對多條代數(shù)曲線光滑連接問題的探究

加入圖形計(jì)算器社團(tuán)后，我嘗試用繪制多個函數(shù)圖形的方法制作出一條魚的形狀.第一幅圖繪制完成后我非常開心，因?yàn)檫@是我第一次成功用圖形計(jì)算器做出東西，但是這條魚看起來總感覺有一點(diǎn)別扭.仔細(xì)觀察后發(fā)現(xiàn)，是因?yàn)槭褂昧硕喽味魏瘮?shù)的圖象，但是在連接處并不平滑，造成圖形看起來十分生硬.

問題：怎樣完美處理多條二次函數(shù)曲線端點(diǎn)處的平滑？

為了能讓圖形看起來更加流暢連貫，我想能否使用三次函數(shù)來減少函數(shù)的連接次數(shù)，使函數(shù)圖象看起來更加流暢呢？因此我開始著手研究三次函數(shù).

探索1：二次函數(shù)y =ax2+bx+c乘上（x+d）得到三次函數(shù)

把二次函數(shù)f（x） =ax2 +bx +c乘以（x+d）得到三次函數(shù)g（x）=（ax2+bx+c）（x+d）.我發(fā)現(xiàn)當(dāng)二次函數(shù)f（x）的△=0時，三次函數(shù)g（x）一定和二次函數(shù)f（x）相交在f（x）的頂點(diǎn)處（圖1）；當(dāng)二次函數(shù)f（x）的△>O時，三次函數(shù)g（x）和二次函數(shù)f（x）有三個交點(diǎn)，有一個是x+d =1時對應(yīng)的點(diǎn)，另外兩個點(diǎn)是二次函數(shù)f（x）和x軸的交點(diǎn)（圖2）；當(dāng)二次函數(shù)f（x）的△<0時，三次函數(shù)g（x）和二次函數(shù)f（x）僅有一個交點(diǎn)，即x+d =1時三次函數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)（圖3）.然而這些發(fā)現(xiàn)，并不能完全幫助我快速地通過圖象寫出對應(yīng)的三次函數(shù).我就繼續(xù)上網(wǎng)查找有關(guān)三次函數(shù)的各類資料，

探索2：利用圖形計(jì)算器定點(diǎn)求出三次函數(shù)表達(dá)式

通過網(wǎng)絡(luò)上關(guān)于三次函數(shù)的自學(xué)，發(fā)現(xiàn)三次函數(shù)是一片廣大的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，這在我未曾接觸前，是無法想象的.它帶給了我震撼和全新的感覺，我開始認(rèn)真地學(xué)起來，了解三次函數(shù)的圖象性質(zhì)、對稱中心、盛金公式、卡爾丹公式.在看盛金公式時，我看到第二步用導(dǎo)數(shù)化簡，我就琢磨導(dǎo)數(shù)又是什么.好奇心驅(qū)使下我又查了許多關(guān)于導(dǎo)數(shù)的資料，更是讓我進(jìn)入了另一片奇特的世界.經(jīng)過不斷的學(xué)習(xí)我終于對三次函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等知識有了一定的了解.

但是具體作圖時，在使用幾個點(diǎn)模擬曲線的過程中，還是遇到了不少的困難.比如俞超同學(xué)他要做蓮花需要在好幾個地方作圓，但是他用r=a作圓只能以原點(diǎn)為圓心，無法移動.這也讓我意識到魚的眼睛只能做在原點(diǎn)而不能移到其他地方去.共同的問題，可以共同解決，老師在得知這個情況后，為我們補(bǔ)講了圓的參數(shù)方程，我們才知道只要用圓的參數(shù)方程，就能把圓的圓心移到任何想要的地方去.說也奇怪，平時學(xué)新知識，總不會那么快接受和順利運(yùn)用，但這次在圖形計(jì)算器的幫助下，很快地，我們都能得心應(yīng)手地畫出需要的圖形了.我也把我遇到的問題拿去和同學(xué)交流.施同學(xué)認(rèn)真耐心地一步一步教我如何用圖形計(jì)算器的統(tǒng)計(jì)功能得出函數(shù).先在圖形中找到函數(shù)經(jīng)過的幾個點(diǎn)，然后記錄下來，用統(tǒng)計(jì)中的calc功能選擇想要模擬的函數(shù)（如圖5）.

學(xué)會這個以后，簡直如虎添翼，我以前十幾分鐘才能得到的函數(shù)，用圖形計(jì)算器的統(tǒng)計(jì)方法，只要幾分鐘就算出來了.在不斷努力下我成功用三次函數(shù)改進(jìn)了圖形，做出來的圖形看起來果然比一開始用二次函數(shù)做的流暢許多（如圖6）.

探索3：利用端點(diǎn)處兩側(cè)導(dǎo)數(shù)逼近相等處理曲線的光滑度問題

前面使用三次函數(shù)來減少函數(shù)的連接次數(shù)，使函數(shù)圖象看起來更加流暢，雖然起到了一定的效果，但是并未從根本上解決多個曲線連接時端點(diǎn)處的光滑度不夠的問題.老師了解后提示我用導(dǎo)數(shù)方法來處理，就是利用端點(diǎn)處兩側(cè)導(dǎo)數(shù)逼近相等，可以讓端點(diǎn)兩側(cè)曲線的斜率分別左右逼近相等，那么在圖形上的表現(xiàn)就是光滑的.

因?yàn)樵谥谱鲌D形時經(jīng)常使用二次函數(shù)，所以先從如何使二次函數(shù)連接處導(dǎo)數(shù)相等開始探究，

開始我以為這個問題很簡單，只要求導(dǎo)數(shù)，再讓導(dǎo)數(shù)相等就可以，但在實(shí)際操作中，發(fā)現(xiàn)要使想要的圖形導(dǎo)數(shù)相等很困難，因?yàn)楹芸赡艹霈F(xiàn)圖形是我想要的但其連接處導(dǎo)數(shù)不相等，連接處導(dǎo)數(shù)相等的圖形卻不是我想要的情況，一開始我的思路是先使得連接點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)相等，再以此來調(diào)整函數(shù)的圖形，可是用這個方法令導(dǎo)數(shù)相等不難，但要使圖形變成我想要的就只能硬湊，不斷調(diào)整，不僅麻煩，而且效率低，

為了尋找更簡單易行的方法，我思考能否先把想要的圖形大致求出，然后通過導(dǎo)數(shù)相等對圖形進(jìn)行微調(diào)，最后達(dá)到連接處導(dǎo)數(shù)相等的目的，

在具體的操作過程中，兩個函數(shù)明顯變量過多，不易于操作，我們首先可以用圖形計(jì)算器的統(tǒng)計(jì)功能得出函數(shù).先在圖形中找到函數(shù)經(jīng)過的幾個點(diǎn)，然后記錄下來，用統(tǒng)計(jì)中的calc功能選擇想要的函數(shù)，圖形計(jì)算器就可以快速地算出你想要的函數(shù)表達(dá)式，這樣就可以利用圖形計(jì)算器定點(diǎn)求出二次函數(shù)表達(dá)式功能，再利用（*）式，對已知的函數(shù)進(jìn)行微調(diào)，從而使端點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)值相等.

收獲：圖形計(jì)算器讓我愿意主動挑戰(zhàn)未知

對圖形計(jì)算器的研究，激發(fā)了我對數(shù)學(xué)的興趣，漸漸讓我對它愛不釋手了，我從以前的被動學(xué)習(xí)變?yōu)楝F(xiàn)在的主動學(xué)習(xí)，也很愿意向未知的領(lǐng)域探索.這讓我想起了我一個初中的同學(xué)，他非常喜歡數(shù)學(xué).初三時，大家都在緊張復(fù)習(xí)，他則在找高中的數(shù)學(xué)書和各種關(guān)于數(shù)學(xué)的課外書看，每天都會向其他同學(xué)講述他昨天學(xué)到的數(shù)學(xué)知識，當(dāng)時我覺得他傻傻的，但現(xiàn)在我明白了他是為了喜歡而學(xué)習(xí)，而我是為了學(xué)習(xí)而學(xué)習(xí).在圖形計(jì)算器社里我對此深有體會，當(dāng)自己喜歡和好奇時，就會不由自主地去學(xué)習(xí).

點(diǎn)評 張賓心同學(xué)寫這篇論文時，尚未接觸導(dǎo)數(shù)這一內(nèi)容.端點(diǎn)處光滑問題的處理，涉及微分的知識，是有較大難度的.但是，使用圖形計(jì)算器研究圖形讓他對學(xué)習(xí)產(chǎn)生了巨大的興趣，為了能夠找到方法解決問題，他從學(xué)過的知識入手，對問題進(jìn)行初步探究，并通過搜索網(wǎng)絡(luò)知識和詢問老師，自學(xué)三次函數(shù)和導(dǎo)數(shù)的知識，較好地解決了這一問題.問題，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的靈魂；興趣，是支撐我們前行的動力，讓我們時刻懷抱一顆好奇心，去探知我們未知的世界.