從“道、法、術(shù)、器”談小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué)

溫與寒

“道、法、術(shù)、器”出自老子的《道德經(jīng)》，是道家所強(qiáng)調(diào)的四個(gè)層面。所謂“道”即萬物變遷循環(huán)中亙古不變的規(guī)律，是靈魂，是方向，是指導(dǎo)思想；“法”是規(guī)則體系和方法原則，是在探求“道”的過程中經(jīng)過實(shí)踐思考和歸納總結(jié)得出的方法規(guī)則；“術(shù)”是在規(guī)則體系指導(dǎo)下的具體操作技術(shù)，只要“道、法”不變，“術(shù)”可千變?nèi)f化；“器”是指有形的物質(zhì)或有形的工具，也就是我們常說的“工欲善其事，必先利其器”。

仔細(xì)思忖，道家思想體系之科學(xué)、完善不禁讓人拍案叫絕，萬事發(fā)展皆離不開這四個(gè)字，小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué)亦是如此，道生法，法創(chuàng)術(shù)，術(shù)依法，更需要以器作為載體。筆者將從道、法、術(shù)、器四個(gè)層面談?wù)剬πW(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué)的認(rèn)識。

一、 小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué)之“道”——道以明向

“道”之于計(jì)算教學(xué)是解決“為什么這樣算”的問題，也就是我們常說的算理。算理即計(jì)算的原理或道理，它有兩層含義：一是運(yùn)算的依據(jù)，也就是每一步運(yùn)算的道理；二是列式的依據(jù)，也就是某一個(gè)問題選擇與其相契合的算法，是根據(jù)條件與問題的關(guān)聯(lián)而確定的。其實(shí)這都解決了“為什么這樣算”的問題。例如在人教版三年級下冊兩位數(shù)乘兩位數(shù)的教學(xué)中有這樣一道例題：每套書有14本，王老師買了12套，一共買了多少本？根據(jù)乘法的含義列出算式14×12，在推導(dǎo)算理的過程中教材上呈現(xiàn)了兩種方法：

在研究算理時(shí)，要充分利用點(diǎn)子圖這一直觀手段，在交流中體會“先分后合”的解題思路，使學(xué)生的思維軌跡在點(diǎn)子圖上留下痕跡，然后充分對比兩種“分”的方式，優(yōu)劣自現(xiàn)，第二種“分”的方法恰恰就是乘法豎式計(jì)算的基本思路，為下一步創(chuàng)造算法打好基礎(chǔ)。在一系列的教學(xué)過程中不僅解決了“為什么這樣算”的問題，而且學(xué)生通過點(diǎn)子圖抽象出后續(xù)算法，培養(yǎng)了幾何直觀及分析與優(yōu)化意識，潛移默化中滲透了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，在明理中順利自然地過渡到算法上，達(dá)到水到渠成的效果。除此之外，“為什么要算”也屬于“道”的范疇，大而言之是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的，小而言之是學(xué)生學(xué)習(xí)的意志品質(zhì)，這雖然屬于非智力因素，但對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)乃至于整個(gè)學(xué)習(xí)觀的建立都尤為重要，只有觸動學(xué)生內(nèi)心真正的需要，學(xué)生才能明確學(xué)習(xí)的目的與價(jià)值，懂得“為什么要算”，才會在形式簡單而又枯燥的計(jì)算中保有學(xué)習(xí)的動力。在以往的教學(xué)中許多教師強(qiáng)調(diào)算法過多，教授技巧過多，而忽略了算理的教學(xué)。殊不知學(xué)生只有理解了算理，才能“創(chuàng)造”出科學(xué)的計(jì)算方法，所以計(jì)算教學(xué)必須由理入手，著重幫助學(xué)生利用已有的知識領(lǐng)悟、轉(zhuǎn)化計(jì)算的道理，“循理入法，以理馭法”，最終達(dá)到掌握計(jì)算方法的目的。算理就是計(jì)算教學(xué)中的“道”，是計(jì)算教學(xué)的方向與靈魂，透徹地理解算理就是明確學(xué)習(xí)的大方向。方向?qū)α?，就不會南轅北轍，才能達(dá)到事半功倍的效果。

二、小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué)之“法”——法以固本

“法”之于計(jì)算教學(xué)就是解決“怎樣算”的問題，也就是我們常說的算法。算法不單指某一種計(jì)算類型題具體的計(jì)算方法，它還包括四則運(yùn)算的法則、定律等。算法簡約了算理復(fù)雜的思維過程，添加了人為規(guī)定的程式化操作步驟，使得整個(gè)計(jì)算過程更為方便、準(zhǔn)確。仍然以兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計(jì)算為例，在明確算理的基礎(chǔ)上，抽象出計(jì)算的方法，

循著算理的推導(dǎo)過程，將其簡化為外顯的以數(shù)為主的表達(dá)式，學(xué)生在創(chuàng)造算法的過程中可能存在不科學(xué)、不簡化的地方，教師這時(shí)可以給出正確的書寫格式，并引導(dǎo)學(xué)生與算理進(jìn)行比照，通過一系列觸及核心的問題引發(fā)學(xué)生思考。比如“每一部分積是怎么得到的？為什么第二部分積要錯位書寫？你能在點(diǎn)子圖上找到豎式計(jì)算的過程并說明道理嗎”。只有給學(xué)生充分的操作、分析、對比的空間，學(xué)生才能在明理的基礎(chǔ)上順利自然地掌握算法，思維才會逐步呈現(xiàn)由形象到抽象的變化，運(yùn)算能力才會提高。另外也要處理好算法多樣化與優(yōu)化之間的關(guān)系，多樣化是為了鼓勵學(xué)生個(gè)性化的思考，而必要的優(yōu)化才是學(xué)習(xí)提升的關(guān)鍵，科學(xué)優(yōu)化的方法較之其他方法有其獨(dú)到之處，教師的點(diǎn)撥與引導(dǎo)在這樣的時(shí)候才有作用。如果說算理為計(jì)算提供了正確的思維方式，保證了計(jì)算的合理性，算法則為計(jì)算提供了準(zhǔn)確快捷的操作方法，提升了計(jì)算的效率，二者是相輔相成的關(guān)系。算法是計(jì)算教學(xué)中的“法”，是計(jì)算的方法與規(guī)則，從算理中提煉出正確簡潔的算法是學(xué)生必備的能力，方法得當(dāng)是計(jì)算的根本所在，是提高計(jì)算準(zhǔn)確性與速度的前提。

三、 小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué)之“術(shù)”——術(shù)以立策

“術(shù)”之于計(jì)算教學(xué)其實(shí)就是指運(yùn)算的技巧，當(dāng)然也包含著計(jì)算的習(xí)慣。這和我們做事情都希望優(yōu)化流程、優(yōu)選方法、尋求捷徑是一個(gè)道理。計(jì)算時(shí)，我們也應(yīng)該指導(dǎo)學(xué)生利用技巧優(yōu)化算法，這不僅是一種較高層次思維的參與，更需要學(xué)生將所學(xué)的定律、法則、性質(zhì)融匯貫通，綜合運(yùn)用所學(xué)的計(jì)算方法，最終形成計(jì)算能力。而運(yùn)算技巧的培養(yǎng)在小學(xué)數(shù)學(xué)簡便方法計(jì)算中最具代表性，簡算教學(xué)中教師應(yīng)做到以下幾點(diǎn)：

首先要善用情境，激活經(jīng)驗(yàn)。例如在計(jì)算145+98這道題時(shí)，可以利用購物的情境來激發(fā)學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)，使其思維進(jìn)行更深層次的參與，買一件上衣145元，一條褲子98元，一共要付多少錢？學(xué)生會想到拿出100元來付褲子的錢，找回的2元補(bǔ)充到上衣的價(jià)格中共需付出243元。而這一思維過程就是145+98=145+100-2=243，這就是簡算中多加了要減去的技巧，在這一案例中情境作為一種載體引發(fā)了學(xué)生更深層次的思考，從而幫助學(xué)生把算法的優(yōu)化內(nèi)化成了一種自覺的行為。

其次要著意對比，凸顯優(yōu)勢。例如對于減法性質(zhì)的運(yùn)用中272-36-64=272-（36+64），兩種方法通過對比呈現(xiàn)，優(yōu)勢立顯，而教師要有意識地通過對比來使學(xué)生心悅誠服地接受利用定律簡算的技巧。另外在簡算的過程中一些常用數(shù)據(jù)的有效記憶也尤為重要，如25×4=100，125×8=1000這些數(shù)據(jù)在簡算中作為重要因素常常出現(xiàn)，只有牢牢記住它們才能對于計(jì)算題目進(jìn)行分析，利用運(yùn)算定律進(jìn)行相應(yīng)的轉(zhuǎn)化，達(dá)到簡算的目的。

再次要把握原則，鼓勵創(chuàng)新。在進(jìn)行簡算時(shí)常規(guī)的運(yùn)算順序會發(fā)生相應(yīng)的變化，也會對數(shù)據(jù)進(jìn)行拆分或轉(zhuǎn)化，無論是把數(shù)拆分成積、和、差哪一種形式，必須在不改變原數(shù)大小的基礎(chǔ)上進(jìn)行，因?yàn)橹挥羞@樣才不會影響計(jì)算結(jié)果。把握住這一原則，可以鼓勵學(xué)生進(jìn)行創(chuàng)造，同樣的算式運(yùn)用不同的定律，采取不同的手段都能達(dá)到簡算的目的。例如125×88的簡算，既可以拆成125×8×11，利用乘法結(jié)合律進(jìn)行簡算，也可以拆成125×（8+80），利用乘法分配律進(jìn)行簡算。同時(shí)教師還應(yīng)有意識地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感，計(jì)算之后對計(jì)算結(jié)果的合理性進(jìn)行基本的估計(jì)與分析，可以及時(shí)發(fā)現(xiàn)計(jì)算中存在的問題，增加計(jì)算的準(zhǔn)確性。

最后要做到形成意識，思辨提升。其實(shí)簡算的學(xué)習(xí)也是循序漸進(jìn)的過程，初期學(xué)習(xí)以形式上的模仿為主，但從長期來看一味地程式化訓(xùn)練也容易造成學(xué)生思維定勢，因此在教學(xué)中應(yīng)進(jìn)行不同形式的練習(xí)，注重辨析與思考，研究典型錯例，強(qiáng)調(diào)簡算的合理性與靈活性，幫助學(xué)生形成簡算的意識，真正體驗(yàn)計(jì)算策略改變帶來的便捷。

其實(shí)所有計(jì)算都是有技巧可言的，就像是打仗要有謀劃，做事都有策略，要根據(jù)具體情勢，選擇相應(yīng)的方法，既要循道順法，也要因地制宜，只有這樣學(xué)生計(jì)算的訓(xùn)練才能脫離低水平的重復(fù)，思維才能得到更深層次的提升。

四、 小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué)之“器”——器以成事

“器”之于計(jì)算教學(xué)其實(shí)就是具體的練習(xí)設(shè)計(jì)。練習(xí)作為課堂教學(xué)的延伸，是完成教學(xué)目標(biāo)的重要環(huán)節(jié)，是課堂反饋的重要手段，練習(xí)設(shè)計(jì)的科學(xué)性、創(chuàng)造性、嚴(yán)謹(jǐn)性關(guān)系到課堂教學(xué)質(zhì)量的有效提升。盲目地以題量堆砌練習(xí)設(shè)計(jì)，會造成單調(diào)重復(fù)，雜亂無章，缺乏層次與整合，所以練習(xí)設(shè)計(jì)必須巧妙串連以形成知識網(wǎng)絡(luò)，直指問題，有趣精當(dāng)。在練習(xí)設(shè)計(jì)中教師應(yīng)做到以下幾點(diǎn)：

1. 由單一強(qiáng)化到綜合提升的層次性。

所謂單一強(qiáng)化即針對教學(xué)的重、難點(diǎn)或某一易錯點(diǎn)進(jìn)行專項(xiàng)練習(xí)。例如教學(xué)三年級上冊萬以內(nèi)加減法單元中加減法估算時(shí)，學(xué)生對于估算的思維方式、書寫格式都存在困難，這時(shí)就需要進(jìn)行專項(xiàng)的強(qiáng)化練習(xí)，經(jīng)歷反復(fù)的感知、理解、實(shí)踐、強(qiáng)化，才能最終形成估算的技能。在單一強(qiáng)化的基礎(chǔ)上適時(shí)地綜合提升。綜合練習(xí)的目的是更深刻地理解和掌握知識之間的本質(zhì)聯(lián)系與規(guī)律，更透徹地看待知識，從根本上提升分析解決問題的能力。五年級上冊多邊形單元中，學(xué)習(xí)完平行四邊形、三角形、梯形及組合圖形面積之后，教師應(yīng)針對這部分知識進(jìn)行綜合性練習(xí)，由面積公式推導(dǎo)的演變發(fā)展體會轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，建立各個(gè)圖形之間的聯(lián)系，通過諸如“三角形和平行四邊形面積相等，高也相等，平行四邊形的底為5厘米，則三角形的底為（ ）厘米”這樣的綜合練習(xí)，提升學(xué)生對圖形之間關(guān)系的認(rèn)知，從而達(dá)到靈活應(yīng)對問題的效果。

2. 由順向思維到逆向思維的全面性。

順向思維思考的方向是由因?qū)Ч?，遵循單一的模式，直接運(yùn)用概念、性質(zhì)、法則和公式進(jìn)行思考，這是我們平時(shí)練習(xí)中最常態(tài)的鞏固方式。而“逆向思維”常常要運(yùn)用概念、性質(zhì)、法則和公式逆向推導(dǎo)，它的思考方向是由果索因，體現(xiàn)一種創(chuàng)造性的求異思維。在練習(xí)設(shè)計(jì)中，既要加強(qiáng)順向思維的訓(xùn)練也要關(guān)注逆向思維的培養(yǎng)，例如在教學(xué)長方形與正方形周長之后，除了設(shè)計(jì)一些給出長、寬求周長的題目，夯實(shí)周長公式之外，也要設(shè)計(jì)給出周長與長，求寬的題目。從公式的逆向角度去分析，以便學(xué)生更深入理解周長，更靈活地應(yīng)用。兩種思維方式交迭融合，學(xué)生才能全方位掌握知識。

3. 由階段整理到對比辨析的指向性。

小學(xué)階段計(jì)算教學(xué)的編排特點(diǎn)是分類呈現(xiàn)、螺旋上升，所以在教材中一個(gè)單元或一個(gè)計(jì)算類型結(jié)束后要及時(shí)進(jìn)行階段性整理與復(fù)習(xí)，通過例題的回顧展現(xiàn)計(jì)算的不同類型，抓住逐步深入的題目里內(nèi)在的聯(lián)系。例如五年級上冊學(xué)完小數(shù)除法單元之后，對于不同類型的小數(shù)除法進(jìn)行整理，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)無論是被除數(shù)、除數(shù)還是商是小數(shù)的情況都叫小數(shù)除法，而我們在計(jì)算時(shí)就是采用轉(zhuǎn)化的方式把除數(shù)變成整數(shù)，而被除數(shù)擴(kuò)大的倍數(shù)根據(jù)除數(shù)的具體情況而定，可以拿出這樣幾道題目進(jìn)行對比，如7.65÷0.85、0.84÷3.5、25.6÷0.032，學(xué)生通過計(jì)算會發(fā)現(xiàn)，除數(shù)轉(zhuǎn)化成整數(shù)之后，被除數(shù)無論成為整數(shù)、小數(shù)，都要根據(jù)整數(shù)除法的法則進(jìn)行計(jì)算。這樣的階段整理、對比辨析有助于學(xué)生有指向性地掌握計(jì)算法則，從而有效地減少錯誤的發(fā)生。

4. 由典型錯例到時(shí)間管理的獨(dú)特性。

小學(xué)計(jì)算教學(xué)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，這些看似簡單的題目，學(xué)生產(chǎn)生錯誤的原因卻不盡相同，也絕不是一句“馬虎，下次注意”就可以改正過來的。作為教師要幫助學(xué)生養(yǎng)成糾錯的習(xí)慣，不要忙著去改正，而是要先看看自己是怎么錯的，把錯誤的原因進(jìn)行歸類，建立錯題集，同時(shí)也要及時(shí)對典型錯例進(jìn)行講評，規(guī)避類似錯誤。另外，學(xué)生計(jì)算時(shí)教師應(yīng)有意識地記錄時(shí)間，隨著學(xué)習(xí)的熟練不斷縮短規(guī)定時(shí)間，幫助學(xué)生養(yǎng)成積極的思維習(xí)慣，對時(shí)間進(jìn)行有效的管理以提升學(xué)生計(jì)算的準(zhǔn)確性和速率。

5. 由梯度練習(xí)到啟迪思維的創(chuàng)造性。

計(jì)算教學(xué)一直是枯燥單調(diào)的代名詞，筆者卻認(rèn)為不能單純依靠機(jī)械重復(fù)與題量的堆砌來追求計(jì)算的正確率，而應(yīng)該通過習(xí)題的巧妙設(shè)計(jì)讓學(xué)生在靜靜地練習(xí)計(jì)算技巧的背后展現(xiàn)豐富熱烈的數(shù)學(xué)思考。教師可以通過解決生活實(shí)際問題來激發(fā)學(xué)生的計(jì)算欲望；通過多元化的評比活動調(diào)動學(xué)生計(jì)算的積極性；通過設(shè)計(jì)梯度和深度的練習(xí)引發(fā)學(xué)生多角度的思考，把計(jì)算課上出挑戰(zhàn)性和趣味性。同時(shí)要有意識地設(shè)計(jì)一些開放性題目，滿足學(xué)有余力學(xué)生的需求。

練習(xí)設(shè)計(jì)精當(dāng)與否，體現(xiàn)了教師對于所教計(jì)算知識及學(xué)生情況的整體把握，作為計(jì)算教學(xué)中最實(shí)在的部分，它的重要性不言而喻，但我們應(yīng)當(dāng)明確的是成事之“器”必須以“道”為根本，講究得當(dāng)之“法”，采用最好的“術(shù)”來共同達(dá)到提升學(xué)生計(jì)算能力的目的。

綜上所述，千年沿襲的處事哲學(xué)中蘊(yùn)含著一脈相承的教學(xué)智慧，“道、法、術(shù)、器”四者各為基石，彼此交融，相輔相成，缺一則不能成為體系，計(jì)算教學(xué)中只有堅(jiān)持做到道明、法當(dāng)、術(shù)巧、器精，四者并舉，遵循規(guī)律才能教有所成，學(xué)有所得。

（作者單位：哈爾濱市南崗區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校）

編輯/魏繼軍