齒輪非線性動(dòng)力學(xué)研究展望

楊鑫 李子軒 張振軍

摘 要：齒輪傳動(dòng)是動(dòng)力學(xué)研究領(lǐng)域中的重要組成部分，同時(shí)也被運(yùn)用于各種機(jī)械設(shè)備中，系統(tǒng)的使用精度由于齒輪的廣泛應(yīng)用而大幅提升。齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的主要特點(diǎn)是系統(tǒng)高轉(zhuǎn)速、建模難度大和求精確解困難。當(dāng)今精密機(jī)械設(shè)備以及高精尖儀器等均對(duì)齒輪的精度提出了更嚴(yán)苛的需求，這對(duì)齒輪非線性動(dòng)力學(xué)的研究提出了更深入的要求。

關(guān)鍵詞：非線性動(dòng)力學(xué)；非線性方法；齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)

DOI：10.16640/j.cnki.37-1222/t.2018.20.013

設(shè)備中極為關(guān)鍵的齒輪的傳動(dòng)系統(tǒng)應(yīng)用的十分廣泛，其高轉(zhuǎn)速下的振動(dòng)問題、內(nèi)部結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性和各種非線性的因素存在，不僅給齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析更給設(shè)計(jì)帶來了極大的困難。齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的主要特點(diǎn)是系統(tǒng)高轉(zhuǎn)速、建模難度大和求精確解困難。在齒輪的傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)研究中，系統(tǒng)輸入、系統(tǒng)模型、系統(tǒng)輸出這3方面為主要研究過程[1]。本文根據(jù)近年來相關(guān)的研究情況，對(duì)于非線性動(dòng)力學(xué)的研究現(xiàn)狀和成果進(jìn)行概述。并提出未來相關(guān)研究的熱點(diǎn)和方向，在宏觀上為齒輪非線性系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析提供了今后研究的重點(diǎn)。

1 齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的發(fā)展

加工齒輪的時(shí)候，存在一些變化因素，比如裝配以及齒合剛度等，齒輪會(huì)存在震動(dòng)等一些有害的變化，從而給傳動(dòng)系統(tǒng)精度造成較大的影響[2]?，F(xiàn)在對(duì)于齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的相關(guān)研究已經(jīng)從之前的線性轉(zhuǎn)變成為了非線性，齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的升級(jí)也給社會(huì)更好的發(fā)展做出了自己的貢獻(xiàn)。在考慮間隙為非線性時(shí)非線性問題可劃分為兩種模型：非線性時(shí)不變模型沒有考慮到嚙合剛度的時(shí)變性，而非線性時(shí)變模型考慮到了該時(shí)變性，因此可以把齒輪系統(tǒng)當(dāng)作非線性的參數(shù)振動(dòng)問題從而進(jìn)行研究。近30年來，融匯了許多先進(jìn)的理論學(xué)說、研究方法的非線性動(dòng)力學(xué)的高速發(fā)展并且不斷優(yōu)化齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析思路，將線性方法無法解決的分岔、跳躍、極限環(huán)、混沌等現(xiàn)象進(jìn)行科學(xué)合理的解釋和處理[3]。

2 齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)的研究現(xiàn)狀

至今，有關(guān)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)研究主要有以下3種方法：近似解析法、數(shù)值法和實(shí)驗(yàn)法，現(xiàn)將部分學(xué)者近期具有代表性的研究成果列舉如下。

2.1 解析法

傳統(tǒng)的齒輪動(dòng)力學(xué)模型存在時(shí)變嚙合剛度和間隙等因素，一般的攝動(dòng)法和平均法對(duì)這類系統(tǒng)進(jìn)行最優(yōu)求解束手無策。20世紀(jì)末，諧波平衡法和結(jié)合了分段技術(shù)的多尺度法的發(fā)展對(duì)分析這類響應(yīng)問題取得了一定進(jìn)展。

2.1.1 增量諧波平衡法（IHB）

IHB克服了系統(tǒng)精度受制于諧波項(xiàng)數(shù)量的弊端，對(duì)于傳統(tǒng)非線性系統(tǒng)可以便捷地求出任意階數(shù)的近似解。

楊紹普等[4]利用IHB，計(jì)算出了直齒輪副的非線性模型的統(tǒng)一形式解，同時(shí)研究了外激勵(lì)幅值和系統(tǒng)的分岔特性對(duì)幅頻曲線的影響。Andersson等人建立了關(guān)于斜齒輪動(dòng)力學(xué)的新模型，這一模型能更精確地研究斜齒輪所受動(dòng)載荷，模型分析與實(shí)驗(yàn)結(jié)果更加吻合。目前改進(jìn)的增量諧波平衡法也普遍被學(xué)者接受。

2.1.2 基于分段技術(shù)的解析法

把齒輪非線性系統(tǒng)依據(jù)不同區(qū)間的分塊，保證任意區(qū)間都形成時(shí)變線性系統(tǒng)進(jìn)而求解的方法稱為分段技術(shù)。

王雷構(gòu)建出一組動(dòng)力學(xué)微分方程組，可以解決在考慮時(shí)變剛度和慣量下非圓齒輪扭轉(zhuǎn)振動(dòng)問題，隨后提出了可以通過采用方程的解析解去逐段線性近似求解的方法來代替數(shù)值的解法。Natsiavas等人采用分段技術(shù)并根據(jù)初始條件利用多尺度法確定了由橫截條件得到穩(wěn)態(tài)振幅和相位的二階近似解。在對(duì)數(shù)值仿真的過程中發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)系統(tǒng)內(nèi)均出現(xiàn)間歇混沌、邊界激變和周期二、三倍化現(xiàn)象等眾多復(fù)雜行為。

2.2 數(shù)值法

歸為強(qiáng)非線性系統(tǒng)的齒輪系統(tǒng)具有時(shí)變剛度和間隙等不利因素難以分析，在研究這類問題時(shí)數(shù)值法是一個(gè)很好的工具。

陳會(huì)濤等人運(yùn)用Lagrange方程、齒輪動(dòng)力學(xué)理論和數(shù)值仿真的技術(shù)研究了載荷和齒輪副間動(dòng)態(tài)嚙合力和參數(shù)隨機(jī)變化時(shí)系統(tǒng)各響應(yīng)量的統(tǒng)計(jì)特征。Padmanabhan優(yōu)化了一種數(shù)值方法，稱作參數(shù)連續(xù)技術(shù)（Parametric Continuation Technique），利用這一技術(shù)以得到任意參數(shù)的諧波解?；贒uffing系統(tǒng)他采用該方法求解到了高階共振，通常方法不能對(duì)該情況研究，并進(jìn)一步對(duì)齒輪系統(tǒng)建立單自由度的動(dòng)力學(xué)這一更為復(fù)雜的模型。

2.3 實(shí)驗(yàn)法

實(shí)驗(yàn)法一般用于驗(yàn)證理論的研究是否正確、修正理論分析的模型，其目的是使齒輪系統(tǒng)動(dòng)態(tài)分析和設(shè)計(jì)的過程更為有效。

韓志武等人以工程仿生學(xué)為基礎(chǔ)進(jìn)行了有限元理論分析，采用激光雕刻技術(shù)加工齒面使之到仿生表面形態(tài)，并進(jìn)行了實(shí)際的臺(tái)架試驗(yàn)。Kahraman利用設(shè)計(jì)的齒輪實(shí)驗(yàn)臺(tái)觀察到了數(shù)種非線性現(xiàn)象，同時(shí)對(duì)變化的物理參數(shù)進(jìn)行研究，如運(yùn)動(dòng)的系統(tǒng)各異的接觸比和加載變化力矩所造成的影響，并借此試驗(yàn)臺(tái)觀察到了周期倍化時(shí)通向混沌現(xiàn)象的途徑。

3 齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)的研究展望

非線性動(dòng)力學(xué)不斷深入的研究，以下4個(gè)方面將成為齒輪動(dòng)力學(xué)研究的熱點(diǎn)問題：

（1）齒輪動(dòng)態(tài)性能的全面分析。利用實(shí)驗(yàn)分析技術(shù)和有限元分析法來優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)和建模，從而對(duì)系統(tǒng)本身的動(dòng)力性能進(jìn)行比較有效的評(píng)估。（2）齒輪系統(tǒng)振動(dòng)的控制研究。利用對(duì)振動(dòng)機(jī)理進(jìn)行比較深入的研究，努力的減弱運(yùn)行過程中的噪聲和振動(dòng)，能夠有效避免一些故障的出現(xiàn)，從而讓齒輪系統(tǒng)工作的壽命更長(zhǎng)。（3）齒輪系統(tǒng)故障診斷的問題。將其和非線性動(dòng)力學(xué)理論結(jié)合在一起，對(duì)已經(jīng)出現(xiàn)故障的齒輪系統(tǒng)進(jìn)行研究，能夠給故障判斷技術(shù)更好的發(fā)展提供一定的指導(dǎo)，這項(xiàng)技術(shù)在理論研究以及工程應(yīng)用上面都有著重要作用。（4）齒輪系統(tǒng)有關(guān)可靠性的問題?？山⑤S承系統(tǒng)、齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)，在可靠性計(jì)算模型的基礎(chǔ)上開展可靠性研究。確定復(fù)雜零件受力概率分布的函數(shù)、建立考慮系統(tǒng)重復(fù)載荷和強(qiáng)度退化的可靠性模型等都是可靠性分析待解決的問題。

參考文獻(xiàn)：

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[4]申永軍，楊紹普，潘存治等.參外聯(lián)合激勵(lì)下直齒輪副的非線性動(dòng)力學(xué)[J].北京交通大學(xué)學(xué)報(bào)，2005，29（01）：69-73.

資助項(xiàng)目：西安石油大學(xué)2016年大學(xué)生科研訓(xùn)練項(xiàng)目