等離子環(huán)境中帶電體能量的Collin變分

譚康伯 路宏敏 蘇濤

(西安電子科技大學(xué),天線與微波國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,西安 710071)

基于系統(tǒng)性電磁兼容的考慮,對等離子環(huán)境中在軌航天器導(dǎo)體充放電現(xiàn)象中的能量特征進(jìn)行了變分研究.通過電磁Collin原理,對等離子環(huán)境中導(dǎo)體系統(tǒng)幾何尺度與所帶電能的變分聯(lián)系進(jìn)行了理論分析.在此基礎(chǔ)上,推廣了更具一般性的數(shù)值估值分析方法,并對復(fù)雜導(dǎo)體系統(tǒng)電磁參數(shù)、等離子環(huán)境特征與系統(tǒng)能量間的關(guān)系進(jìn)行了實(shí)例分析.研究結(jié)果對于等離子環(huán)境中復(fù)雜帶電體的能量控制及相關(guān)的電磁環(huán)境效應(yīng)與防護(hù)等研究具有積極意義.

1 引 言

等離子是物質(zhì)存在的一種特殊形態(tài)[1?7],對處于其中的導(dǎo)體系統(tǒng)形成影響.在等離子環(huán)境工程中,導(dǎo)體充放電現(xiàn)象將導(dǎo)致在軌故障,對在軌航天器的有效運(yùn)行以及功能發(fā)揮構(gòu)成嚴(yán)重威脅[8?16].等離子環(huán)境中航天器的帶電分析是系統(tǒng)性電磁兼容領(lǐng)域中需要持續(xù)研究的重點(diǎn)問題.

近年來,針對空間系統(tǒng)的靜電防護(hù),電磁結(jié)合統(tǒng)計(jì)的等離子環(huán)境的物理模擬為相關(guān)研究的不斷深入提供了重要的基礎(chǔ)支撐.從動力學(xué)角度來看,等離子環(huán)境中的導(dǎo)體系統(tǒng)會受到來自周圍大量粒子的轟擊,進(jìn)而在系統(tǒng)表面形成電荷積累[10?15].這就構(gòu)成了由導(dǎo)體與其周圍等離子環(huán)境相關(guān)聯(lián)的特殊動力學(xué)共同體,并呈現(xiàn)特定的能量規(guī)律.

對于動力學(xué)系統(tǒng)能量特征的探討,變分方法原理簡潔[17?21],在分析力學(xué)中有著重要的物理意義,可以深入刻畫相關(guān)動力學(xué)的本質(zhì)規(guī)律.在電磁研究中,變分方法對于系統(tǒng)特征的評估具有應(yīng)用價(jià)值.因此,等離子環(huán)境中帶電體能量的變分研究成為相關(guān)系統(tǒng)性電磁兼容理論研究中必須進(jìn)一步深入探討的問題.

本文基于變分原理,通過電磁Collin分析對等離子環(huán)境中與導(dǎo)體目標(biāo)相關(guān)的能量估計(jì)問題進(jìn)行討論.

2 等離子中導(dǎo)體系統(tǒng)的Collin變分原理

在軌航天器與其周圍等離子環(huán)境構(gòu)成了特殊的動力學(xué)系統(tǒng),其導(dǎo)體系統(tǒng)能量受兩方面共同影響.一方面,由于等離子環(huán)境中具有一定能量的電子與離子隨機(jī)運(yùn)動[8?15],在導(dǎo)體表面上將產(chǎn)生帶電粒子的聚集作用.在高溫環(huán)境中,電子和離子有近似相同的熱力學(xué)溫度,即Te≈Ti.電子質(zhì)量me遠(yuǎn)小于離子質(zhì)量mi,處于平衡態(tài)時(shí)電子速度遠(yuǎn)大于離子速度,即ve?vi.由統(tǒng)計(jì)理論可知,到達(dá)導(dǎo)體目標(biāo)表面的電子數(shù)目將大于離子數(shù)目.于是,導(dǎo)體表面形成大量負(fù)電荷聚集,構(gòu)成負(fù)電能積累.另一方面,由電磁理論可知[22,23],導(dǎo)體的靜電能量為Ee=Q2/(2C),其中C是導(dǎo)體結(jié)構(gòu)的電容,為導(dǎo)體系統(tǒng)自身屬性,導(dǎo)體電位U及電量Q的變化受其約束.當(dāng)導(dǎo)體處于電位穩(wěn)定狀態(tài)后,其靜電特征滿足關(guān)系:Q=CU.將該關(guān)系與導(dǎo)體系統(tǒng)能量關(guān)系共同考慮,可以得到

從(1)式可以看出,當(dāng)導(dǎo)體電位確定時(shí),孤立導(dǎo)體電容的變化與系統(tǒng)靜電能量的變化間形成約束聯(lián)系.

為了確定導(dǎo)體電位,需要借助于對電子和離子的聚集作用的分析.當(dāng)導(dǎo)體系統(tǒng)處于等離子環(huán)境中時(shí),由于導(dǎo)體表面負(fù)場阻礙作用的影響,電子只有沿表面法向具有大到足夠克服相應(yīng)負(fù)勢能的能量時(shí),才能到達(dá)導(dǎo)體表面.于是有能量關(guān)系:?eU=me⊥min/2,其中e為電子電量,ve⊥min為電子到達(dá)導(dǎo)體所具有的最小速率.在此基礎(chǔ)上,依據(jù)等離子體中粒子的運(yùn)動特性,從統(tǒng)計(jì)分析及麥克斯韋分布出發(fā),可得電子流密度Γe為

其中k為玻爾茲曼常數(shù),ne和ni為電子和離子密度.在粒子流作用下,等離子環(huán)境中孤立導(dǎo)體的電位平衡特征可由理論確定[13?15].負(fù)場的增強(qiáng)對電子向?qū)w表面聚集形成阻礙作用,進(jìn)而使流向?qū)w表面的電子流密度逐漸減少,其中二次電子效應(yīng)對表面電子數(shù)目也將產(chǎn)生影響.當(dāng)?shù)竭_(dá)孤立導(dǎo)體表面的電子流、離子流以及二次電子流作用平衡時(shí),表面電位將達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài).此時(shí)有流平衡關(guān)系:Γe= Γi+Γse,其中,Γse為二次電子流密度.Γse= δeΓe+ δiΓi,其中δe為目標(biāo)表面材料由電子引起的二次電子系數(shù),δi則為由離子引起的二次電子系數(shù).結(jié)合(2)式、(3)式,將其代入流平衡關(guān)系,可得(1)式中所需的平衡電位U.

由上面分析可知,在等離子環(huán)境中的帶電導(dǎo)體系統(tǒng)呈現(xiàn)一定的能量特征,對其進(jìn)行研究需要考慮電容的實(shí)際情況.Collin原理是變分在電磁研究中的重要延拓,可以對導(dǎo)體系統(tǒng)電容進(jìn)行實(shí)用分析[24,25].為了探討問題的內(nèi)在聯(lián)系,本文引入變分方法進(jìn)行研究.由該原理可知,較大的孤立導(dǎo)體有著較大的電容.

圖1中所示的導(dǎo)體結(jié)構(gòu)S1?S??S2,C1

在相同電位和相同平均電荷密度條件下,該形式表明相同的表面積有相同的總電荷,于是對應(yīng)相同的電容.在此理論原理基礎(chǔ)上,當(dāng)電位得到一致性的確定后,由幾何尺度所確定的電容將形成對于平衡態(tài)等離子系統(tǒng)中靜電能的直接變分估計(jì):

圖1 Collin原理圖Fig.1.Collin’s principle.

3 實(shí)例分析和一般性數(shù)值推廣

首先通過簡單實(shí)例,對Collin變分分析的應(yīng)用進(jìn)行探討.考慮空間尺度為a×a×a的方形導(dǎo)體目標(biāo).根據(jù)上一節(jié)中的變分條件,對該目標(biāo)做相同表面積估值,所對應(yīng)的等效半徑為則可得到其相應(yīng)的電容估值為

將(6)式代入(1)式,并結(jié)合所得平衡電位,可得平衡態(tài)下孤立方形導(dǎo)體電能的理論估值√為

從上面的結(jié)果可以看到,對于方形目標(biāo),電能與幾何尺度在變分條件下成線性比例關(guān)系.該結(jié)果和文獻(xiàn)[15]所得的電能與面積關(guān)系在物理上保持一致.對于電子所引起的二次效應(yīng),類似于[14,15,26,27],取δ= δi≈ δe且ni≈ ne,可得到二次電子效應(yīng)對于帶電體能量的影響,其結(jié)果如圖2所示.顯然,上面方法在對一些相對簡單結(jié)構(gòu)的電能特征的分析應(yīng)用方面具有理論優(yōu)勢.

作為一種較好的實(shí)用分析方法,Collin變分原理為處理等離子環(huán)境中更復(fù)雜的導(dǎo)體系統(tǒng)提供了理論工具.為了有利于更普遍的應(yīng)用,以面對復(fù)雜結(jié)構(gòu)所提出的一般性分析要求,下面將基于變分原理(5)式,同時(shí)考慮等離子平衡態(tài)分析理論中的統(tǒng)計(jì)平均性,引入數(shù)值離散技術(shù),對分析理論方法做進(jìn)一步的推廣.

圖2 二次電子效應(yīng)對等離子環(huán)境中帶電立方體的影響Fig.2.Ef f ect of secondary electron emission on cube in plasma environment.

在等離子環(huán)境中,電子和離子流作用于導(dǎo)體系統(tǒng)表面的法向方向,形成電荷及能量積累.考慮到疊加特性,可將目標(biāo)表面的待求區(qū)域進(jìn)行N次離散剖分,以離散面片近似積分微元.通過離散,使得原有導(dǎo)體目標(biāo)的幾何構(gòu)型S?近似為離散剖分幾何構(gòu)型S,其過程如圖3所示.平衡態(tài)時(shí),設(shè)ρ表示目標(biāo)上的電荷密度函數(shù),則由空間電位關(guān)系可得如下積分算子方程:

其中L表示靜場積分算子,R=|r?r′|,待求的未知函數(shù)是產(chǎn)生目標(biāo)電位的電荷密度ρ.

圖3 導(dǎo)體構(gòu)型的空間離散Fig.3.Spatial discreteness of conductor con fi guration.

電子和離子流作用于各導(dǎo)體面片法向.根據(jù)幾何構(gòu)型進(jìn)行離散,采用基函數(shù)fn將待求電荷密度函數(shù)展開,有從該式可以看出,只要求得系數(shù)an,就可進(jìn)一步得到電荷密∫ 度 的分布情況.定義該問題的內(nèi)積為將前面電荷密度的展開式代入內(nèi)積表達(dá)式中,并且依據(jù)典型的矩陣向量形式[28],取檢驗(yàn)采樣函數(shù)為wm(r?rm),其中rm為每個(gè)離散面片的中點(diǎn),以此標(biāo)定法向流作用的空間特征.至此,(8)式轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的矩陣代數(shù)方程:

其中l(wèi)m,n= ?wm,Lfn?,bm?wm,U?. 通過求解上面矩陣代數(shù)方程,得到平衡態(tài)電荷密度分布函數(shù)的系數(shù)[an]=[lm,n]?1[bm],進(jìn)而得到電荷密度函數(shù).于是,在前面數(shù)值離散分析的基礎(chǔ)上,即可得到等離子環(huán)境中相應(yīng)導(dǎo)體目標(biāo)的平衡態(tài)系統(tǒng)的能量估值:

通過理論分析可以看到,(10)式是(1)式在Collin原理下的離散近似,其結(jié)果與實(shí)際目標(biāo)的離散度相關(guān).

下面將基于Collin變分的離散方法應(yīng)用于具體的等離子環(huán)境中導(dǎo)體目標(biāo)的靜電能量分析中,并進(jìn)行討論.分析中計(jì)及電子所引起的二次效應(yīng),并取T=Te≈Ti.首先,考慮處于等離子環(huán)境中a=0.5 m的立方導(dǎo)體,通過(7)式和(10)式,可以分別得到其靜電能量理論分析和數(shù)值分析估值(圖4).

圖4 等離子環(huán)境中方形導(dǎo)體能量特征的估值對比Fig.4.Comparison for estimated energy of cube in plasma environment.

由上面結(jié)果可以看到,對于該方形導(dǎo)體目標(biāo),理論與數(shù)值分析具有一定的符合度.在等離子環(huán)境中,較高的等離子體溫度對應(yīng)于更為激烈的粒子運(yùn)動,于是在粒子流作用下,導(dǎo)體結(jié)構(gòu)上積累了更多能量.其次,考慮到數(shù)值途徑為研究更復(fù)雜的導(dǎo)體系統(tǒng)提供了便利,下面給出具體實(shí)例分析.考慮半徑為0.25 m球體子部分和邊長為0.5 m立方體子部分的組合結(jié)構(gòu),其中兩個(gè)子部分的體心間距為0.43 m,通過分析可以得到該帶電系統(tǒng)在等離子環(huán)境中的能量特性(圖5).由結(jié)果可知,在相同的等離子溫度時(shí),該組合系統(tǒng)較之單一立方體的幾何形體更大,自身的能量更高.由于該組合結(jié)構(gòu)較之方形于幾何構(gòu)型上的變化,在等離子溫度為2 keV時(shí),系統(tǒng)所帶能量提升了約15.3%.通過分析可以看到,數(shù)值估值能夠較為普遍地處理等離子環(huán)境中的復(fù)雜導(dǎo)體系統(tǒng),在應(yīng)用方面具有一定的一般性.值得注意的是,對于復(fù)雜系統(tǒng),在研究其能量特性時(shí),需具體考慮其整體幾何構(gòu)型特征.

圖5 等離子環(huán)境中復(fù)雜系統(tǒng)的數(shù)值估值Fig.5.Numerical estimation of the composited system in plasma environment.

4 結(jié) 論

本文基于變分原理,探討了導(dǎo)體目標(biāo)幾何構(gòu)型與電能間的電磁Collin聯(lián)系,對等離子環(huán)境中導(dǎo)體的電能進(jìn)行了較為簡潔的變分估值分析.出于Collin原理在處理復(fù)雜導(dǎo)體系統(tǒng)時(shí)實(shí)用性的考慮,在理論研究的基礎(chǔ)上,本文結(jié)合數(shù)值分析技術(shù),為等離子環(huán)境中導(dǎo)體系統(tǒng)電能的估值提供了更具實(shí)用價(jià)值的一般性分析方法.本文研究有利于等離子環(huán)境中復(fù)雜帶電體的能量控制及相關(guān)的電磁環(huán)境效應(yīng)與防護(hù)技術(shù)的深入.