單邊Lipschitz時滯系統(tǒng)的H∞函數(shù)觀測器設計*

周誠來， 蔡秀珊

(浙江師范大學 數(shù)理與信息工程學院,浙江 金華 321004)

0 引 言

實際生活和工程應用中,時滯現(xiàn)象常引起系統(tǒng)的不良反應甚至破壞系統(tǒng)的穩(wěn)定性,因此希望對時滯系統(tǒng)設計一個控制器，使之穩(wěn)定[1-3].另一方面,系統(tǒng)的狀態(tài)估計也是控制研究的一大主題.外部未知干擾的存在不僅影響系統(tǒng)本身的狀態(tài)變化,更影響了狀態(tài)觀測的準確性.Kalman濾波法[4]與H∞濾波法[5]是常用的兩類觀測器設計方法.值得注意的是,若用H2范數(shù)作為系統(tǒng)的性能指標,特別是存在不確定項或者外部干擾的系統(tǒng),將不能保證其魯棒性.因此,本文考慮設計一類H∞觀測器.

對于非線性系統(tǒng),漸進觀測器可以精確地估計系統(tǒng)的狀態(tài)[6-14].現(xiàn)有觀測器設計大多針對于滿足Lipschitz條件的一類非線性系統(tǒng),設計方法存在保守性,因而,2006年文獻[15]提出了單邊Lipschitz概念.此后對單邊Lipschitz及準單邊Lipschitz系統(tǒng)的觀測器設計得到了一些研究成果[16-20].

然而,對于非線性時滯系統(tǒng)滿足單邊Lipschitz條件的H∞函數(shù)觀測器設計還未見報道.因此,本文考慮設計一類可有效抑制外部干擾的非線性時滯系統(tǒng)的H∞函數(shù)觀測器.同時,還希望所設計的觀測器具有靈活性：既可以是全維的，也可以是降維的.對于降維的觀測器,則期望尋求一種簡單的設計,且能通過統(tǒng)一的觀測器設計算法得到.研究成果將與一類Lipschitz非線性觀測器[21]作比較.

1 系統(tǒng)描述

考慮如下非線性時滯系統(tǒng):

(1)

式(1)中:x∈Rn,u∈Rm,y∈Rp分別為系統(tǒng)的狀態(tài)、輸入和輸出;xτ(t)是x(t)的滯后時間為τ的滯后狀態(tài);ω(t)∈Rs為外部噪聲或干擾;A∈Rn×n,B∈Rn×n,C∈Rp×n,D1∈Rn×s,D2∈Rp×s為已知實矩陣;函數(shù)Φ(x,u):Rn×Rm→Rn是分別關(guān)于變量x,u連續(xù)的非線性函數(shù).本文假定(A,C)可觀測,且C為行滿秩矩陣,初始條件ψ(t)在區(qū)間[-τ,0]上連續(xù),并要求非線性函數(shù)Φ(x,u)滿足以下2個條件：

定義1(單邊Lipschitz條件[15]) 設O為包含原點的區(qū)域,若存在ρ∈R,使得對?x1,x2∈O,有

〈Φ(x1,u)-Φ(x2,u),x1-x2〉≤ρ‖x1-x2‖2,

(2)

則稱非線性函數(shù)Φ(x,u)滿足單邊Lipschitz條件.其中,稱標量ρ為單邊Lipschitz常數(shù),可取正值、負值或0.

(Φ(x1,u*)-Φ(x2,u*))T(Φ(x1,u*)-Φ(x2,u*))≤

β‖x1-x2‖2+γ〈Φ(x1,u*)-Φ(x2,u*),x1-x2〉,

(3)

則稱非線性函數(shù)Φ(x,u)滿足二次內(nèi)部有界條件.其中,稱標量β,γ為二次內(nèi)部有界常數(shù).

2 H∞函數(shù)觀測器設計

2.1 觀測器形式

針對系統(tǒng)(1),考慮如下形式的觀測器:

(4)

由系統(tǒng)狀態(tài)x(t)和觀測器狀態(tài)ξ(t)得到觀測誤差為

ε(t)=ξ(t)-Tx(t).

(5)

對式(5)兩邊關(guān)于t求導,得到ε(t)的動態(tài)方程

(HT-TB)xτ(t)+TΔΦ+Dω(t).

(6)

式(6)中:

(7)

D=MD2-TD1.

(8)

且得到估計狀態(tài)為

(9)

若待定矩陣滿足下列3個等式：

NT+MC=TA,

(10)

HT=TB,

(11)

GT+FC=FL,

(12)

即

(13)

則由式(6)和式(9)得

(14)

式(14)中,e(t)為觀測狀態(tài)與系統(tǒng)實際狀態(tài)之間的觀測誤差.

2.2 待定矩陣可解性

對于方程(13)解的存在性問題,可利用矩陣方程理論和矩陣廣義逆[22]的相關(guān)性質(zhì)定理.對于負定(半負定)矩陣Y,記作Y<0(Y≤0).

(15)

式(15)中:TG∈Rn×r;CG∈Rn×p.于是

(16)

秩條件1

(17)

若方程(13)滿足秩條件1且Δ2為列滿秩矩陣,則方程(13)存在可行解.并且

(18)

式(18)中,Y1,Y2,Y3為任意r×(r+p)維實矩陣.

(19)

最后得到觀測器中各待定矩陣的表達式：

(20)

3 主要結(jié)果

這一節(jié),基于線性矩陣不等式(linear matrix inequality,LMI)理論,主要解決系統(tǒng)(1)的H∞觀測器設計問題,即觀測誤差應滿足以下2個性質(zhì)：

性質(zhì)1在ω(t)=0時,觀測誤差e(t)=Gε(t)能漸近收斂于平衡點.由表達式易知,當誤差系統(tǒng)狀態(tài)ε(t)漸近收斂于平衡點時,e(t)也漸近收斂于平衡點.

性質(zhì)2在ω(t)≠0時,?ω(t)∈L2[0,∞),在假設誤差動態(tài)系統(tǒng)的初始狀態(tài)為0的情況下,ε(t)=0,?t∈[-τ,0],且對于任意給定的μ>0滿足H∞性能指標

‖e(t)‖2<μ‖ω(t)‖2.

以下是本文的主要結(jié)果:

定理1若非線性函數(shù)Φ(x,u)滿足式(2)和式(3),并且存在標量τ1,τ2>0,2個正定矩陣P,Q和適當維數(shù)的矩陣N,M,H,G和F,使得式(13)有解且滿足

(21)

證明 取Lyapunov-Krasovskii泛函

(22)

令ζ=(ε(t),ετ(t),ΔΦ,ω(t))T,則V沿著誤差動態(tài)系統(tǒng)(14)軌線的導數(shù)為

ε(t)TQε(t)-ετ(t)TQετ(t)=

(23)

由非線性函數(shù)滿足單邊Lipschitz條件(2)得

則?τ1>0,有

(24)

同理,因非線性函數(shù)滿足二次內(nèi)部有界條件(3),故?τ2>0,有

(25)

令

(26)

將式(26)的右端與式(24)和式(25)的左端相加,利用條件(21)得J≤0,即

(27)

對于式(27),當干擾ω(t)=0時,根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性定理知誤差系統(tǒng)漸近穩(wěn)定.因此,性質(zhì)1成立.當干擾ω(t)≠0時,對式(27)兩邊積分后得

(28)

由于H∞性能指標條件下要求誤差動態(tài)系統(tǒng)為零初始狀態(tài),即ε(t)=0,?t∈[-τ,0],故V(0)=0,于是

‖e(t)‖2<μ‖ω(t)‖2.

從而性質(zhì)2成立.定理1證畢.

定理1中的矩陣不等式(21)并不是一個LMI,目前不能在MATLAB LMI toolbox中求解.這是因為矩陣的(1,1)位置中含有2個矩陣變量的乘積項NTP和PN.下面分析如何將矩陣不等式(21)轉(zhuǎn)化為線性矩陣不等式.

令X=PY1,則

(29)

為線性的.

于是得到如下基于定理1的LMI：

(30)

式(30)中,Σ11如式(29)所示.

經(jīng)過前面的理論分析,證明了本文所設計的觀測器的存在性.下面的算法將具體給出本文所設計的觀測器的計算步驟.

算法1

步驟1：給定行滿秩矩陣FL∈Rr×n,選取合適的矩陣T∈Rr×n,判斷秩條件1,若滿足,則進入下一步,否則重新選取矩陣T.

步驟3：給定適當?shù)腨3,由式(20)中的第3,4,5式確定G,F和H.

步驟4：對于給定的衰減度μ>0,解LMI(30),若式(30)有解P,X,τ1,τ2,則進入步驟5,否則調(diào)整T,重回步驟1.

步驟5：得到Y(jié)1=P-1X,并且通過式(20)的第1,2式得到M,N.系統(tǒng)(1)的H∞觀測器設計完畢.

4 算例仿真

本文所設計的觀測器既可以是全維的也可以是降維的,因此在算例仿真中,筆者安排2個對比方案來驗證本文觀測器的有效性.例1為全維觀測器與文獻[21]的對比,例2為全維與降維觀測器之間的對比.

例1全維觀測器比較

文獻[21]中機器人模型的狀態(tài)空間描述如下：

其中:Jm,Jl,θm,θl,ωm,ωl分別代表電機的轉(zhuǎn)動慣量、連桿的轉(zhuǎn)動慣量、電機轉(zhuǎn)動角位移、連桿角位移、電機轉(zhuǎn)動角速度和連桿角速度;m表示機器人質(zhì)量;h表示連桿長度;g為重力加速度;k,B,Kτ為模型轉(zhuǎn)換系數(shù).考慮如下非線性時滯模型：

y(t)=Cx(t)+D2ω(t).

干擾信號如圖1所示.

圖1 外部干擾信號

由于非線性函數(shù)Φ(x,u)滿足單邊Lipschitz條件和二次內(nèi)部有界條件,故可選取一組(ρ,β,γ)=(-9,11.088 9,-1),利用算法1,得到相應的增益矩陣分別為：

H=I4;

且得到對應的正數(shù)τ1=0.422 6,τ2=0.258 9.

用本文設計的觀測器分別觀測機器人的電機轉(zhuǎn)動角位移和連桿角位置,結(jié)果如圖2所示.

圖2 電機轉(zhuǎn)動角位移和連桿角位置的真實值與觀測值

圖3 針對電機的不同觀測器觀測效果對比

圖4 針對連桿的不同觀測器觀測效果對比

定理1推論2[21]電機轉(zhuǎn)動角位移觀測誤差對比θm的誤差上界/radθm的誤差下界/rad5.614 3-0.124 27.000 0-7.620 8連桿角位移觀測誤差對比θl的誤差上界/radθl的誤差下界/rad5.579 6-8.991 422.950 8 -24.581 0增益矩陣數(shù)量級比較10kk=2k=3誤差收斂時間/s(‖e‖≤1)0.975 01.112 5

注2文獻[21]中的系統(tǒng)模型并未考慮外部干擾信號輸入的情況,本文設計的觀測器不僅考慮了上述情況,觀測效果也比較好.

例2降維與全維觀測器比較

本例用機器人的模型,比較本文設計的降維觀測器與全維觀測器之間的區(qū)別.降維觀測器設計方法如下：

同樣選取幾項指標,對于全維觀測器和降維觀測器的數(shù)據(jù)比較記錄在表2中.對于收斂時間的統(tǒng)計,選取誤差精度為0.1,提取介于穩(wěn)定在[-0.1,0.1]的初始點.

圖5 狀態(tài)ωm的實際值和觀測器及觀測誤差

圖6 狀態(tài)ωl的實際值和觀測器及觀測誤差

圖7 狀態(tài)θl的實際值和觀測器及觀測誤差

指標ωm的誤差上界/(rad5s-1)ωm的誤差下界/(rad5s-1)ωl的誤差上界/(rad5s-1)ωl的誤差下界/(rad5s-1)θl的誤差上界/(rad5s-1)θl的誤差下界/(rad5s-1)收斂時間/s誤差ωm誤差ωl誤差θl全維2.881 5-2.401 22.630 5-2.073 01.231 34.145 75.635 112.581 912.581 9降維0.791 4-0.249 11.414 5-0.201 30.215 2-0.025 71.552 711.841 612.095 5

由表2可知,在例2中,相對于全維觀測器,降維觀測器能更快地觀測到被挑選的系統(tǒng)狀態(tài).并且誤差的上下界更小.

5 結(jié) 語

本文基于一類有干擾的時滯非線性系統(tǒng)設計H∞函數(shù)觀測器.利用矩陣方程組和Lyapunov穩(wěn)定性理論得到了誤差系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定.所設計的觀測器既可以是全維也可以是降維的.研究成果應用到了一類機器人觀測器設計.