速度關(guān)聯(lián)類問題求解

孫爾林

在高中運(yùn)動(dòng)的合成與分解學(xué)習(xí)中，學(xué)生常對(duì)該如何分解速度搞不清楚或很難理解，其主要原因是無法弄清楚哪一個(gè)是合速度、哪一個(gè)是分速度.這里有一個(gè)簡(jiǎn)單的方法：物體的實(shí)際運(yùn)動(dòng)方向就是合速度的方向，然后分析這個(gè)合速度所產(chǎn)生的實(shí)際效果，以確定兩個(gè)分速度的方向.

一、繩、桿連接的物體

繩、桿等連接的物體，在運(yùn)動(dòng)過程中，其兩端物體的速度通常是不一樣的，但兩端物體的速度是有聯(lián)系的，稱為“關(guān)聯(lián)”速度.關(guān)聯(lián)速度的關(guān)系——物體沿桿（或繩）方向的速度分量大小相等，因此，求這類問題時(shí)，首先要明確繩連物體的速度為合速度，然后將兩物體的速度分別分解成沿繩方向和與繩垂直方向，令兩物體沿繩方向的速度相等即可求出.

例1 如圖1所示，在一光滑水平面上放一個(gè)物體，人通過細(xì)繩跨過高處的定滑輪拉物體，使物體在水平面上運(yùn)動(dòng)，人以大小不變的速度v運(yùn)動(dòng).當(dāng)繩子與水平方向成θ角時(shí)，物體前進(jìn)的瞬時(shí)速度是多大？

解析 繩子牽引物體的運(yùn)動(dòng)中，物體實(shí)際在水平面上運(yùn)動(dòng)，這個(gè)運(yùn)動(dòng)就是合運(yùn)動(dòng)，所以物體在水平面上運(yùn)動(dòng)的速度”物是合速度，將v物 按如圖2所示進(jìn)行分解.其中：v= v物 cosθ，使繩子收縮，vI=v物 sinθ使繩子繞定滑輪上的A點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，所以

v物=v/cosθ.

例2 如圖3所示，物體A置于水平面上，A前固定一滑輪B，高臺(tái)上有一定滑輪D，一根輕繩一端固定在C點(diǎn)，再繞過B、D.BC段水平，當(dāng)以速度v0 拉繩子自由端時(shí)，A沿水平面前進(jìn)，求：當(dāng)跨過B的兩段繩子夾角為α?xí)rA的運(yùn)動(dòng)速度v

解析 應(yīng)用合運(yùn)動(dòng)與分運(yùn)動(dòng)的關(guān)系，物體動(dòng)水平的繩也動(dòng)，在滑輪下側(cè)的水平繩縮短速度和物體速度相同，設(shè)為 v物.根據(jù)合運(yùn)動(dòng)的概念，繩子牽引物體的運(yùn)動(dòng)中，物體實(shí)際在水平面上運(yùn)動(dòng)，這個(gè)運(yùn)動(dòng)就是合運(yùn)動(dòng).也就是說“物體”的運(yùn)動(dòng)方向（更直接點(diǎn)是滑輪的運(yùn)動(dòng)方向）是合速度方向，與物體連接的BD繩上的速度只是一個(gè)分速度，所以上側(cè)繩縮短的速度是v物 cosα

因此繩子上總的速度為

v物十v物 cosα=v0

得到v物=v0/1+cosα

例3 一根長(zhǎng)為L(zhǎng)的桿OA，O端用鉸鏈固定，另一端固定著一個(gè)小球A，靠在一個(gè)質(zhì)量為M，高為h的物塊上，如圖4所示，物塊以速度v向右運(yùn)動(dòng)，試求當(dāng)桿與水平方向夾角為θ時(shí)，求小球4的線速度v_A.

解析 選取物與棒接觸點(diǎn)B為連結(jié)點(diǎn)，B點(diǎn)的實(shí)際速度（合速度）也就是物塊速度v；B點(diǎn)又在棒上，參與沿棒向A點(diǎn)滑動(dòng)的速度v1和繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的線速度v2，因此，將這個(gè)合速度沿棒及垂直于棒的兩個(gè)方向分解.

二、相互接觸的物體

求相互接觸物體的速度關(guān)聯(lián)問題時(shí)，首先要明確兩接觸物體的速度，分析彈力的方向，然后將兩物體的速度分別沿彈力的方向和垂直于彈力的方向進(jìn)行分解，令兩物體沿彈力方向的速度相等即可求出.

例4 一個(gè)半徑為R的半圓柱沿水平方向向右以速度v0勻速運(yùn)動(dòng).在半圓柱上放置一根豎直桿，此桿只能沿豎直方向運(yùn)動(dòng)，如圖6所示.當(dāng)桿與半圓柱體接觸點(diǎn)P與柱心的連線與豎直方向的夾角為θ時(shí)，求豎直桿運(yùn)動(dòng)的速度.

解析 設(shè)豎直桿運(yùn)動(dòng)的速度為v1方向豎直向上，由于彈力沿OP方向，所以有v0、vl在OP方向的投影相等，即有

v0 sin θ=v1 cosθ

解得v1= v0 tan θ

運(yùn)動(dòng)物體間速度關(guān)聯(lián)關(guān)系，往往是有些高考命題的切人點(diǎn).而尋找這種關(guān)系則是普遍感覺的難點(diǎn)速度關(guān)聯(lián)問題，關(guān)鍵是找到關(guān)聯(lián)點(diǎn)，即雙方所服從的共同的制約條件，即等量關(guān)系.找關(guān)聯(lián)點(diǎn)應(yīng)當(dāng)從兩個(gè)研究對(duì)象的共同之處著眼.速度的分解的理論是解該類題常用到的.切記，可以分解的一定是實(shí)際速度，即實(shí)際速度是合速度.