具時(shí)滯的微分新古典增長模型正周期解的存在性

張孟孟 趙前進(jìn)

（安徽理工大學(xué)數(shù)學(xué)與大數(shù)據(jù)學(xué)院 安徽淮南 232001）

近年來，隨著市場經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，對市場經(jīng)濟(jì)模型的研究已經(jīng)成為數(shù)學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)中廣泛討論的課題，其中對經(jīng)濟(jì)增長模型的定性和穩(wěn)定性分析引起諸多經(jīng)濟(jì)學(xué)家和數(shù)學(xué)家的廣泛關(guān)注和研究。例如，在文獻(xiàn)[1,2]中，Day最初研究了一類新古典增長模型、生產(chǎn)力和人口增長模型，研究表明即使在簡單的經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)下，也會(huì)有復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為出現(xiàn)。此后，關(guān)于復(fù)雜經(jīng)濟(jì)動(dòng)力學(xué)的研究得到了越來越多的重視，參見[3-5]及相關(guān)參考文獻(xiàn)。

正如Matsumoto與Szidarovszky在文獻(xiàn)[6]中所述，為了更好地描述經(jīng)濟(jì)的長時(shí)間行為，根據(jù)經(jīng)濟(jì)學(xué)原理，建立新經(jīng)濟(jì)古典增長模型，主要基于如下兩個(gè)假設(shè)：一是勞動(dòng)力和資本的充分利用，二是輸出市場的及時(shí)調(diào)整。由于生產(chǎn)函數(shù)的合理選擇，模型的穩(wěn)態(tài)解通常是漸近穩(wěn)定的。然而，在現(xiàn)實(shí)世界中，經(jīng)濟(jì)學(xué)家觀察到經(jīng)濟(jì)增長路徑往往表現(xiàn)出持久震蕩性。因此，當(dāng)非線性項(xiàng)和生產(chǎn)時(shí)滯都存在的情況下，為更好地描述這種持久行為是如何出現(xiàn)的，新古典增長模型將成為一個(gè)很好的研究出發(fā)點(diǎn)?；谶@一事實(shí)，Matsumoto與Szidarovszky在文獻(xiàn)[9]中提出了如下具有丘型生產(chǎn)函數(shù)的增長模型:

其中x是每個(gè)勞動(dòng)力的資本，s∈（0，1）是平均儲(chǔ)蓄傾向，對于α=k+sμ，μ是資本的折舊率，k是勞工的增長率；丘型函數(shù)（a，b和 A是正系數(shù)）是Cobb-Douglas式的，其中反映了由人均輸出造成的污染影響?？紤]到在經(jīng)濟(jì)市場實(shí)現(xiàn)的過程中，時(shí)間上造成的延遲是不可避免的，同時(shí)還會(huì)受到自然環(huán)境和人為因素的影響，他們在文獻(xiàn)[6]中進(jìn)一步提出了如下形式的經(jīng)濟(jì)模型：

τ是運(yùn)轉(zhuǎn)過程中產(chǎn)生的時(shí)滯，n可以被看作是測量生產(chǎn)函數(shù)規(guī)模的一個(gè)指標(biāo)，δ反映了資本日益集中導(dǎo)致的“負(fù)面效應(yīng)”的強(qiáng)度，并由自然環(huán)境或能源資源的破壞性程度決定。顯然模型(1)是具有常時(shí)滯的一種具有非單調(diào)雙穩(wěn)態(tài)非線性的時(shí)滯微分方程，其具有兩個(gè)正平衡的吸引域和唯一不穩(wěn)定正平衡的收斂性，在黃創(chuàng)霞和鄭作環(huán)教授等的文獻(xiàn)[7,8]中得到了驗(yàn)證。最近，當(dāng)0＜n＜1時(shí)，利用壓縮映射原理和Lyapunov方法，段煉和黃創(chuàng)霞研究了如下非自治具有多時(shí)滯的微分新古典增長模型的概周期解的存在性和全局吸引性:

我們知道，當(dāng)n=1時(shí)，模型（2）是著名的果蠅模型，諸多學(xué)者圍繞該模型展開了深入的研究，在其周期動(dòng)力學(xué)方面已經(jīng)取得了很好的成果，例如文獻(xiàn)[10-13]。然而，在n＞1的情況下，鮮有對模型（2）正周期解存在性的研究。

基于以上討論，我們利用微分不等式技巧和錐不動(dòng)點(diǎn)定理，研究模型（2）在n＞1的情況下其正周期解的存在性。為了方便，我們首先給出如下假設(shè)：和都是T周期函數(shù)，其中i=1,2…，m，并記。

一、預(yù)備知識

在這一部分，我們給出在本文中運(yùn)用到的記號、定義和引理。對于一個(gè)連續(xù)的正T周期函數(shù)f（t），定義為為

我們?nèi)〕跏紬l件

這里 τ*=max τi+容易證明初值問題（2）和（3）在 t∈[0,∞]上有一個(gè)非負(fù)解 x（t）且對于 t≥τ* 有 x（t）＞0。

定義1 令X是一個(gè)Banach空間，P是X的一個(gè)非空閉集。若有

（1）對任意的 x，y∈P，a，b≥0 都有 ax+by∈P，

（2）當(dāng)x,-x∈P時(shí)，x=0成立，則稱P是X的一個(gè)錐。

引理1（Krasnosekill錐不動(dòng)點(diǎn)定理[14]）設(shè)X是一個(gè)Banach空間，P?X是X中的一個(gè)錐。Ω1和Ω2是X中的開閉集且令

（1） 對 x∈P∩?Ω1，有 ||AX||≥||x||；對 x∈P∩?Ω2，有||AX||≤||x||；或者

（2） 對 x∈P∩?Ω1，有 ||AX||≤||x||；對 x∈P∩?Ω2，有||AX||≥||x||成立，則 A在 P∩上必有不動(dòng)點(diǎn)。

二、主要結(jié)果

則x在賦予范數(shù)||·||下為Banach空間。若x(t)∈X是方程（2）的一個(gè)正周期解，則有

對（4）式兩邊在[t,t+T]上積分可得

顯然P是X的一個(gè)錐。定義算子A:X→X，則

對于 X∈P,t∈[O,T]，有

因此，AP?P。

引理2 假設(shè)（H）成立，則A：P→P是全連續(xù)的。

證明 顯然，A在[1，∞]是連續(xù)的且對任意地X∈P,t∈R+有

因此，{Ax：x∈P}是一類一致有界且等度連續(xù)的函數(shù)。由Ascoli-Arzela定理可知A:P→P，具有緊性，繼而，A:P→P是全連續(xù)的。引理2得證。

引理3 假設(shè)（H）成立，令

則對于任意的x∈P，存在正常數(shù)A，B使得下列不等式成立

證明 由（7）知，對于任意的 x∈P，t∈R+有

由（8）成立，則可以找到一個(gè)適當(dāng)?shù)摩茫?使得下列不等式成立

對于任意的 x∈P，t∈R+，有

比較（5）和（6）兩式可知，對于任意的 x∈P，t∈R+，我們有

這就意味著

根據(jù)（7）同理可得，x（t）≤B，這就意味著 x+≤B。

三、應(yīng)用舉例

考慮如下具時(shí)滯的微分新古典增長模型

注記 本文中，我們考慮了時(shí)所考慮模型周期解的存在性。由于時(shí)，周期解可作特殊概周期解來研究，文獻(xiàn)[5]已建立了很好的充分條件并驗(yàn)證了概周期解的存在性。我們知道，當(dāng)時(shí)，模型(2)是著名的Nicholson果蠅模型，學(xué)者圍繞該模型展開了深入的研究，在其周期解存在性的充分條件上已經(jīng)取得了很多成果。據(jù)作者所知，對一類具時(shí)滯的微分新古典增長模型關(guān)于的周期解存在性的研究還很少見，因此本文的結(jié)論推廣并補(bǔ)充了已有文獻(xiàn)的結(jié)果。本文我們只研究了模型(2)周期解存在性的充分條件，對其感興趣的學(xué)者還可繼續(xù)研究其穩(wěn)定性和全局吸引性的相關(guān)結(jié)論。

四、結(jié)語

本文利用微分不等式技巧和錐不動(dòng)點(diǎn)理論驗(yàn)證了一類具時(shí)滯的微分新古典增長模型正周期解的存在性，判據(jù)新穎改進(jìn)并推廣了已有文獻(xiàn)的相關(guān)結(jié)論，同時(shí)為經(jīng)濟(jì)學(xué)工作者提供了強(qiáng)有力地理論依據(jù)。