區(qū)間直覺模糊集相似度構(gòu)造

邵麗鵬，潘小東

(西南交通大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院， 四川 成都 611756)

1986年，保加利亞學(xué)者Atanassov教授給出了直覺模糊集的概念[1]。隨后，Atanassov等推廣了直覺模糊集，提出了區(qū)間直覺模糊集[2]。區(qū)間直覺模糊集相似度有著廣泛的應(yīng)用，是學(xué)者們關(guān)注的熱點。徐澤水[3]基于海明距離、歐幾里得距離和基于Hausdorff度量的海明距離、歐幾里得距離，提出4個帶有權(quán)重的區(qū)間直覺模糊集相似度。周珍[4]利用平均值和Hausdorff測度將Hong定義的Vague集相似度擴展到區(qū)間值Vague集，提出區(qū)間Vague集相似度。楊偉萍等[5]對文獻[6]提出的直覺模糊集相似度進行改進，并將改進好的直覺模糊集相似度擴展到區(qū)間直覺模糊集。楚俊峰等[7]考慮了猶豫度對隸屬度和非隸屬度的影響，提出區(qū)間直覺模糊數(shù)(集)相似度。邱婷婷等[8]給出一種新的區(qū)間直覺模糊集相似度，該相似度考慮了對應(yīng)隸屬度之間的最大、最小值與非隸屬度的最大、最小值。Meng等[9]首先基于直覺模糊熵，提出區(qū)間直覺模糊熵，進而基于熵和相似度的關(guān)系，提出區(qū)間直覺模糊集相似度。 Liu等[10]提出了區(qū)間直覺模糊有序加權(quán)余弦相似度，并應(yīng)用在群體決策問題上。鄧冠男等[11]利用模糊集貼近度構(gòu)造區(qū)間值模糊集貼近度。劉鵬惠[12]利用模糊集貼近度構(gòu)造直覺模糊集相似度。目前為止，區(qū)間直覺模糊集相似度的研究已經(jīng)很多，但是沒有一種專門或者系統(tǒng)的利用直覺模糊集相似度構(gòu)造區(qū)間直覺模糊集相似度。雖有很多文獻將直覺模糊集相似度推廣到區(qū)間直覺模糊集，但是沒有固定的一套系統(tǒng)如文獻[3-4]。基于此，本文對區(qū)間直覺模糊集相似度的構(gòu)造進行系統(tǒng)的研究，并應(yīng)用到模式識別。

1 預(yù)備知識

1.1 直覺模糊集的相關(guān)知識

定義1[1]設(shè)X為一非空集合，X上的直覺模糊集A定義為

A={〈x,uA(x),vA(x)〉|x∈X}。

其中映射uA:X→[0,1]，vA:X→[0,1]分別為直覺模糊集A的隸屬函數(shù)和非隸屬函數(shù)，uA(x),vA(x)分別為X中元素x屬于直覺模糊集A的隸屬度和非隸屬度，且0≤uA(x)+vA(x)≤1,記πA(x)=1-uA(x)-vA(x)，稱πA(x)為猶豫度，很明顯0≤πA(x)≤1。

X上的全體直覺模糊集一般記為IFSs(X)。

直覺模糊集A的補集記作AC，AC={〈x,vA(x),uA(x)〉x∈X}。

X上的直覺模糊集A和B有如下運算：

1)A?B??x∈X,uA(x)≤uB(x),vA(x)≥vB(x)；

2)A=B??x∈X,uA(x)=uB(x),且vA(x)=vB(x)。

定義2[13]設(shè)A,B是有限論域X上2個直覺模糊集,S為一個映射:IFS×IFS→[0,1],如果S(A,B)滿足以下性質(zhì)：

(S1)0≤S(A,B)≤1；

(S2)S(A,B)=1當(dāng)且僅當(dāng)A=B；

(S3)S(A,B)=S(B,A)；

(S4)如果A?B?C，則S(A,C)≤S(A,B)，S(A,C)≤S(B,C)。

則稱S(A,B)是直覺模糊集A與B之間的相似度。

設(shè)A∈IFSs(X),B∈IFSs(X),下面是文獻中部分已知直覺模糊集相似度。

1)Boran等[13]提出的相似度。

2)文獻[14]提出的相似度。

1.2 區(qū)間直覺模糊集的相關(guān)知識

定義3[2]設(shè)X是一個非空集合，則稱

為區(qū)間直覺模糊集，其中

周珍[4]分別利用區(qū)間數(shù)的中點值、Hausdorff測度，得到的區(qū)間直覺模糊集相似度為：

2 區(qū)間直覺模糊集相似度的構(gòu)造

證明1)S是IFSs(X)上的直覺模糊集的相似度。

2)必要性。

充分性。

于是，由直覺模糊集的包含的定義知：

由文中提出的定理及文獻[13]、[14]給出的直覺模糊集相似度公式，給出區(qū)間直覺模糊集相似度公式：

1)由文獻[13]得

2)由文獻[14]得

3 區(qū)間直覺模糊相似度在模式識別中的應(yīng)用分析

模糊模式識別是模式識別的一種，其研究對象具有模糊性，研究內(nèi)容是在論域U中有已知模型A1,A2,…,An，未知模式B，根據(jù)擇近原則確定B與Ai(i=1,2,…，n)中哪一個更接近。其步驟如下：

1)利用區(qū)間直覺模糊相似度公式分別計算S(B,A1)，S(B,A2)，…,S(B,An)；

2)利用擇近原則，取J={i|maxS(B,Ai)，i=1，2，…，n}，則B屬于模式Ai。

例引用文獻[7]的例子，其數(shù)據(jù)如表1所示，根據(jù)本文提出的2個區(qū)間直覺模糊相似度公式及周珍[4]提出的2個區(qū)間直覺模糊相似度S1、S2和楚俊峰[7]提出的區(qū)間直覺模糊相似度SAB且假設(shè)各個元素的權(quán)重相同，得到表2。

表1 區(qū)間直覺模糊集

表1(續(xù))

表2 相似度的比較(其中p=1，t=2對于

注：表2中S1、S2、SAB的相似度的數(shù)據(jù)來自文獻[7]。

通過分析比較上述5種相似度公式，可以看出本文提出的2個區(qū)間直覺模糊集相似度公式有較好的識別效果。

4 結(jié)論

本文主要討論將區(qū)間直覺模糊集拆分成2個直覺模糊集，進而利用已知直覺模糊集相似度公式，提出區(qū)間直覺模糊集相似度，為區(qū)間直覺模糊集相似度的構(gòu)造提供了新的方法。在未來的研究中，將討論該相似度的性質(zhì)及更多的應(yīng)用。