小船渡河問題賞析

劉小蘭

一、合運(yùn)動與分運(yùn)動的區(qū)分

1.合運(yùn)動：實際表現(xiàn)出來的運(yùn)動為合運(yùn)動，即直接看到的運(yùn)動.

2.分運(yùn)動：不能直接看到，它是合運(yùn)動的兩個不同的效果.

小船在流水中渡河時，同時參與兩個運(yùn)動：自身的劃行運(yùn)動和隨水的漂流運(yùn)動，其對應(yīng)速度分別為：（1）小船劃行速度，也稱船在靜水中速度，或稱小船相對水的速度，其方向為船頭指向；（2）小船漂流速度，其大小和方向都與水流速度相同，小船的實際運(yùn)動是以上兩運(yùn)動的合運(yùn)動.

二、處理方法

求解小船渡河類問題，常用方法是把小船的運(yùn)動進(jìn)行分解，再利用運(yùn)動合成與分解規(guī)律解題.小船運(yùn)動的分解方法有兩種：（1）把船的運(yùn)動分解為船劃行方向的運(yùn)動和水流方向的運(yùn)動，若圖1所示.（2）把船的運(yùn)動進(jìn)行正交分解，也就是把船的運(yùn)動分解為垂直河岸的運(yùn)動和沿河岸方向的運(yùn)動.

例1 一小船從碼頭A航行到碼頭B，設(shè)小船在靜水中從A到達(dá)B的時間為t.，如果水是流動的，水流方向如圖2所示，且小船相對水的速度不變，小船仍沿原路線從碼頭A到達(dá)碼頭B的時間為t2，則下列關(guān)于兩者關(guān)系中正確的是

（）

A.t1> t2

B.tl

C.t1= t2

D.無法確定

解析 小船在流水中渡河時，若要沿原路線到達(dá)碼頭B，則小船劃行方向應(yīng)發(fā)生改變，本題中，根據(jù)水流方向可以判斷小船應(yīng)朝上游劃，如圖2所示，由于小船的劃行速度大小不變，劃行方向與河岸的夾角變小，劃行方向的分位移變大，故渡河時間應(yīng)變長，答案選B.但須注意，本題中渡河時間盡管變化，并不是說明渡河時間與水速有關(guān)，原因是船的劃行方向改變引起的，如果船的劃行速度（即速度大小、方向）不變化，不論水速如何變，都不會改變渡河時間.

【點評】本題是劃行方向的改變導(dǎo)致渡河時間的變化，可巧妙地把船的運(yùn)動分解為船劃行方向的運(yùn)動和水流方向的運(yùn)動，方可快速解題.

三、渡河時間最短

根據(jù)合運(yùn)動和分運(yùn)動的同時性可知：小船在流水中渡河時間（t合）應(yīng)等于小船在靜水中渡河時間（t 分），故小船在流水中渡河時間取決于河寬及船劃行速度大小與方向，而與水流速度無關(guān).

設(shè)河寬為d，小船在靜水中的速度為 v船，水流速度為 v水，如圖3所示.將船對水的速度沿平行河岸方向和垂直于河岸方向正交分解.沿平行河岸方向的速度不影響渡河的快慢，小船渡過河的時間與垂直于河岸方向的速度有關(guān)，當(dāng)小船垂直河岸渡河時時間最短，

即最短時間為t_min=d/v船.

例2 河寬60 m，小船在靜水中的速度恒為3 m/s，水流速度與船離河岸距離的變化關(guān)系如圖4所示.求：

（1）小船渡河的最短時間是多少？

（2）小船在河中航行的最大速度是多少？

解析 （1）當(dāng)船頭垂直于河岸航行時渡河用時最短，有

【點評】渡河時間與船相對靜水的速度及河寬有關(guān)，而與水流速度無關(guān)，水流速度只是對合運(yùn)動或船到達(dá)對岸的位置有影響.

四、渡河位移最小

分兩種情況進(jìn)行討論：

（1）當(dāng)v船>v水 時，在小船渡河過程中，將船對水的速度沿平行河岸方向和垂直河岸方向正交分解，如圖5所示.當(dāng)小船沿平行河岸方向的分速度與水速大小相等，方向相反時，即v1= v水，小船的合速度v2 就沿垂直河岸方向，這時渡河到達(dá)對岸的位移最小，s_min=d.而渡河時間

（2）當(dāng) v船

如圖6所示，設(shè)船頭v船 與河岸成θ角.合速度v合 與河岸成α角.可以看出α角越大，船漂下的距離x越短.那么，在什么條件下α角最大呢？以船的出發(fā)點A為起點沿河岸做v水 的速度矢量，以v水 的矢端O為圓心，v船 為半徑畫圓，當(dāng)v合 與網(wǎng)相切（切點為C）時，α角最大.

設(shè)船頭方向（與OC平行）與河岸的夾角為θ，則速度為4m/s，水流速度為2m/s.求：

（1）小船是否可以垂直到達(dá)正對岸？若可以，船頭應(yīng)沿什么方向？

（2）若水流速度為4 m/s，小船在靜水中的速度為2 m/s，則其能過河的最短航程是多少？

解析 （1）由于v船 >v水，故小船可垂直河岸方向渡河，此時小船渡河位移最小.

五、渡河速度最小

如圖7所示，航向指定地點航行，則合速度v的方向已經(jīng)確定.設(shè)v與河岸下游成α角，水速v水 的大小和方向是確定的，則當(dāng) v船的方向與v的方向垂直時v 船 的值最小.這時v船 與河岸上游夾角為θ=arccos v船/v水，小船渡

河的最小速度為 v船=v水sin α.

【點評】在“出發(fā)點、目的地”均確定的情況下，可用矢量三角形法確定最小航速.

其實處理小船渡河問題的方法還有很多，若同學(xué)們能牢牢抓住渡河過程中小船參與的兩種運(yùn)動的特點及其關(guān)系，就可以正確、簡單、迅速地進(jìn)行求解.