“萬有引力與航天”中常見問題及討論

戴靜華

3.極地衛(wèi)星和近地衛(wèi)星

（1）極地衛(wèi)星運(yùn)行時(shí)每圈都經(jīng)過南北兩極，由于地球白轉(zhuǎn)，極地衛(wèi)星可以實(shí)現(xiàn)全球覆蓋.

（2）近地衛(wèi)星是在地球表面附近環(huán)繞地球做勻速網(wǎng)周運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星，其運(yùn)行的軌道半徑可近似認(rèn)為等于地球的半徑，其運(yùn)行線速度約為7.9 km/s.

（3）兩種衛(wèi)星的軌道平面一定通過地球的球心.

例2 質(zhì)量為m的探月航天器在接近月球表面的軌道上飛行，其運(yùn)動(dòng)視為勻速圓周運(yùn)動(dòng).已知月球質(zhì)量為M，月球半徑為R，月球表面重力加速度為g，引力常量為G，不考慮月球自轉(zhuǎn)的影響，則航天器的（）

例4 北京航天飛行控制中心對“嫦娥二號”衛(wèi)星實(shí)施多次變軌控制并獲得成功，首次變軌是在衛(wèi)星運(yùn)行到遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)實(shí)施的，緊隨其后進(jìn)行的3次變軌均在近地點(diǎn)實(shí)施.“嫦娥二號”衛(wèi)星的首次變軌之所以選擇在遠(yuǎn)地點(diǎn)實(shí)施，是為了抬高衛(wèi)星近地點(diǎn)的軌道高度.同樣的道理，要抬高遠(yuǎn)地點(diǎn)的高度就需要在近地點(diǎn)實(shí)施變軌.如圖2為“嫦娥二號”某次在近地點(diǎn)A由軌道1變軌為軌道2的示意圖，下列說法中正確的是

（）

A.“嫦娥二號”在軌道l的A點(diǎn)處應(yīng)點(diǎn)火加速

B.“嫦娥二號”在軌道1的A點(diǎn)處的速度比在軌道2的A點(diǎn)處的速度大

C.“嫦娥二號”在軌道1的A點(diǎn)處的加速度比在軌道2的A點(diǎn)處的加速度大

D.“嫦娥二號”在軌道1的B點(diǎn)處的機(jī)械能比在軌道2的C點(diǎn)處的機(jī)械能大

例5 2012年6月16日，“神舟九號”宇宙飛船搭載3名航天員飛天，并于6月18日14： 00與“天宮一號”成功對接.在發(fā)射時(shí)，“神舟九號”宇宙飛船首先要發(fā)射到離地面很近的圓軌道，然后經(jīng)過多次變軌后，最終與在距地面高度為h的圓形軌道上繞地球飛行的“天宮一號”完成對接，之后，整體保持在距地面高度仍為h的圓形軌道上繞地球繼續(xù)運(yùn)行.已知地球半徑為R，地面附近的重力加速度為g.求：

（1）地球的第一宇宙速度；

（2）“神舟九號”宇宙飛船在近地圓軌道運(yùn)行的速度與對接后整體的運(yùn)行速度之比.

五、雙星系統(tǒng)模型問題

1.雙星系統(tǒng)模型的特點(diǎn)：

（1）兩星都繞它們連線上的一點(diǎn)做勻速網(wǎng)周運(yùn)動(dòng)，故兩星的角速度、周期相等.

（2）兩星之間的萬有引力提供各自做勻速網(wǎng)周運(yùn)動(dòng)的向心力，所以它們的向心力大小相等；

（3）兩星的軌道半徑之和等于兩星間的距離，即rl+ r2=L

2.雙星系統(tǒng)模型的三大規(guī)律：

（1）雙星系統(tǒng)的周期、角速度相同.

（2）軌道半徑之比與質(zhì)量成反比.

（3）雙星系統(tǒng)的周期的平方與雙星間距離的三次方之比只與雙星的總質(zhì)量有關(guān)，而與雙星個(gè)體的質(zhì)量無關(guān).

例6 如圖3所示，質(zhì)量分別為m和M的兩個(gè)星球A和B在引力作用下都繞O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，星球A和B兩者中心之間的距離為L.已知A、B的中心和O三點(diǎn)始終共線，A和B分別在（）的兩側(cè).引力常量為G.

（1）求兩星球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期；

（2）在地月系統(tǒng)中，若忽略其他星球的影響，可以將月球和地球看成上述星球A和B，月球繞其軌道中心運(yùn)行的周期記為T1，但在近似處理問題時(shí)，常常認(rèn)為月球是繞地心做圓周運(yùn)動(dòng)的，這樣算得的運(yùn)行周期記為T2.已知地球和月球的質(zhì)量分別為5. 98×10²⁴ kg和7.35×l0²² kg.求T2與T1兩者平方之比.（結(jié)果保留3位小數(shù)）

解析 （1）設(shè)兩個(gè)星球A和B做勻速網(wǎng)周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑分別為r和R，相互作用的萬有引力大小為F，運(yùn)行周期為T.根據(jù)萬有引力定律有：