變m(k)±ξs具有相反的趨勢.因此,對于α>0,如果滿足m+ξs>0,那么Hs可以引起一個M點的能帶反轉(zhuǎn),同時另外一個M點的能帶不會反轉(zhuǎn),因為m?ξs<0,這種情況對應(yīng)于一個強的拓撲相變[31].強的拓撲相對于任何不破壞時間反演對稱性的微擾都是穩(wěn)定的,包括自旋軌道耦合的反轉(zhuǎn)項?HM,圖5(c)—圖5(f)的數(shù)值結(jié)果給出了很清楚的證明.

圖6 單層FeTe的能帶結(jié)構(gòu)[35] (a)晶格常數(shù)a=3.925 ?;(b)晶格常數(shù)a=3.805 ?;灰色和紅色能帶分別表示不考慮和考慮自旋軌道耦合的情形;藍色和綠色的點標記相應(yīng)的能帶具有空間反演對稱操作的偶和奇宇稱Fig.6.Band structures of monolayer FeTe[35]:(a)a=3.925 ?;(b)a=3.805 ?.The red solid lines represent the band with spin-orbit coupling and the gray lines represent the band without spin-orbit coupling.The inversionsymmetry parities of the eigenstates at near the Fermi level are shown:blue circles for even parities and green circles for odd parities.

3.2 單層FeTe1?xSex

本小節(jié)介紹單層FeTe1?xSex薄膜,這個體系在布里淵區(qū)Γ點會發(fā)生拓撲轉(zhuǎn)變.在討論拓撲非平庸態(tài)前,先來討論拓撲平庸態(tài).單層FeTe的晶格常數(shù)是a=3.925 ?[32?34],其包含和不包含自旋軌道耦合時的能帶結(jié)構(gòu)如圖6(a)所示.

自旋軌道耦合的效果主要包括兩方面:1)Γ點兩重簡并的Eg能帶劈裂成兩個Eg+和Eg?能帶;2)沿著Γ-M方向的狄拉克錐結(jié)構(gòu)有能隙打開.第二個效應(yīng)會導致布里淵區(qū)每一個k點都有一個小的能隙,這是定義一個拓撲不變量的充分條件.在不考慮自旋軌道耦合時,圖6(a)給{出?了Γ 點}費米能附近的能帶關(guān)于空間反演對稱性的宇稱.根據(jù)前述的討論,可以發(fā)現(xiàn)A2u態(tài)主要由大權(quán)重的|xy,k?態(tài)和小權(quán)重的|z,k+Q?態(tài)組成,兩個(Eg+,Eg?)態(tài)主要由大權(quán)重的(|xz,k?,|yz,k?)態(tài)和小權(quán)重的(|x,k?,|y,k?)態(tài)組成.存在自旋軌道耦合時,兩個(Eg+,Eg?)態(tài)在Γ點劈裂成兩個獨立的態(tài).通過計算這個時間反演不變點的空間反演對稱性的宇稱的乘積,可以發(fā)現(xiàn)圖6(a)中的能帶結(jié)構(gòu)是拓撲平庸的.與前述的圖3(b)中的拓撲相變的圖像相比較,可以發(fā)現(xiàn)圖6(a)對應(yīng)第III步.A2u和Eg+態(tài)在Γ點具有相反的宇稱,并且被一個大概90 meV的能隙分開.如果這個能隙可以被調(diào)制關(guān)閉然后再打開,那么這兩個態(tài)的反轉(zhuǎn)會驅(qū)動體系進入一個由Z2拓撲不變量標記的非平庸的拓撲態(tài).第一性原理計算表明這種能帶反轉(zhuǎn)可以在單層FeTe中發(fā)生,因為它具有較小的晶格常數(shù),a=3.805 ?.相應(yīng)的能帶結(jié)構(gòu)如圖6(b)所示,其中A2u和Eg+態(tài)在Γ點確實發(fā)生了反轉(zhuǎn).進一步的計算表明這種能帶反轉(zhuǎn)是由Te到Fe面的高度和晶格常數(shù)大小來調(diào)制的[35].如果定義?s和?n分別為考慮和不考慮自旋軌道耦合時A2u和Eg+態(tài)的能量差,那么Te原子的高度d,A2u和Eg+態(tài)隨著晶格常數(shù)的變化規(guī)律如圖7(a)所示.隨著晶格常數(shù)的減小,Te原子高度增加,那么A2u態(tài)的能量下移,Eg+態(tài)能量上移,導致?s和?n減小.第一性原理計算表明拓撲相變發(fā)生在a=3.905 ?,對應(yīng)Te的高度是d=1.535 ?[36,37].當a<3.905 ?時,體系是拓撲非平庸的,當3.886 ?

Te的高度也可以通過摻雜Se形成FeTe1?xSex調(diào)制,相應(yīng)地,拓撲相變可以通過改變Se的摻雜濃度來調(diào)制.為了估計臨界摻雜濃度,可以參照實驗測量的數(shù)據(jù).在FeSe和FeTe0.5Se0.5中,Se的高度分別是1.46和1.589 ?.假設(shè)Se的高度隨著Se濃度的變化是線性變化的[38],那么在拓撲轉(zhuǎn)變點處Se的臨界濃度對應(yīng)x=0.7.因此,通過摻雜來調(diào)節(jié)Se的濃度提供了一個非常好的控制FeTe1?xSex拓撲相變的外部手段.

圖7 (a)Te的高度d和?s,?n隨著面內(nèi)晶格常數(shù)的變化[35];(b)對應(yīng)于晶格常數(shù)a=3.805 ?,取[100]邊界時單層FeTe的譜函數(shù)[35]Fig.7.(a)The Te height d and the gaps?sand?nas functions of in-plane lattice constant[35];(b)the spectrum function of the monolayer FeTe with a=3.805 ? with[100]edges[35].

3.3 FeTe1?xSex單晶

以上兩節(jié)討論了單層FeSe/SrTiO3和單層FeTe1?xSex,它們分別在布里淵區(qū)M點和Γ點發(fā)生能帶反轉(zhuǎn)進而導致體系發(fā)生拓撲相變,這兩個體系都是兩維的.下面來討論FeTe1?xSex單晶中的三維拓撲相變[39].

在不考慮自旋軌道耦合時,FeSe和FeTe0.5Se0.5單晶的電子結(jié)構(gòu)如圖8(a)和圖8(b)所示[39],對于FeSe的電子結(jié)構(gòu),在Γ附近用來標記兩重簡并的態(tài)|xz,k?和|yz,k?,用來標記一個非簡并的態(tài)|xy,k+Q?,Γ點附近的導帶和價帶被一個大約600 meV的能隙分開.由紅色圓圈標記的能帶用標記,主要包括|xy,k?和|z,k+Q?.圖8(b)給出了FeTe0.5Se0.5單晶的電子結(jié)構(gòu),與FeSe單晶的電子結(jié)構(gòu)相比,主要有兩點不同:1)態(tài)的能量被強烈拉低,導致在Γ點幾乎觸碰到價帶頂部,并且Γ點的能隙幾乎閉合;2)沿著Γ-Z方向,能帶的色散被強烈增強,在Z點發(fā)生能帶反轉(zhuǎn),進而導致體系可能發(fā)生拓撲相變.在FeSe單晶和FeTe0.5Se0.5單晶中Γ2?能帶的這種強烈反差與3.2節(jié)中單層FeTe1?xSex類似,都是Se和Te的濃度差異導致晶格常數(shù)變化[40,41].

當考慮自旋軌道耦合時,FeTe0.5Se0.5的能帶結(jié)構(gòu)就會打開一個直接的能隙.假設(shè)一個彎曲的化學勢(如圖8(c)和圖8(d)中的紅色虛線)位于第10和第11個能帶之間,可以定義一個非平庸的Z2拓撲不變量來描述這種拓撲相變.具體來講,雙重簡并的態(tài)劈裂成兩個和態(tài),態(tài)變?yōu)棣?.沿著Γ-Z方向,兩個Λ6帶耦合并打開一個大

6約10 meV的能隙,若定義一個彎曲的費米能穿過這個小的能隙,那么可以計算出Z2不變量等于1.這表明FeTe0.5Se0.5處在一個三維的拓撲相并且支持非平庸的拓撲表面態(tài)[39].

圖8 (a)不考慮自旋軌道耦合時FeSe的能帶結(jié)構(gòu)[39];(b)不考慮自旋軌道耦合時FeSe0.5Te0.5的能帶結(jié)構(gòu)[39];(c)考慮自旋軌道耦合時FeSe0.5Te0.5的能帶結(jié)構(gòu)[39];(d)圖(c)中紅色方框區(qū)域的放大圖[39]Fig.8.(a)Band structures of FeSe without spin-orbit couplings[39];(b)band structures of FeSe0.5Te0.5without spin-orbit couplings[39];(c)band structures of FeSe0.5Te0.5with spin-orbit couplings[39];(d)zoom-in view of the solid red box area in(c)[39].

參照圖3(c)中拓撲相變的圖像,FeTe0.5Se0.5單晶中的拓撲相變和單層FeTe1?xSex會有些不同.在單層FeTe1?xSex中自旋軌道耦合在驅(qū)動拓撲相變時并不起首要的作用,但是在驅(qū)動FeTe0.5Se0.5單晶中的拓撲相變時是不可或缺的.原因在于沿著Γ-Z方向能帶和交叉形成的能隙其實來自于一種傳遞效應(yīng),通過自旋軌道耦合把和的耦合傳遞到和能帶的耦合,換句話說,這個有效的能隙來自于自旋軌道耦合和層間耦合導致的二階微擾過程.這種傳遞效應(yīng)可以通過緊束縛哈密頓量的模擬清楚地反映出來.其中中|z,k+Q?的權(quán)重可以被重整到|xy,k?.如前所述,層間耦合可以分為兩部分,宇稱守恒的部分和宇稱混合的部分.圖9(a)給出了不考慮自旋軌道耦合和層間宇稱混合項的能帶結(jié)構(gòu).第一性原理計算的態(tài)對應(yīng)于圖9(b)中的能帶4.若不考慮層間宇稱混合項,自旋軌道耦合并不會打開能帶4和能帶1,2間的能隙.只有當層間宇稱混合項和自旋軌道耦合同時考慮時,才會得到類似第一性原理計算的結(jié)果.進一步的分析表明,最關(guān)鍵的層間宇稱混合項是dxz和dyz軌道間的耦合,也就是?4z,yz(coskx+cosky)sinkz[42].這個層間宇稱混合項的效應(yīng)可以被重整為一個有效的自旋軌道耦合,

其中λso是自旋軌道耦合的強度,L?是d軌道的軌道角動量矩陣,Hc是層間宇稱混合項.沿著Γ-Z方向,(kx,ky)=(0,0),可以得到

類似于三維的拓撲絕緣體,這里的sinkz項起到了關(guān)鍵的作用.

圖9 (a)緊束縛近似哈密頓量得到的能帶結(jié)構(gòu),紅和藍色標記特定的宇稱;(b)—(d)沿著Γ-Z方向的能帶結(jié)構(gòu),其中(b)層間宇稱混合項和自旋軌道耦合為零,(c)層間宇稱混合項為零,自旋軌道耦合不為零,(d)層間宇稱混合項和自旋軌道耦合都不為零Fig.9.(a)Band structures from the tight-binding Hamiltonian.The red and blue colors indicate the bands with specif i c parities;(b)–(d)band structures along the Γ-Z line with nonzero interlayer parity-mixing hopping and zero spin-orbit coupling in(b),with zero interlayer parity-mixing hopping and nonzero spin-orbit coupling in(c),and with nonzero interlayer parity-mixing hopping and nonzero spin-orbit coupling in(d).

3.4 As層夾層的CaFe2As2

Ca1?xLaxFeAs2具有鏈狀的As層和As-Fe-As層沿著c方向交錯排列的結(jié)構(gòu)[43?45],如圖10(a)所示. As-Fe-As層作為鐵基超導的核心子結(jié)構(gòu)對高溫超導電性的產(chǎn)生起著非常重要的作用. 與其他鐵基超導相比,鏈狀的As插層使得Ca1?xLaxFeAs2具有非常獨特的性質(zhì)[46].圖10(b)給出了Ca1?xLaxFeAs2的費米面結(jié)構(gòu),其中,綠色的費米面來自于As-Fe-As的貢獻,紅色的費米面來自于鏈狀的As層的pz軌道以及Ca的d軌道的貢獻.橙色的費米面來自于鏈狀的As層的px和py軌道的貢獻.值得指出的是,只有在布里淵區(qū)的兩條邊界上才有橙色的費米面,這表明由于鏈狀As插層的存在,體系四重旋轉(zhuǎn)對稱性被破壞了.仔細分析可以看出在CaAs中的As原子形成了一個鋸齒型的鏈,對應(yīng)于棋盤格子中心As原子沿著x方向偏離的中心位置,如圖10(c)所示.這種偏移破壞了Fe格子的S4對稱性.在動量空間,這種對稱性的降低導致了kx=π平面的能帶退簡并[43].

圖10 (a)Ca1?xLaxFeAs2晶體結(jié)構(gòu)示意圖[43];(b)相應(yīng)的費米面[43];(c)As鏈的構(gòu)型[43]Fig.10.(a)Schematic view of the crystal structure of Ca1?xLaxFeAs2[43];(b)the relevant Fermi surface[43];(c)the conf i guration of As chain[43].

如圖10所示,Ca1?xLaxFeAs2費米面可以分為三個弱耦合的部分,包括Fe-As層的d軌道形成的能帶,As鏈的px和py軌道形成的能帶以及As鏈的pz軌道形成的能帶.值得注意的是,在不考慮自旋軌道耦合時,As鏈的px和py軌道形成的能帶在費米面附近會形成一個狄拉克錐的結(jié)構(gòu).當考慮自旋軌道耦合時,這個狄拉克錐會打開一個小的能隙,如圖11(b)和圖11(c)所示.其中,As鏈的px和py軌道形成的能帶及其狄拉克錐的結(jié)果可以用一個有效的哈密頓量來描述,

其中HTB表示緊束縛近似的哈密頓量,主要描述兩個子格的px和py軌道形成的能帶結(jié)構(gòu).Hso描述px和py軌道的有效自旋軌道耦合.Hp描述由于晶格對稱性破缺導致的交錯的子格勢.它們具體的形式見參考文獻[43].通過選取合適的參數(shù),(34)式給出的能帶結(jié)構(gòu)如圖11(a)和圖11(d)所示.能帶的拓撲性質(zhì)可以通過計算占據(jù)態(tài)的萬尼爾中心來判斷[47],計算結(jié)果如圖12(a)和圖12(b)所示,可以看出萬尼爾中心發(fā)生了交錯并且體系存在邊界態(tài).圖12(e)給出了關(guān)于自旋軌道耦合強度λ和交錯勢λv的相圖,可以看出當λv>λ/2時體系是能帶絕緣體,當λv<λ/2時,體系是量子自旋霍爾態(tài).此外,對于三維情況,計算表明Ca1?xLaxFeAs2處于弱的三維拓撲絕緣體態(tài),其拓撲不變量Z2=0;(001)[7].處于拓撲態(tài)時邊界態(tài)的圖像如圖12(c)和圖12(d)所示.

圖11 (a)緊束縛模型給出的As鏈的能帶結(jié)構(gòu)[43];(b)和(c)分別為不考慮和考慮自旋軌道耦合時費米面附近的能帶結(jié)構(gòu)[43];(d)第一性原理計算的能帶結(jié)構(gòu)[43]Fig.11.(a)The band structures of As chain from tight-binding model[43];(b),(c)the band structures around the Fermi energy without and with spin-orbit coupling,respectively[43];(d)the band structures from f i rst-principle calculations[43].

圖12 拓撲相(a)和非拓撲相(b)時緊束縛模型計算的萬尼爾中心的演化[43];(c),(d)緊束縛模型給出的邊界態(tài)[43];(e)能帶絕緣體和量子自旋霍爾態(tài)關(guān)于自旋軌道耦合強度λ和交錯勢λv的相圖[43]Fig.12.(a),(b)The evolution of Wannier function centers in topological and trivial phases with tight-binding model[43];(c),(d)the relevant edge states from tight-binding model[43];(e)the phase diagram of band insulator and quantum spin Hall state about the spin-orbit coupling λ and staggered potential λv[43].

3.5 相關(guān)實驗

對于鐵基超導體,自旋軌道耦合在驅(qū)動其拓撲相變過程中起到非常重要的作用.但是在真實的鐵基超導體中,自旋軌道耦合的強度到底有多大呢?對于這個問題ARPES實驗可以給出一個很好的答案[48].實驗策略就是測量高對稱點附近的能帶劈裂,得到具體的數(shù)值,然后通過調(diào)節(jié)緊束縛模型的參數(shù)來精確擬合測量的能帶結(jié)構(gòu),那么自旋軌道耦合的強度可以通過比較實驗測量和理論計算的結(jié)果得到.

圖13給出了不同鐵基超導材料中自旋軌道耦合的實驗測量和理論計算的結(jié)果.實驗測量結(jié)果表明鐵基超導中真實的自旋軌道耦合的強度大概在5—80 meV.因此,在鐵基超導中,自旋軌道耦合的強度具有相當大的能量尺度,在討論拓撲性質(zhì)時是不能忽略的.

圖13 ARPES測量和理論計算得到的不同鐵基超導材料的自旋軌道耦合強度的數(shù)值比較[48]Fig.13.Comparison of the values of spin-orbit couplings obtained from ARPES and theoretical values[48].

掃描隧道顯微鏡/譜(scanning tunneling microscopy/spectroscopy,STM/S)是一種實空間的測量手段,可以測量位置依賴的電子態(tài)密度.因此,可以通過STM/S來測量邊界態(tài).近來,在不同襯底,例如Bi2Te3,單晶Bi上的雙層Bi結(jié)構(gòu)中[49?51],STM/S被用來測量該體系中的一維拓撲邊界態(tài),實驗表明在雙層Bi的臺階處確實存在邊界態(tài).由于Bi單晶襯底上生長的雙層Bi和SrTiO3襯底上生長的單層FeSe具有類似的結(jié)構(gòu),STM/S也可以用來測量單層FeSe/SrTiO3中的邊界態(tài).

圖14給出了STS實驗關(guān)于單層FeSe/SrTiO3的測量結(jié)果[52].實驗測量在兩個不同的邊界進行,分別是鐵磁邊界和反鐵磁邊界.需要說明的是,該實驗認為單層FeSe/SrTiO3中的拓撲相變是由于存在棋盤反鐵磁序和自旋軌道耦合導致的,這種機制和前述關(guān)于單層FeSe/SrTiO3中拓撲的解釋是不同的.我們后續(xù)會討論這一點.這里先回顧文獻[52]關(guān)于實驗測量結(jié)果的描述和解釋,一個最主要的特征是對于鐵磁邊界在?0.1 eV時以及對于反鐵磁邊界在?0.05 eV時,實驗觀測到譜的強度會明顯增強.此外,圖14(a)—圖14(d)給出了關(guān)于鐵磁邊界的二維STS圖譜,表明實空間的邊界態(tài)的寬度大概在1 nm.邊界處的超導能隙也可以被確定,雖然靠近邊界時它的值會很快減小.以上的實驗現(xiàn)象表明單層FeSe/SrTiO3中存在邊界態(tài).

實驗的策略是通過比較STS測量的dI/dV譜所得到的能隙(包括帶隙和超導能隙)與ARPES測量的能隙相比較,來確定體能隙,進而區(qū)分出邊界態(tài)的貢獻.最主要的實驗測量結(jié)果如圖14(i)所示,可以發(fā)現(xiàn),在扣除體的背景貢獻后存在一些來自于邊界態(tài)的額外貢獻,但是,這一特征還不足以證明邊界態(tài)的非平庸特征,因為能隙中平庸的邊界態(tài)也會有類似的dI/dV的行為,非局域的輸運是確定邊界態(tài)拓撲性質(zhì)的有效手段,這需要巧妙的微納器件設(shè)計與測量[53,54].文獻[52]指出棋盤反鐵磁序的存在是打開M點能隙的關(guān)鍵.而在我們的工作中,M點能隙的打開是由于襯底的應(yīng)力效應(yīng)[21].此外,在單層FeSe/SrTiO3中,棋盤反鐵磁序和超導的共存也是非常難理解的,因為反鐵磁序的能隙大概是50 meV,應(yīng)該比較容易探測,但在反鐵磁轉(zhuǎn)變溫度以上,這個能隙應(yīng)該會消失.因此,我們建議對單層FeSe/SrTiO3中邊界態(tài)的拓撲性質(zhì)進行進一步實驗檢測,例如自旋分辨的STM或者非局域的輸運測量.

在單層FeTe1?xSex薄膜中,拓撲相變的出現(xiàn)是由于Te濃度的增加.因此,通過改變Te的濃度可以檢驗FeTe1?xSex薄膜的能帶演化,進而來判斷其中可能的拓撲相變.因此,對于單層生長在SrTiO3襯底上的FeTe1?xSex薄膜,ARPES實驗是有效的測量手段[55].圖15給出了Γ點附近能帶隨著Te濃度的演化,圖15(a)中的曲線標識能帶色散關(guān)系,表明兩個具有dxz/dyz軌道特征的空穴型能帶[56,57].對于里面那個靠近費米能的能帶,從FeSe到FeTe,能帶帶頂會向上移動,而有效質(zhì)量沿著相反的方向變化.如圖15(a)所示,未占據(jù)的能帶可以通過費米-狄拉克函數(shù)辨識.當Se的含量小于60%時,可以清楚地觀測到一個向下移動的電子型能帶,這個電子型能帶具有pz軌道和dxy軌道雜化的特征.并且,這個電子型的能帶和空穴型能帶會互相靠近,最后在Se濃度大約為33%時相互接觸導致能隙閉合,圖15(b)中的等能線和和圖15(c)動量分布曲線進一步證明了這一點.此外,電子型和空穴型能帶可以通過簡單的公式E=C0+C1|k|+C1|k|2來擬合.通過比較圖15(d)—圖15(f)可以發(fā)現(xiàn),當增加Te的濃度時,能帶色散關(guān)系的線性趨勢表明了電子型能帶和空穴型能帶相互靠近導致能隙閉合的趨勢.ARPES實驗從能隙演化的角度給出了單層FeTe1?xSex薄膜中拓撲相變的證據(jù)[55].

圖14 理論計算與STS譜測量的拓撲邊界態(tài)的比較[52] (a),(b)鐵磁和反鐵磁邊界STM的測量形貌;(c),(d)分別沿著(a)與(b)中鐵磁與反鐵磁邊界的STS測量的dI/dV譜;(e)STS和ARPES測量的超導能隙比較;(f)M點附近理論計算和ARPES測量的能帶比較;(g)理論計算的分別沿著鐵磁和反鐵磁邊界的一維帶結(jié)構(gòu);(h)理論計算的邊界和體的局域態(tài)密度;(i)從圖(c)和(d)數(shù)據(jù)提取出的關(guān)于邊界和體的沿鐵磁和反鐵磁邊界的STS譜Fig.14.Topological edge state comparison between theory and STS spectra[52]:(a),(b)STM topography of the ferromagnetic and antiferromagnetic edge;(c),(d)STS line scanning at the marked positions along the blue arrow direction of the ferromagnetic and antiferromagnetic edge;(e)superconducting gap comparison between STS and ARPES;(f)theoretical and ARPES band structures around the M point;(g)theoretical 1D band structures with ferromagnetic and antiferromagnetic edge,respectively;(h)theoretical local density of states for edge and bulk states;(i)STS spectra of edge and bulk states extracted from(c)and(d)for ferromagnetic and antiferromagnetic edge respectively.

圖15 單層FeTe1?xSex/SrTiO3的ARPES測量結(jié)果[55] (a)對于不同的Se濃度,Γ點附近ARPES測得的譜的強度的分布;(b)對應(yīng)于(a)的曲率,紅色的曲線通過公式E=C0+C1|k|+C1|k|2擬合的結(jié)果;(c)Se濃度為33%時,在不同能量處等能線的分布;(d)對應(yīng)于(a)中黑色方框內(nèi)的能量分布曲線;(e)不同Se濃度Γ點附近能帶色散的比較;(f)Se濃度相關(guān)的有效質(zhì)量Fig.15.The ARPES measurements about monolayer FeTe1?xSex/SrTiO3[55]:(a)Evolution of the intensity plot divided by the Fermi-Dirac distribution function near Γ for monolayer FeTe1?xSex/SrTiO3;(b)curvature intensity plots along the same cut as in(a);(c)intensity plot of the constant energy contours at dif f erent binding energies for the Se-33%sample;(d)energy distribution curve plot corresponding to the spectrum in the black square in(a);(e)comparison of the band dispersions at Γ for each sample;(f)Se concentration dependence of the ef f ective mass.

在單層FeTe1?xSex薄膜和FeTe1?xSex單晶中,拓撲相變是由增加Te原子的濃度導致的,類似于單層FeTe1?xSex薄膜,ARPES實驗也可以用來探測FeTe1?xSex單晶中的拓撲相變.能帶計算表明,在FeSe單晶中Γ2?能帶被推到遠離費米能的高能量區(qū)域,而在FeTe0.5Se0.5單晶中,Γ2?能帶會向低能區(qū)域彎曲成為電子型能帶.為了證明這個電子型能帶的存在,可以通過原位摻雜鉀原子來提高化學勢使電子型能帶被占據(jù)進而可以被ARPES觀測到.圖16給出了蒸鉀原子前后的ARPES測量結(jié)果,結(jié)果顯示在蒸鉀原子后空穴型的能帶會進一步向下移動,同時探測到一個新的電子型的能帶.上述ARPES實驗探測到的這個新的電子型能帶和理論預測的結(jié)果一致,給出了該體系中拓撲相變的一個間接的證據(jù)[39].

近來高分辨和自旋分辨的ARPES[59,60]被用來研究FeTe0.5Se0.5單晶中的拓撲相變,得到了關(guān)于拓撲表面態(tài)的細節(jié).圖17給出了測量的結(jié)果,在Γ點附近,分別用p極化和s極化的光子來做測量,由于不同軌道特定的散射矩陣,對于p極化的光子,表面態(tài)和體態(tài)(pz和dxz)都是可以測量的,而對于s極化的光子,只有體價帶(dxz)是可以測量的.圖17(b)清楚地表明p極化的光子給出一個狄拉克型的線性能帶,圖17(c)表明s極化的光子給出了一個拋物型的二次能帶.在低溫下(2.4 K)譜函數(shù)的展寬被抑制,能帶的分辨率更高.仔細對比可以發(fā)現(xiàn),體系確實存在一個表面的狄拉克型能帶和拋物型的二次型體能帶.此外,自旋分辨的ARPES可以用來測量狄拉克型的線性能帶和拋物型的二次型能帶的自旋極化,測量結(jié)果如圖17(f)所示,可以看出狄拉克型能帶具有螺旋型的自旋結(jié)構(gòu),表明狄拉克型的能帶確實來自于拓撲表面態(tài).

對于Ca1?xLaxFeAs2,ARPES可以通過測量理論上預測的布里淵區(qū)邊界處的狄拉克錐結(jié)構(gòu)來間接驗證該體系的拓撲性質(zhì)[61].如圖18所示,實驗上的策略是通過直接測量X-Γ-X方向和X-Y方向的能譜,經(jīng)過對比,發(fā)現(xiàn)體系在X點附近確實存在狄拉克錐結(jié)構(gòu).

圖16 (a),(b)分別為蒸鉀原子前后的ARPES譜[39];(c),(d)為相應(yīng)的能量分布曲線[39]Fig.16.(a),(b)ARPES spectra before and after K surface doping[39];(c),(d)the relevant energy distribution curve[39].

圖17 狄拉克錐形表面能帶[58] (a)p極化光下Γ附近的能帶;(b)對應(yīng)于(a)的動量分布曲線;(c)s極化光下Γ附近能帶;(d),(e)對應(yīng)于(a)的放大圖;(f)整體能帶結(jié)構(gòu)的總結(jié)Fig.17.Dirac-cone type surface band[58]:(a)Band structures around Γ point with p-polarized light;(b)momentum distribution curve of(a);(c)band structures around Γ point with s-polarized light;(d),(e)the zoom-in plot of(a);(f)summary of the overall band structures.

圖18 Ca1?xLaxFeAs2的ARPES測量結(jié)果[61](a)Ca1?xLaxFeAs2在能量區(qū)間[?10 meV,10 meV]內(nèi)的光電發(fā)射強度圖;(b)相應(yīng)的布里淵區(qū);(c)—(e)沿著#1號線的光電發(fā)射強度圖和相應(yīng)的動量分布曲線;(f)對于#1—5號線的動量分布曲線的洛倫茲峰的擬合;(g)—(j)沿著#2—5號線的光電發(fā)射強度圖;(k)狄拉克點的位置Fig.18.ARPES measurement of Ca1?xLaxFeAs2[61]:(a)Photoemission integrated intensity map within energy[?10 meV,10 meV]for Ca1?xLaxFeAs2;(b)the relevant Brillouin zone;(c)–(e)the photoemission intensity plots and the corresponding momentum distribution curves along cut#1;(f)Lorentzian peaks f i tting to a few representative momentum distribution curves along cuts(1–5);(g)–(j)photoemission intensity plots along cuts#2–5;(k)energy location of the Dirac point.

4 鐵基超導體臨近超導的長程有序態(tài)的拓撲

第3節(jié)討論了幾種鐵基超導體系,它們的拓撲性質(zhì)是由一些外部的調(diào)制來驅(qū)動的,包括襯底,元素替換和插層.這些外部調(diào)制的引入可以在布里淵區(qū)某些高對稱點處對能帶產(chǎn)生比較大的影響.值得注意的是,這些外部調(diào)制不會破壞體系的對稱性,比如,討論的所有態(tài)都處于順磁態(tài).但是,在鐵基超導體中,除了超導態(tài),還存在一些對稱性破缺的態(tài),例如相列相和反鐵磁態(tài)[62?66].這些對稱性破缺的序可以非常強烈地改變鐵基超導的電子結(jié)構(gòu),并為在鐵基超導中產(chǎn)生拓撲態(tài)提供新的元素.本節(jié)主要討論由對稱性破缺的序在鐵基超導中導致的拓撲態(tài).

4.1 相列序

相列序破壞轉(zhuǎn)動對稱性但是保持平移對稱性,是鐵基超導中一種非常重要的對稱性破缺的序.鐵基超導中相列相是來自于自旋還是軌道相關(guān)的機制一直是懸而未決的問題[67?71].理解鐵基超導相列相的性質(zhì)有助于理解超導態(tài)的性質(zhì),實驗上也發(fā)現(xiàn)鐵基超導相列相的電子結(jié)構(gòu)具有非常有趣的特點.在FeSe單晶和FeSe薄膜中,Γ點的dxz和dyz能帶的劈裂是溫度不相關(guān)的,但是M點能帶的劈裂和相列相有非常緊密的關(guān)系,并且劈裂大小可以達到80 meV.Γ點的能帶劈裂可以歸結(jié)于自旋軌道耦合[72,73],M點的能帶劈裂可以歸結(jié)于相列相[74,75].對于厚度大于一個原胞的FeSe薄膜,在M點可以觀察到狄拉克錐型的色散關(guān)系[76,77],并且M點的費米面具有四葉螺旋槳的形狀.

下面先詳細回顧一下FeSe的相列相中,ARPES觀測到的電子結(jié)構(gòu)的一些特征.M點的能帶劈裂比Γ點要復雜很多,由于M點的能帶劈裂是由相列相導致的,本文主要關(guān)注M點的能帶特點.如圖19(a)所示,實驗觀測到M點附近兩個由H1和H2標記的空穴型能帶,一個處于更低能量處的電子型能帶與H1能帶的底部相交,一個淺層的電子型能帶與H2能帶的頂部相交.在低溫時,實驗觀測到費米能稍往上處存在一個電子型能帶,它的帶底和H2能帶的帶頂簡并.總結(jié)這些實驗觀測到的現(xiàn)象可以發(fā)現(xiàn),FeSe在相列相時,M點的能帶具有兩個空穴型能帶和三個電子型能帶,此外,能量最低的那個電子型能帶和H2能帶相交在費米面附近形成狄拉克錐的結(jié)構(gòu).隨著溫度升高,E2能帶和H1能帶的能隙會減小,當能隙為零時可以看到線性的色散關(guān)系[24].

圖19 (a)相列相FeSe在M點附近的能帶結(jié)構(gòu)[78];(b)對稱性破缺的序參量關(guān)于最近鄰庫侖相互作用V的函數(shù)[78]Fig.19.(a)Band structures around M point in nematic phase of FeSe[78];(b)symmetry-breaking order parameters as a function of the nearest neighbor Coulomb interaction V[78].

FeSe中的相列序可以通過最近鄰的庫侖相互作用產(chǎn)生[79,80],在這個假設(shè)下,相應(yīng)的理論結(jié)果可以比較好地解釋實驗.最近鄰的相互作用可以表示為[78]

其中正規(guī)序的符號表示依賴于總電子密度ni=的哈特利項被忽略.HV中包括對稱性守恒的項和對稱性破缺的項.考慮對稱性破缺的項,在平均場近似下,HV可以近似為

其中αk=coskx+cosky,βk=coskx? cosky,=i sinkx/y.可以自洽求解,結(jié)果如圖19(b)所示.可以發(fā)現(xiàn),三個t2g軌道的軌道內(nèi)的d波相列序是最強的,其在Γ點沒有效果但在M點最強,并且對于k和k+Q兩部分能帶具有相反的符號.如圖20所示,d波型相列序可以在M點產(chǎn)生特殊能帶結(jié)構(gòu).作為對比,圖20(a)給出了不考慮相列序時Γ-M方向的能帶.考慮一個孿晶型相列相,其中兩個相列相的疇分別用兩個相反的相列序的序參量來描述.假設(shè)疇1具有負的相列序序參量,那么“k+Q”dxz電子能帶會下移,“k+Q”dxy空穴能帶會上移,這種移動會使這兩個能帶在M點互相靠近(圖20(b)).同時兩個“k”的能帶會互相遠離.但是,在疇2表現(xiàn)出相反的行為,即“k+Q”的能帶互相遠離,“k”的能帶互相靠近.當和分別取11和18 meV時,包含兩個疇的電子結(jié)構(gòu)如圖20(b)所示,和ARPES的結(jié)果(圖19(a))是一致的.此外,當相列序減弱時,E2和H1能帶會互相接觸形成線性的色散關(guān)系,也和實驗測量結(jié)果一致.相應(yīng)的費米面如圖20(c)所示,可以發(fā)現(xiàn)Mx點附近四葉螺旋槳形的費米面,它們的形成來自于狄拉克錐的能帶,其中,中心的小空穴型費米面來自于dxy軌道,這些結(jié)果和實驗結(jié)果都是相符合的.此外,在M點附近沿著ky方向穿過狄拉克點的能帶結(jié)構(gòu)如圖20(d)所示,與實驗結(jié)果也是一致的,這證明上述關(guān)于相列相的討論是正確的.

在正常態(tài),“k”和“k+Q”的能帶在M點是簡并的,并具有相反的宇稱.在相列相,相列序只會破壞C4轉(zhuǎn)動對稱性,不會破壞空間反演對稱性,因此相應(yīng)的宇稱在存在相列序時也是一個好的量子數(shù).增強相列序時,“k+Q”具有相反宇稱的dxz和dxy能帶會互相靠近并交錯進而在M點重新打開一個能隙,這是典型的類似于拓撲絕緣體中的能帶反轉(zhuǎn)過程.當不考慮自旋軌道耦合時,由于相列序會把狄拉克錐推到費米能附近,FeSe會處于一個狄拉克半金屬態(tài).當考慮自旋軌道耦合時,M點的狄拉克錐會變得有質(zhì)量,這時體系進入拓撲相,因此相列序可以作為驅(qū)動體系發(fā)生拓撲相變的參量.圖21給出的拓撲邊界態(tài)的圖像證明體系處于拓撲相.如果相列序引起的劈裂大于正常態(tài)M點附近的dxz/dyz和dxy能帶的能隙,那么體系就是拓撲的.實驗上,這個劈裂大概有80 meV,遠大于正常態(tài)M點40 meV的能隙.因此,FeSe的相列相是拓撲非平庸的.

圖20 FeSe相列相的能帶和費米面[78] (a)不考慮相列相時,M點附近的能帶;(b)相列相序參數(shù)和分別取11和18 meV時,M點附近的能帶,藍色和紅色表明能帶來自于兩個不同的疇;(c)相應(yīng)的相列相的費米面;(d)沿著圖(c)中的線2穿過狄拉克點的能帶Fig.20.Band structures and Fermi surface in nematic phase of FeSe[78]:(a)Band structures without nematic order;(b)band structures in nematic phase with=11 meV,=18 meV,the blue and red lines represent the bands of domain 1 and domian 2,respectively;(c)the relevant Fermi surface in nematic phase;(d)band structures across the Dirac point along the cut2 in(c).

圖21 相列相FeSe的[100]邊界的譜函數(shù),其中相列相序參數(shù)和分別取11 meV和18 meV,自旋軌道耦合強度取40 meV[78]Fig.21.The spectra function of FeSe with nematic order on the[100]edge with=11 emV, =18 meV and spin-orbit coupling strength 40 meV[78].

4.2 反鐵磁序

4.1 節(jié)討論了FeSe相列相中的拓撲,這種拓撲相變主要分成兩步.首先,相列序在費米能附近產(chǎn)生狄拉克錐結(jié)構(gòu),同時反生能帶反轉(zhuǎn),其次,自旋軌道耦合會使狄拉克錐獲得質(zhì)量進而打開能隙.這兩種效應(yīng)導致M點發(fā)生拓撲相變.同樣地,在鐵基超導中,波矢量為(π,0)的條帶狀反鐵磁序也會導致能帶形成一個狄拉克錐結(jié)構(gòu)[81,82].本小節(jié)中討論另一種反鐵磁序,也就是具有波矢量(π,π/2)的反鐵磁序?qū)е碌耐負湎嘧?相較于在鐵基超導體中廣泛存在的波矢量(π,0)的反鐵磁序,波矢量(π,π/2)的反鐵磁序比較少見[68],中子散射實驗在具有245結(jié)構(gòu)的鐵硒化合物中探測到該反鐵磁序[83].以11結(jié)構(gòu)的FeS為例,第一性原理計算表明加壓可以改變反鐵磁的基態(tài),當壓力超過3.5 GPa時,反鐵磁基態(tài)就會從波矢量(π,0)反鐵磁序轉(zhuǎn)變?yōu)椴ㄊ噶?π,π/2)的反鐵磁序.這里討論波矢量(π,π/2)的反鐵磁序,其會誘導出一種拓撲晶體反鐵磁態(tài)[84].

圖22 FeS能帶隨反鐵磁序參量的變化[84] (a)考慮自旋軌道耦合時順磁相的能帶結(jié)構(gòu);(b1)—(b3),(c),(d)考慮自旋軌道耦合并且磁化方向沿著[001]方向時,能帶從順磁相到波矢量(π,π/2)的反鐵磁序的演化Fig.22.The evolution of the band of FeS about antiferromagnetic order[84]:(a)Band structures of the paramagnetic state with spin-orbit coupling;(b1)–(b3),(c),(d)bands evolution from the paramagnetic state to the(π, π/2)antiferromagnetic state along the M-Γ-X lines from the mean-f i eld Hamiltonian for the(π,π/2)antiferromagnetic state with the[001]-direction magnetization and spin-orbit coupling.

在平均場近似下,波矢量(π,π/2)的反鐵磁序的序參量可以近似表示為?eiθ(α),其中? =diag(mxy,mx2?y2,mxz,myz,mz2),{θ(α)?=[n/}2 ?(?1)α]π,α表示鏡面滑移對稱操作宇稱.圖22給出了從順磁相到(π,π/2)的反鐵磁相的能帶演化.從圖22(a)所示的順磁相的能帶出發(fā),波矢量(π,π/2)會把M點的電子型能帶和Γ點的空穴型能帶聯(lián)系起來,引起它們之間互相的折疊,這在圖22(b1)所示的折疊布里淵區(qū)的能帶結(jié)構(gòu)中可以看出.這里存在兩組參數(shù){?εj}和{mj},分別表示在位的軌道能修正和軌道依賴的(π,π/2)反鐵磁序的序參量.如圖22(b2)所示,當考慮{?εj}修正時,在費米面附近存在三支能帶.如圖22(b3)所示,當考慮除了mxy外其他所有的{mj}時,這三個能帶被強烈重整,沿著Γ-M方向電子型能帶和空穴型能帶的交錯會打開能隙,而沿著Γ-X方向,則不會有能隙打開.如圖22(b3)所示,當mxy從零逐漸增大時,這三個能帶會沿著圖中箭頭所示的方向上下移動,最終形成一個節(jié)線半金屬.值得注意的是,圖22(c)中的能帶對應(yīng)于只取自旋軌道耦合的自旋反轉(zhuǎn)項(Lxsx+Lysy),圖22(d)中的能帶對應(yīng)只取自旋軌道耦合的自旋守恒項Lzsz.通過對比可以發(fā)現(xiàn),Lzsz項可以使狄拉克錐打開能隙,這說明(π,π/2)的反鐵磁相的能帶有沒有能隙與其自旋/磁矩的磁化方向有關(guān).圖23(a1)—圖23(a3)總結(jié)了 (π,π/2)的反鐵磁相能帶的主要特點.四個Fe的d軌道可以分成兩組有效的能帶.在考慮到波矢量(π,π/2)引起的能帶折疊后,會發(fā)現(xiàn)在折疊后的布里淵區(qū)內(nèi),能帶反轉(zhuǎn)的條件是自然滿足的.當考慮(π,π/2)的反鐵磁序參量后,能帶會沿著Γ-M方向打開能隙,而沿著Γ-X方向則不會有能隙打開.最后,當磁矩方向沿著[001]方向時,Γ-X方向會進一步打開能隙進而得到一個有能隙的態(tài),實際上,這個有能隙的態(tài)對應(yīng)于拓撲態(tài),它的表面態(tài)和晶面的取向是有關(guān)的.圖23(c)和圖23(d)給出了不同晶面的表面態(tài),可以清楚地發(fā)現(xiàn)(010)表面和(100)表面具有完全不同的表面態(tài),前者是拓撲的,后者是平庸的.原因是反鐵磁序的存在會修正時間反演對稱性,導致時間反演對稱性只在某些晶面才滿足反幺正的條件.

圖23 (a1)—(a3)在有效的兩帶模型下,(π,π/2)反鐵磁序和自旋軌道耦合調(diào)制的拓撲相變的示意圖;(b)表面布里淵區(qū);(c),(d)(010)和(100)的表面態(tài).圖來自于文獻[84]Fig.23.(a1)–(a3)Under the two ef f ective bands picture,the schematic diagrams show the topological phase transition induced by the(π,π/2)antiferromagnetic order and spin-orbit coupling;(b)surface Brillouin zone;(c),(d)the surface states about(010)and(100)surface.The f i gure is from Ref.[84].

5 鐵基超導體超導態(tài)的拓撲

馬約拉納費米子由于具有奇異的性質(zhì),近來在實驗和理論上都受到了極大的關(guān)注.實驗上已構(gòu)造了很多的體系來實現(xiàn)馬約拉納費米子,包括半導體納米線和常規(guī)超導的復合體系、半導體和超導異質(zhì)節(jié)、拓撲絕緣體和超導體的復合體系以及Al-InAs納米線拓撲超導體[85?88].在這些設(shè)計中,都采用常規(guī)超導體而不是高溫超導體,原因在于高溫超導體的相干長度太小,界面耦合的公度性差[89,90].鐵基和銅基高溫超導具有高超導轉(zhuǎn)變溫度,大的臨界磁場,因此,若鐵基超導體中可以實現(xiàn)拓撲超導那么就可以在更高的溫度魯棒地研究馬約拉納費米子相關(guān)的物理.本節(jié)將討論幾種關(guān)于鐵基超導體中拓撲超導的理論和實驗設(shè)計.

5.1 奇宇稱配對導致的拓撲超導

在第4節(jié)中,回顧了幾種鐵基超導體系中的拓撲態(tài),包括單層FeSe/SrTiO3,FeTe1?xSex單層或者薄膜以及FeTe1?xSex單晶等.當溫度降到超導轉(zhuǎn)變溫度以下,以上的體系都會進入超導態(tài).那么是否可以在這些體系中實現(xiàn)本征的拓撲超導呢?

時間反演不變的本征拓撲超導需要滿足兩個判據(jù)[91]:1)超導具有奇宇稱的配對并具有完全的超導能隙;2)圍繞時間反演不變動量的費米面必須是奇數(shù)個.對于鐵基超導,其能帶結(jié)構(gòu)可以分為兩個近乎獨立的部分,計為｛k｝和｛k+Q｝.在每一部分內(nèi),都會有奇宇稱和偶宇稱的超導對(k,?k)以及(k+Q,?k?Q).此外,在兩部分之間,也可以有奇宇稱和偶宇稱的超導對(k,?k+Q).但是后者不會給出完全超導能隙的超導態(tài),因此我們只考慮前者.把上述關(guān)于本征拓撲超導的判據(jù)應(yīng)用到單層FeSe/SrTiO3上,為了簡單起見,忽略自旋軌道耦合和鏡面滑移對稱的破壞效應(yīng).考慮到空間、自旋和軌道三種自由度,那么超導的能隙函數(shù)可以參數(shù)化為?(k)=f(k)smλm,其中 f(k)是能隙函數(shù)的空間部分,具有相應(yīng)空間群的不可約表示的基函數(shù)的形式;sm表示自旋空間的泡利矩陣;λm表示三個t2g軌道空間的蓋爾曼矩陣.考慮以下兩種情況:1)f(k)是常數(shù);2)f(k)是k相關(guān)的函數(shù).對于(k,?k)的配對,可以通過D4h點群的不可約表示得到所有的配對可能性,結(jié)果見表1和表2.我們只關(guān)注具有完全超導能隙和奇宇稱的超導配對.對于E(1)u和E(2)u都支持本征的拓撲超導態(tài),對應(yīng)于時間反演對稱性破缺的不同軌道間的自旋三重態(tài)的配對,對應(yīng)于時間反演對稱性不變的不同軌道間的三重態(tài)的配對.對和也支持本征的拓撲超導態(tài),是雙重簡并的時間反演對稱性破缺的同一軌道內(nèi)的自旋三重態(tài),是時間反演對稱性守恒的同一軌道內(nèi)的自旋三重態(tài).進一步分析表明,當有效的不同軌道間吸引相互作用大于軌道內(nèi)的吸引相互作用時,是可能的,并且會與A競爭,但是自旋三重態(tài)的配對和鐵基超導中廣泛接受的配對不相符,因此通過自旋三重態(tài)在鐵基超導中實現(xiàn)本征拓撲超導似乎是不可行[29].

表1 動量不相關(guān)的超導配對的不可約(IR)表示[29]Table 1.Irreducible reperestation(IR)of superconducting pair in momentum-independent channels[29].

表2 動量相關(guān)的超導配對的不可約表示[29]Table 2.Irreducible reperestation of superconducting pair in momentum-dependent channels[29].

5.2 原生拓撲超導

自旋單重態(tài)的限制使得鐵基超導體很難處于本征的拓撲超導態(tài),但是在鐵基超導體中,存在其他途徑可以實現(xiàn)拓撲超導態(tài).下面討論幾個可能的設(shè)計.

圖24給出了一個分別由空穴摻雜和電子摻雜的單層FeSe/SrTiO3構(gòu)成的p-n結(jié)、空穴摻雜的部分提供拓撲的邊界態(tài),電子摻雜的部分提供超導態(tài),兩部分的邊界在外加磁場或者鐵磁絕緣體的作用下可以形成一維的拓撲超導態(tài).在這種設(shè)計中,拓撲和超導復合在同一種材料中,因此可以通過改變摻雜或者用不同的襯底來調(diào)制這種復合進而實現(xiàn)拓撲超導.通常的耦合體系中,超導和拓撲邊界態(tài)來自于不同的材料,它們的界面失配會導致體系不可預知的復雜性,單層FeSe/SrTiO3的這種設(shè)計則不會受此干擾,在BaBiO3中也存在類似的設(shè)計[92].

上面的設(shè)計可以推廣到CaFeAs2中.如前所述,這個材料可以粗略分為兩個獨立的部分,也就是Fe-As層和Ca-As層[43].其中Ca-As層中存在量子自旋霍爾效應(yīng),同時Fe-As層中存在轉(zhuǎn)變溫度高達40 K的超導.因此,在超導轉(zhuǎn)變溫度以下,CaAs層中的邊界態(tài)自然而然成為一維的拓撲超導態(tài).量子自旋霍爾態(tài)和超導態(tài)的交錯堆垛提供了一種實現(xiàn)拓撲超導和探索馬約拉納費米子的可能途徑.

下面討論兩個可能的設(shè)計.一個是可以束縛馬約拉納零模的構(gòu)型,如圖25(a)所示,在鐵磁絕緣體的近鄰效應(yīng)下,邊界II會變成一個正常的絕緣體,那么邊界II的兩端會束縛馬約拉納零模,在這種情況下,實驗可以探測到一個量子化的零偏壓電導峰2e2/h[93,94].一個更有意思的情況是考慮[100]表面,在這種情況下,每一層CaAs都會有邊界態(tài).因此,它們形成弱耦合的準一維拓撲超導體.通過引入絕緣的磁性薄膜,如圖25(b)所示,可以生成沿著c方向的馬約拉納鏈.馬約拉納零模對電導沒有貢獻,但是可以貢獻熱導和比熱.在低溫下,馬約拉納零模鏈的熱導正比于溫度T[95].由于CaFeAs2是一種完全超導能隙的超導體,因此低溫條件下,材料體系熱導關(guān)于溫度的線性關(guān)系是馬約拉納零模存在的一個很強的證據(jù).

在單層FeSe/SrTiO3中,拓撲相變發(fā)生在M點.帶隙在費米能以下,不采用前述的p-n結(jié)的設(shè)計,很難同時達到拓撲邊界態(tài)和超導態(tài)共存.但是在單層FeTe1?xSex/SrTiO3中拓撲邊界態(tài)和超導態(tài)的共存是很自然的.原因是拓撲相變發(fā)生在Γ點并給出拓撲的邊界態(tài),而M點存在電子型的能帶穿過費米能進而給出體超導態(tài).更重要的是,電子型能帶的位置和超導轉(zhuǎn)變溫度對于Te原子濃度是不敏感的,在超導轉(zhuǎn)變溫度以下M點附近電子型費米面處超導的庫珀對可以被散射到Γ點處拓撲相變導致的邊界態(tài).這個過程類似于動量空間的近鄰效應(yīng),與通常的實空間的近鄰效應(yīng)導致的拓撲超導的構(gòu)想有本質(zhì)的區(qū)別,具體的圖像如圖26所示.在單層FeTe1?xSex/SrTiO3中當0

圖24 通過p型和n型摻雜的FeSe/SrTiO3來實現(xiàn)拓撲超導的示意圖 其中S表示超導態(tài),T表示拓撲態(tài),在外加磁場下,它們的邊界可以產(chǎn)生一維的拓撲超導態(tài)Fig.24.Schematic picture of the proposed setup for the realization of topological superconductivity. ptype and n-type doping of FeSe/STO could lead to an topological(T)state and a superconducting(S)state,respectively.The boundary could generate a 1D topological superconductor under external magnetic f i eld.

圖25 實現(xiàn)馬約拉納費米子的兩種設(shè)想示意圖[43](a)實現(xiàn)兩個馬約拉納零模;(b)實現(xiàn)馬約拉納鏈Fig.25.Schematic picture of the proposed setup for the realization of Majorana fermions:(a)Two Majorana modes;(b)a Majorana chain realization.

對于FeTe1?xSex單晶,拓撲相變發(fā)生在沿著Γ-Z的方向,(001)表面具有無能隙的表面態(tài),如圖27所示.同樣地,在M-A方向存在電子型的費米面,因此在超導轉(zhuǎn)變溫度以下,電子型的費米面上的庫珀對可以被散射到(001)面上的表面態(tài)(圖27),從而導致拓撲超導[58,96].對于FeTe1?xSex單晶中的(001)表面態(tài),可以形成兩維的拓撲超導態(tài),文獻[96]首次給出了詳細的討論,具體的有效理論和有效模型參見文獻.需要特別指出的是,圖28給出了由于Te和Se原子濃度差異導致的化學勢的調(diào)制以及體超導能隙的變化對表面態(tài)形成拓撲超導態(tài)的影響[96],該相圖對相關(guān)實驗的設(shè)計非常有意義.

圖27 (a)FeSe0.5Te0.5晶體中(001)表面態(tài)[58];(b)超導轉(zhuǎn)變溫度以下,體能帶會打開一個s波的超導能隙,導致表面態(tài)進入超導態(tài)[58]Fig.27.(a)Topological nontrivial(001)surface states for FeSe0.5Te0.5[58];(b)when the temperature decreases to below superconducting transition temperature,the bulk bands open s-wave SC gaps,which induce the surface states to be superconducting[58].

圖28 化學勢和體超導能隙變化對拓撲超導態(tài)的影響.插圖表明拓撲超導態(tài)的區(qū)域(紅色邊界減去藍色邊界)相較于體超導能隙的變化Fig.28.Topological superconducting state as a function as chemical potential and bulk superconducting gap.The inset shows an evolution of the topological superconducting state region(red line minus blue line)with respect to the bulk pairing gap.

5.3 相關(guān)實驗

上面的討論中,回顧了幾個理論上的設(shè)計.更有意義的是,最近實驗上已經(jīng)觀測到拓撲超導和馬約拉納費米子存在的證據(jù),下面來討論這些實驗進展.通過分子束外延生長的方法,在襯底Sr-TiO3上生長FeTe1?xSex,這種方法的好處是可以精確控制Se的濃度,因此可以通過ARPES來測量不同Se濃度下能帶的演化.在第3節(jié)中回顧了ARPES觀測到Γ點的能帶反轉(zhuǎn),表明了該體系存在拓撲邊界態(tài).圖29給出了M點的電子型費米面的超導能隙隨著Se濃度的變化,可以發(fā)現(xiàn)超導能隙對Se濃度的變化是不敏感的.因此可以近似認為M點的電子型費米面給出超導,Γ點的能帶反轉(zhuǎn)給出拓撲邊界態(tài),它們之間通過超導的量子關(guān)聯(lián)聯(lián)系起來共同達到超導態(tài).當然,這個ARPES實驗的測量給出了間接的證據(jù),直接證據(jù)還需要測量拓撲的超導安德烈夫邊界態(tài)和馬約拉納零模[55].

圖29 (a)不同Se濃度下ARPES測得的單層FeTe1?xSex/SrTiO3的費米面[55];(b)ARPES測得的相應(yīng)的超導能隙隨溫度的變化[55]Fig.29.(a)ARPES Fermi surface maps of a series of FeTe1?xSexmonolayersgrown on STO,with the nominal concentration of Se indicated above ach panel[55];(b)temperature evolution of the superconducting gap[55].

對于FeTe1?xSex單晶,ARPES實驗已經(jīng)證實了拓撲邊界態(tài),更重要的問題是在超導轉(zhuǎn)變溫度以下,是否可以直接觀測到拓撲表面電子凝聚成庫珀對然后打開超導能隙.圖30清楚地表明了拓撲表面態(tài)的超導特性.表面能帶的超導能隙大小為1.8 meV,小于電子能帶的2.5 meV以及空穴能帶的4.2 meV[58],這個結(jié)果與表面態(tài)的超導來自于有效的近鄰效應(yīng)是一致的,并且表明誘導的超導主要來自于庫珀對在帶間的散射,與單層FeTe1?xSex/SrTiO3中的機制相同.

拓撲超導體中的拓撲缺陷可以束縛馬約拉納零模,這是拓撲超導的一個非常重要的性質(zhì).實驗結(jié)果強烈地支持鐵基超導體中單層的FeTe1?xSex/SrTiO3和FeTe1?xSex單晶是拓撲超導體.第一個疑似馬約拉納零模的實驗是在FeTe1?xSex單晶中,發(fā)現(xiàn)FeTe1?xSex單晶表面單個Fe原子磁性雜質(zhì)可以束縛一個很穩(wěn)定的零模[97].STM/S的測量結(jié)果如圖31所示,可以發(fā)現(xiàn)零模的性質(zhì)和馬約拉納零模非常類似.進一步的測量表明零模對外加磁場是不敏感的,并且實驗排除了經(jīng)典的磁或非磁雜質(zhì)引起的束縛態(tài)、超導d波配對導致的束縛態(tài)以及近藤效應(yīng)等[98?101].各種測量都表明這個零模和馬約拉納零模性質(zhì)非常一致,暗示了可能與體系的拓撲有關(guān).

在FeTe1?xSex單晶中,拓撲超導表面態(tài)符合標準的二維拓撲超導的特征.那么類似于二維拓撲超導,在FeTe1?xSex單晶中,磁通渦旋中心應(yīng)該可以束縛馬約拉納零模.為了驗證這一點,STM實驗測量了存在磁通渦旋點陣的FeTe1?xSex單晶的dI/dV曲線[102],實驗結(jié)果如圖32所示.圖32(b)—圖32(e)清楚地表明在渦旋中心dI/dV存在一個零能的尖峰,這個尖峰的空間構(gòu)型是指數(shù)衰減的,所有的測量結(jié)果都支持FeTe1?xSex單晶的磁通渦旋中心會束縛一個馬約拉納零模.到目前為止,該實驗是最接近于證明FeTe1?xSex單晶中存在拓撲超導和馬約拉納零模的實驗.

圖30 表面能帶的s-波超導能隙的ARPRS測量結(jié)果[58]Fig.30.s-wave SC gap of the surface band[58].

圖31 FeTe1?xSex單晶中,STM/S實驗關(guān)于其表面的單個Fe原子磁性雜質(zhì)束縛態(tài)的實驗結(jié)果[97]Fig.31.STM/S measurement results about the bound state of single Fe impurity at the surface of FeTe1?xSex[97].

圖32 FeTe1?xSex單晶中,STM/S實驗關(guān)于其表面的單個磁通渦旋束縛態(tài)的實驗結(jié)果[102]Fig.32.STM/S measurement results about the bound state of single vortex in FeTe1?xSex[102].

6 展 望

對于鐵基超導材料中的拓撲量子態(tài),理論上已經(jīng)進行了比較深入的研究,但是相關(guān)的實驗研究才剛剛開始.對于鐵基超導的正常態(tài),借助于拓撲能帶論,對正常態(tài)衍生出的拓撲現(xiàn)象研究和理解得已經(jīng)比較透徹,關(guān)于正常態(tài)拓撲的理論和實驗也是比較自洽的.但是,對于對稱性破缺的有序相和超導態(tài),認識還很初級,主要表現(xiàn)為實驗觀測到一些理論難以完全理解的現(xiàn)象.這里舉兩個例子:首先,在Fe(Te,Se)表面,單個Fe雜質(zhì)可以束縛一個穩(wěn)定的類馬約拉納的費米子,這是很難理解的現(xiàn)象,即使在通常的拓撲超導體中也不存在這樣的現(xiàn)象;其次,同樣在Fe(Te,Se)單晶中,實驗測得大概10%的磁通渦旋會束縛一個穩(wěn)定的零能馬約拉納模,這也與通常的拓撲超導中任意磁通渦旋都可以束縛馬約拉納零模不一致[89,102].因此,對于鐵基超導中的對稱性破缺態(tài)和超導態(tài)中的拓撲量子現(xiàn)象的認識非常初級,值得繼續(xù)研究和探索.