高中數(shù)學不等式解法探討

俞海彬

摘要：高中數(shù)學中關(guān)于不等式的內(nèi)容是非常重要的知識點，也是高考中的高頻考點。不等式對于其他學科的理論知識的學習有一定的幫助，所以，在整個高中數(shù)學試題中，關(guān)于不等式的題型所占的比例越來越大。本文針對高中數(shù)學中關(guān)于不等式問題的解題方法進行了探討，從換元法、反證法、線性規(guī)劃等方面為廣大高中考生提供了一定的解題方法，希望能對高中考生有所幫助。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學；不等式；解法

高中數(shù)學本來就是一門難度較大的課程，需要學生具有較好的邏輯性。高中數(shù)學的學習內(nèi)容中，關(guān)于不等式的知識是必學內(nèi)容，教師在教學中也把不等式作為重點、難點來講授，是考試中最常考的知識點之一，所占分值也比較大。很多高中生在學習數(shù)學的過程中，往往不能熟練地掌握不等式的解題方法，這就使得他們不能很好地理解數(shù)學概念，解題效率比較低，在做題時并沒有百分百的把握，所以導致做題過程中猶猶豫豫，做題速度比較慢。

一、用換元法簡化習題

換元法是不等式的解題方法中常用的一種方法，把未知數(shù)或變數(shù)稱作為元，所謂換元法，就是將一個式子看成是一個整體，并選用一個量來取代這個式子，把原來比較復雜的式子簡化成簡單的式子，再進行解題。這就是比較傳統(tǒng)的換元法。

換元法實際上就是變換了研究對象，把問題轉(zhuǎn)移到新的對象上，在新對象的知識背景中繼續(xù)研究。換元法可以把原來非標準化的問題標準化，把復雜的問題簡單化，可以把高次式化成低次式，把分式化成整式，把無理式化成有理式，總之，就是將原來看起來較為復雜的、無從入手的式子，轉(zhuǎn)化為稍簡單的、有規(guī)律可循的式子。但是，有一個問題需要注意，那就是換元后的取值范圍的問題，新變量的取值范圍要和所替換的式子的取值范圍一致。

換元法主要有整式換元、三角換元、均值換元等方法，可以用在恒等式的證明、因式分解、條件等式的證明、化簡求值、函數(shù)、三角、數(shù)列、解析方程等問題的解決中[1]。整式換元就是將一個多次出現(xiàn)的代數(shù)式用一個字母去替換掉，這個代數(shù)式可以是有理數(shù)、根式、指數(shù)式、對數(shù)式等等。三角換元就是將式子換成三角式，利用三角知識來解決代數(shù)式的問題。

二、使用反證法解決不等式問題

反證法是正向解題比較困難的情況下，則從反方向入手，運用的是正難則反的思維方法。具體方法是先假設(shè)命題的結(jié)論的反面是正確的，是可以成立的，然后通過一系列正確的推理，推出了矛盾，那么就可以說明最開始的假設(shè)是錯誤的，從而可以間接地證明命題是正確的，是可以成立的。有時也可以直接舉一個特定的例子來證明假設(shè)不成立，這種方法在選擇題中較為常用。

有幾種情形中常用反證法來解題：直接正面證明比較困難；直接正面證明需要分很多種情況，但對立命題的分類比較少；結(jié)論中出現(xiàn)了“至少”“至多”“全”“不可能”“有無窮多個”等字樣；結(jié)論是“唯一”之類的命題。

反證法需要學生能夠根據(jù)命題結(jié)論假設(shè)出命題的反面。比如說，如果結(jié)論中出現(xiàn)了“至少有一個”，那么其否定假設(shè)則是“一個也沒有”；如果結(jié)論中有“至多有一個”，那么其否定假設(shè)則是“有兩個或兩個以上”；如果結(jié)論中是“唯一一個”，那么其否定假設(shè)則是“沒有或有兩個或有兩個以上”。

三、使用線性規(guī)劃法解決不等式問題

分析近幾年各地的高考試卷或者平時的模擬試卷便不難發(fā)現(xiàn)，線性規(guī)劃與不等式相結(jié)合的這種題型的出題率是非常高的。這種題型主要考察的方式有三種：一是直接去最優(yōu)解，二是已知最優(yōu)解求參數(shù)的值或取值范圍，三是求區(qū)域的面積。

在線性規(guī)劃的題目中，常見的目標函數(shù)主要有以下幾類：1.求直線的截距，這是最基本的類型；2.求直線的斜率；3.求平面內(nèi)兩點之間的距離或距離的平方；4.求點到直線的距離[2]。

要想解決線性規(guī)劃問題，首先要找到可行域，要知道目標函數(shù)代表的幾何意義是什么，然后將數(shù)字與圖形相結(jié)合，求出最優(yōu)解。對于有知識背景的應(yīng)用類型的題目，則要設(shè)出變量，從而確定可行域和目標函數(shù)。

常見的幾種不等式的解法：一元二次方程的根就是一元二次不等式的解集的端點值，也是二次函數(shù)的零點，即二次函數(shù)的圖像與x軸交點的橫坐標；分式不等式則可以將其轉(zhuǎn)化成整式不等式再解；以函數(shù)為背景的不等式則可以利用函數(shù)的單調(diào)性來解題。

線性規(guī)劃問題的解題步驟：1.確定不等式所表示的平面區(qū)域，并將其在數(shù)軸上畫出，要注意將區(qū)域邊界與不等式中的不等號對應(yīng)好；2.畫出目標函數(shù)的值為0使所表示的直線l，然后平行移動直線l，使其與平面區(qū)域有公共點，再根據(jù)目標函數(shù)的幾何意義確定出最優(yōu)解；3.通過直線方程組求出最優(yōu)解的坐標，最后再將其帶入函數(shù)，求出最值[3]。

結(jié)語

高中生在學習數(shù)學的不等式這一章節(jié)的內(nèi)容時，一定要熟練地掌握不等式的解題技巧，了解不等式的解題基本規(guī)律，知道考察不等式的主要題型。在平時的學習中，要對每一類型題都多加練習，熟練掌握不同類型的解題步驟，培養(yǎng)自己的邏輯思維能力，最終才能提升自己數(shù)學方面的綜合素質(zhì)。

參考文獻：

[1]馬漢敏.高中數(shù)學不等式解法探討[J].中學教學參考，2014，（8）：39- 40.

[2]陳云闖.高中數(shù)學不等式知識學習方法探究[J].考試刊，2017，（64）：96，146.

[3]楊麗嫻.高中數(shù)學不等式解題技巧思考[J].中學數(shù)學，2017，（11）：77- 79.