數(shù)學(xué)是符號的樂園
——淺析符號意識的發(fā)展與培養(yǎng)

衛(wèi)林靈

（江蘇省南通市實驗小學(xué)，江蘇南通 226001）

引 言

有人問小學(xué)數(shù)學(xué)是學(xué)習(xí)什么？借用華應(yīng)龍的話來說，就是用符號在一個樂園里開展各項活動。數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)離不開符號，對它的體會和應(yīng)用貫穿于整個小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程。從幼兒咿呀學(xué)語開始認(rèn)識的“1、2、3……”數(shù)字符號，乃至“＋、－、×、÷、＝、＞、＜、△、○……”符號，直至用字母符號來表示數(shù)?？梢哉f，符號與數(shù)學(xué)有著緊密的聯(lián)系。下面，筆者將圍繞這三個問題進(jìn)行簡略的介紹和說明，希望能拋磚引玉，獲得更多的啟發(fā)。

一、追根溯源，挖掘數(shù)學(xué)符號產(chǎn)生的過程

數(shù)學(xué)符號的歷史是伴隨著人類抽象能力的發(fā)展而展開的。從1根小棒、1個蘋果、1本書等有共同點的東西中，可以提煉出數(shù)字1來；同樣，從2根小棒、2個蘋果、2本書……中可以抽象出2來。這樣就可以抽象出1、2、3……自然數(shù)，這些自然數(shù)就是一類數(shù)字符號。這些數(shù)字符號簡明、抽象、準(zhǔn)確、清晰，非常便于數(shù)量的記錄和表達(dá)。數(shù)學(xué)教材的編排也一定程度上還原了人類對數(shù)字符號的抽象過程。例如，蘇教版數(shù)學(xué)一年級《認(rèn)識10以內(nèi)的數(shù)》。學(xué)生充分感受和經(jīng)歷了數(shù)學(xué)符號的抽象和產(chǎn)生過程。

師：仔細(xì)觀察，你在圖中發(fā)現(xiàn)了什么？

生：有1個小朋友拉風(fēng)琴，有2盆花，3個小朋友在跳舞，4個氣球，黑板上有5顆星星。

師：真棒！想一想，你有什么辦法把剛才的發(fā)現(xiàn)記錄下來？

生1：把人和物體依次畫下來……

生2：用一個小圓片來代表一個人或物體……

生3：用數(shù)字來表示……

師：是的，我們有多種方式來表達(dá)圖中的信息。你們覺得用哪種方式來表達(dá)最簡單？

生：數(shù)字！

師：一個拉風(fēng)琴的小朋友，一個圓片，用數(shù)字“1”來表示。

兩盆花，兩個圓片，用數(shù)字“2”來表示。

……

孩子們，“1”還可以表示什么？

生1：1只兔子；生2：1個蘋果；生3：1本書；生4：1座房子……

師：（小結(jié)）孩子們，這個“1”可真了不起。它可以表示好多東西呀！不過它們都有一個共同點，數(shù)量都是1。

那么2、3、4、5呢？

……

學(xué)生從情境圖出發(fā)，由具體事物對象—圖形—數(shù)字符號，體現(xiàn)了數(shù)字1～5抽象概括的過程。此外，在數(shù)的領(lǐng)域，有自然數(shù)展開的分?jǐn)?shù)、小數(shù)和負(fù)數(shù)等，都是為了滿足生產(chǎn)和生活的需要而創(chuàng)造出來的各種數(shù)學(xué)符號，它們豐富了數(shù)的內(nèi)容。然而，人類抽象的能力并未就此止步。數(shù)字的一一對應(yīng)性，在表示數(shù)量或數(shù)量關(guān)系的一般規(guī)律上產(chǎn)生了局限性，引發(fā)了數(shù)學(xué)史上的第二次飛躍，即用字母表示數(shù)或數(shù)量關(guān)系[2]。這一飛躍，敲開了代數(shù)學(xué)的大門。

二、統(tǒng)一通用，理解數(shù)學(xué)符號的工具意義

使用統(tǒng)一的數(shù)學(xué)符號意義重大。符號的優(yōu)點，筆者在前文已經(jīng)有所表述，它的抽象性、明確性、可操作性、簡略性和通用性等，為數(shù)學(xué)界的研究和交流提供了便利的工具。數(shù)學(xué)的三個基本思想，即抽象、推理和模型思想透過數(shù)學(xué)符號得到了充分的體現(xiàn)。正如秦統(tǒng)一六國的歷史意義。通用的數(shù)學(xué)符號就是數(shù)學(xué)的流通語言，而這種語言非常精簡，也許一頁紙就能囊括所有。從徐品方等著的《數(shù)學(xué)符號史》一書看，初、高等數(shù)學(xué)中常見的數(shù)學(xué)符號有200多個（不包含數(shù)字），其中常用的僅100多個。這些數(shù)學(xué)符號構(gòu)建了整個數(shù)學(xué)樂園。但是要想進(jìn)入這個數(shù)學(xué)樂園，就得理解數(shù)學(xué)符號的意義，這是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本要求。

例如，對“＝”的認(rèn)識。它的意義有兩大方面，一是表示“運算結(jié)果”，二是表示“等價關(guān)系”。在一年級上學(xué)期，學(xué)生通過數(shù)的比較大小，首次接觸了等號；而后，在加減法中初步認(rèn)識了一道算式的運算可以用等號表示“得到”結(jié)果。然而，隨著學(xué)習(xí)進(jìn)程的展開，學(xué)生對等號的理解產(chǎn)生了誤區(qū)，偏重“得到”而忽略了“等價”。這直接導(dǎo)致了7＋8=15-3=12這類錯誤的出現(xiàn)。學(xué)生缺乏對等號“等價關(guān)系”的認(rèn)知提升，又會使他們在學(xué)習(xí)“恒等式”和“方程”的初期遭遇思維的障礙。此時，數(shù)學(xué)符號的工具意義就無法充分體現(xiàn)，所以教材會用“天平”的圖像來處理方程學(xué)習(xí)中的困境。

三、內(nèi)生需求，培養(yǎng)數(shù)學(xué)符號的運用意識

事實上，學(xué)生在進(jìn)入數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)后，已經(jīng)在普遍使用數(shù)學(xué)符號了，只是日用而不知。從《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》對符號意識的具體表述可見，對于符號意識的培養(yǎng)要求，不僅是要讀懂會用，還要具備主動運用符號進(jìn)行思考的思維方式。發(fā)展用符號表達(dá)和運算、推理的能力。數(shù)字、字母、圖形、關(guān)系式等構(gòu)成的數(shù)學(xué)符號系統(tǒng)內(nèi)容豐富，給符號的運用提供了豐富的資源。

到了第二學(xué)段，要重視“用字母表示數(shù)”的教學(xué)，這部分內(nèi)容具有承前啟后的重要意義。因為，在掌握了用字母表示數(shù)以后，學(xué)生在認(rèn)知上將突破數(shù)字表示數(shù)的局限性，從而把握用字母表示數(shù)的普遍性。理解用字母表示數(shù)的意義，是學(xué)習(xí)代數(shù)的關(guān)鍵，也是后面學(xué)習(xí)代數(shù)式、方程、函數(shù)等的前提條件。然而這一過程是漫長而困難的，需要經(jīng)歷大量的活動，使學(xué)生在具體情境中內(nèi)生性地產(chǎn)生運用符號意識的需求。

柳小梅老師執(zhí)教的“用字母表示數(shù)”一課，創(chuàng)造性地采用“數(shù)學(xué)魔盒”的方式大獲成功。她讓學(xué)生在游戲中明確：用字母表示的數(shù)是已經(jīng)學(xué)過的所有數(shù)，不局限于某個具體的數(shù)或是整數(shù)。也為后面用含有字母的式子表示結(jié)果同時還可以表示數(shù)量之間的關(guān)系做好鋪墊。然后，無論是年齡問題、行程問題，還是數(shù)青蛙，都是讓學(xué)生體會到運用字母表示數(shù)的必要性和符號表示的意義。循序漸進(jìn)中，學(xué)生體會到，用字母不僅可以表示數(shù)，還可以表示一種關(guān)系和一種規(guī)律，為他們今后主動運用符號意識進(jìn)行思考做了充分的演練。

結(jié) 語

可以說，沒有符號，就沒有現(xiàn)代數(shù)學(xué)。符號的產(chǎn)生與發(fā)展，伴隨著整個數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史。符號對于數(shù)學(xué)的意義不亞于語言對于人類的重要性。對學(xué)生符號意識的培養(yǎng)任重而道遠(yuǎn)，因為他們決定了未來數(shù)學(xué)樂園的繁榮與發(fā)展。作為教師，更應(yīng)該加強主動運用符號意識進(jìn)行思維的能力，不斷設(shè)計有價值的問題促進(jìn)兒童學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展。