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    基于多變異策略的自適應(yīng)差分進化算法

    2018-11-23 00:57:22鄒德旋
    計算機應(yīng)用 2018年10期
    關(guān)鍵詞:策略

    張 強,鄒德旋,耿 娜,沈 鑫

    (1.江蘇師范大學(xué) 電氣工程及自動化學(xué)院,江蘇 徐州 221116; 2.徐州開放大學(xué) 信息技術(shù)與電氣工程學(xué)院,江蘇 徐州 221000)(*通信作者電子郵箱uqaing@outlook.com)

    0 引言

    啟發(fā)式優(yōu)化算法本質(zhì)上是隨機性算法,它利用各種隨機尋優(yōu)策略來獲得不同優(yōu)化問題的最優(yōu)解。 在實踐領(lǐng)域,很多需要優(yōu)化的目標函數(shù)是不連續(xù)的或者不可微的,傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)優(yōu)化方法針對這種情況無法找到較好的解決辦法,而啟發(fā)式優(yōu)化算法不需要目標函數(shù)的連續(xù)性和可微性,這就為該算法提供了更廣闊的應(yīng)用空間。 近年來研究人員對啟發(fā)式優(yōu)化算法的性質(zhì)進行了研究和分析。到目前為止,已經(jīng)出現(xiàn)了大量的啟發(fā)式優(yōu)化算法,如遺傳算法(Genetic Algorithm, GA)[1]、粒子群優(yōu)化(Particle Swarm Optimization, PSO)算法[2-3]、模擬退火算法(Simulated Annealing Algorithm, SAA)[4]、蟻群優(yōu)化(Ant Colony Optimization, ACO)算法[5]等。這些計算技術(shù)已經(jīng)被成功地應(yīng)用于許多實際的優(yōu)化問題[6-9],在求解最優(yōu)值的過程中發(fā)揮了重要的作用。

    在這些優(yōu)化算法中,差分進化(Differential Evolution, DE)算法[10]于1995年由Storn和Price提出,它是一種隨機的、并行直接尋優(yōu)的優(yōu)化算法。該方法因具有簡單、易實現(xiàn)、魯棒性強等多種優(yōu)點,被廣泛和成功的應(yīng)用于函數(shù)優(yōu)化、多目標優(yōu)化、背包問題、生產(chǎn)調(diào)度及其他工程領(lǐng)域。對于進化算法而言,控制參數(shù)是該領(lǐng)域研究的核心問題,DE算法也有自身的控制參數(shù)。經(jīng)典的DE算法有3個控制參數(shù):1)種群個數(shù)Np;2)變異縮放因子F;3)交叉概率因子CR。相對于其他控制參數(shù)而言,Np的變化相對具有普遍性,所以DE算法對于F、CR兩個參數(shù)的設(shè)置更敏感,也是DE算法改進的方向。另外,變異策略對差分進化算法的性能也有很大的影響。本文將從變異策略和參數(shù)F、CR的設(shè)置為切入點對DE算法進行改進。

    1 經(jīng)典DE算法

    DE算法是一種基于群體進化的自組織最小化方法,它的主要思想是引入一種可利用當(dāng)前群體中的個體差異來構(gòu)造變異個體的差分變異模式。相對于傳統(tǒng)進化算法,差分變異模式是DE算法中最為獨特的進化操作。以下簡單地介紹經(jīng)典DE算法的進化過程。

    步驟1 種群初始化。

    DE算法采用隨機方式進行種群初始化,由下面公式產(chǎn)生:

    xi, j=xi_min+(xi_max-xi_min)×rand

    (1)

    其中:rand表示[0,1]內(nèi)均勻分布的隨機數(shù);xi_max、xi_min分別表示每一個向量粒子的每一維分量的上界和下界;i=1,2,…,Np;j=1,2,…,Nd;Np表示種群(向量)個數(shù);Nd表示向量粒子的維度。

    步驟2 變異操作。

    對給定的當(dāng)前群體,每一個新變異向量粒子由式(2)產(chǎn)生:

    (2)

    步驟3 交叉。

    (3)

    其中:r1~Nd是在區(qū)間[1,Nd]中的一個隨機整數(shù);CR的取值區(qū)間為[0,1]。

    步驟4 選擇。

    (4)

    步驟5 判別結(jié)束。

    如果取得理論最優(yōu)值或者達到最大迭代次數(shù)Ni,則計算結(jié)束;否則重復(fù)步驟3和步驟4。

    2 影響差分進化算法性能的因素

    差分進化算法尋優(yōu)速度和尋優(yōu)范圍存在著相互制約的關(guān)系。如果單方面提高尋優(yōu)速度,雖然能快速得到最優(yōu)解,但是有可能會陷入局部最優(yōu),降低穩(wěn)定性;反之,如果單方面擴大尋優(yōu)范圍,雖然有利于種群的多樣性,防止陷入局部最優(yōu),提高算法的穩(wěn)定性,但是這勢必會影響其尋優(yōu)速度。通常從變異策略和參數(shù)設(shè)置兩個方面來解決這個矛盾。

    2.1 變異策略

    為了提高尋優(yōu)的成功率,除了經(jīng)典的變異策略外,研究者還提出了其他的變種形式。

    1)DE/ rand/1/bin:

    (5)

    2)DE/rand/2/bin:

    (6)

    3)DE/best/1/bin:

    (7)

    4)DE/best/2/bin:

    (8)

    5)DE/current-to-best/1/bin:

    (9)

    2.2 參數(shù)設(shè)置

    這里的參數(shù)主要是針對F、CR。其中F對算法的局部尋優(yōu)和全局尋優(yōu)起到一定影響:當(dāng)F較大時有利于提高種群多樣性和提升全局尋優(yōu)能力;當(dāng)F較小時有利于提高尋優(yōu)速度和提升局部尋優(yōu)能力。而CR是一個閾值,用來決定經(jīng)過變異的向量粒子能夠進入下一步選擇操作的數(shù)量:CR增大有利于擴大尋優(yōu)范圍,但會降低尋優(yōu)速度;CR減小會縮小尋優(yōu)范圍,但會提高尋優(yōu)速度。

    從以上分析中可以發(fā)現(xiàn),很難找到一種策略和一種參數(shù)設(shè)置能夠完全解決所有的問題。國內(nèi)外很多學(xué)者對DE算法進行了大量的改進,主要聚焦在三個方面:一是對參數(shù)的選取機制的研究[11];二是對差分變異策略的研究,將經(jīng)典差分進化算法的變異策略串行組合,提出多變異策略差分進化算法[12-13];三是將DE算法與其他算法組成混合算法[14-16]。學(xué)者們的改進不同程度地提升了DE算法的尋優(yōu)性能,但是改進后的算法依然存在尋優(yōu)精度不高、對不同函數(shù)魯棒性不好等問題。

    與此同時,雖然有些學(xué)者也提出在DE算法改進中加入學(xué)習(xí)功能,但是單純的參數(shù)學(xué)習(xí)就是總結(jié)上一次迭代中獲勝的向量粒子所用的各種參數(shù),將這些參數(shù)直接或間接地用于本次迭代中。經(jīng)仿真測試表明,這種具有學(xué)習(xí)能力的改進,可以大幅提高算法的尋優(yōu)能力;但是對于另外一些函數(shù),特別是多峰函數(shù),存在容易出現(xiàn)局部最優(yōu)的問題。這是因為在學(xué)習(xí)的過程中無法確認被學(xué)習(xí)的對象本身(即上一次迭代獲勝的向量粒子)是否已經(jīng)向局部最優(yōu)值收斂。從另一個側(cè)面也說明,由于差分算法本質(zhì)是隨機算法的一種,過多人為干預(yù)就會喪失或者減弱其原有的特質(zhì)。這也可以理解為人為干預(yù)有利于提高尋優(yōu)速度,隨機尋優(yōu)有利于擴大尋優(yōu)范圍。為此,本文提出一種基于多變異策略的自適應(yīng)差分進化(Adaptive Differential Evolution based on Multi-Mutation strategy, ADE-MM)算法。對于多種變異策略的選擇,采取的方法是根據(jù)學(xué)習(xí)結(jié)果設(shè)置擾動閾值,并根據(jù)此閾值隨機選擇每一次迭代中使用的變異策略,因此在學(xué)習(xí)的過程中又適量地加入擾動因素,做到了有序?qū)?yōu)和隨機尋優(yōu)上的最優(yōu)結(jié)合。

    3 ADE-MM算法的改進方法

    3.1 變異策略

    在ADE-MM算法中共用到三種變異策略:

    策略一

    (10)

    策略二

    (11)

    策略三

    (12)

    (13)

    其中:Np是向量粒子種群個數(shù);Ni是設(shè)定的最大迭代次數(shù);k代表當(dāng)前迭代次數(shù);θ取1.5。根據(jù)此公式繪制變化曲線,如圖1所示,隨著迭代次數(shù)的增加,p值逐漸減小。

    圖1 式(13)函數(shù)曲線Fig. 1 Formula (13) function curve

    結(jié)合策略二的變異交叉方式可以看出,當(dāng)?shù)_始時,種群向量粒子的優(yōu)劣不明顯,對于精英粒子來說數(shù)量比質(zhì)量更重要,因此需要p取較大的值來獲得較大的尋優(yōu)范圍。但是隨著尋優(yōu)過程的運行,向量粒子的優(yōu)劣越來越明顯,對于精英粒子來說質(zhì)量反而比數(shù)量更重要,需要排名更靠前的粒子來進行局部最優(yōu)搜索,所以p先大后小。關(guān)于三個策略的選擇問題,本文中ADE-MM算法引入兩個干擾變量B1、B2作為擾動閾值,在一定范圍內(nèi)隨機選擇,其關(guān)系式如下:

    (14)

    其中:rand1、rand2分別是[0,1]區(qū)間內(nèi)兩組均勻分布的隨機數(shù)。關(guān)于B1、B2的取值問題,將在后面討論。

    3.2 學(xué)習(xí)參數(shù)說明

    3.2.1 B1和B2設(shè)置

    (15)

    (16)

    3.2.2F參數(shù)設(shè)置

    (17)

    (18)

    (19)

    3.2.3CR參數(shù)設(shè)置

    CR與F采用的方法基本一致,分別用式(20)~(22)取得:

    (20)

    (21)

    (22)

    (23)

    (24)

    (25)

    (26)

    圖2 式(25)函數(shù)曲線Fig. 2 Formula (25) function curve

    3.2.4 其他改進

    (27)

    (28)

    表1 測試函數(shù)Tab. 1 Test functions

    3.3 算法實現(xiàn)過程

    步驟1 參數(shù)設(shè)置。設(shè)置迭代次數(shù)Ni;種群規(guī)模Np;向量維度Nd;F∈[0.1,0.8];Fsi=0.5;δFi=0.1;CR∈[0.3,1];CRsi=0.6;δCRi=0.1;B1∈[0.9,1];B2∈[0.5,0.6];q=1.5;n=1.5;θ=1.5。

    步驟3 變異操作。根據(jù)式(14)進行變異操作。如果變異后的向量粒子超出種群設(shè)定范圍,則重新隨機生成這些向量粒子,直至所有種群都在取值范圍內(nèi)。

    步驟4 交叉操作。參照式(3)。

    步驟5 選擇操作。參照式(4)。

    步驟6 生成下一代參數(shù)。根據(jù)選擇操作中的比較結(jié)果,找出獲勝的向量粒子,按照式(15)~(26)產(chǎn)生新的參數(shù),按照式(27)產(chǎn)生向量粒子池,按照式(28)生成用于下一次迭代的中心粒子,并將其加入到下一次迭代的向量粒子群x中。

    步驟7 終止判斷。當(dāng)?shù)_到最大次數(shù),或者已經(jīng)尋優(yōu)出最優(yōu)值時,算法結(jié)束;否則返回步驟3。

    3.4 函數(shù)與仿真參數(shù)設(shè)置

    為了驗證ADE-MM算法的性能,本文選用了8個函數(shù)來進行測試。其中:f1~f3是單峰函數(shù),f4~f7是多峰函數(shù),f8是帶有平移坐標的函數(shù)。這些函數(shù)的定義見表1。

    此外,為了驗證ADE-MM算法在求解無約束優(yōu)化問題上的優(yōu)勢,將其與隨機變異差分進化(Random Mutation Differential Evolution, RMDE)算法[19]、OLCPDE算法以及經(jīng)典改進算法JADE(Adaptive Differential Evolution with Optional External Archive)[20]、SaDE(Self-adaptive Differential Evolution)[21]、MDE_pBX(Modified Differential Evolution with p-best Crossover)[22]進行比較。根據(jù)各種算法在參考文獻內(nèi)的描述,將參數(shù)設(shè)置如下。

    1)RMDE中,縮放因子F=0.5;交叉概率CR=0.3;擾動因子p=0.9。

    2)OLCPDE中,縮放因子F=0.5;交叉概率CR=0.8。

    3)JADE中,縮放因子F柯西分布的位置參數(shù)和尺度參數(shù)分別為μF=0.5和δF=0.1;交叉概率CR正態(tài)分布的均值和標準差分別μCR=0.5和δCR=0.1;積極的常數(shù)c=1;百分比p%=5%。

    4)SaDE中,縮放因子F正態(tài)分布的均值和標準差分別μF=0.5和δF=0.3;交叉概率CR正態(tài)分布的均值和標準差分別μCR=0.5;δCR=0.1;LP=50;p=0.25。

    5)MDE_pBx中,縮放因子F柯西分布的位置參數(shù)和尺度參數(shù)分別為μF=0.5和δF=0.1;交叉概率CR正態(tài)分布的均值和標準差分別μCR=0.5和δCR=0.1;q=0.15;n=1.5。

    由于學(xué)習(xí)功能需要對上一代向量粒子進行統(tǒng)計,隨著測試維度的增加,向量粒子的個數(shù)也應(yīng)增加以獲得更好的學(xué)習(xí)效果。為了公平起見,針對30維、50維和100維的問題,對于每個測試算法的種群規(guī)模Np均分別設(shè)置為100、160、300,迭代次數(shù)為2 000,獨立運行30次。從均值、標準差、Wilcoxon ranksum test、勝率以及算法耗時5個方面來進行分析比較。本文中除Wilcoxon ranksum test利用R語言分析外,其余仿真實驗均在Matlab R2016b中進行,內(nèi)存8 GB,CPU速度為2.4 GHz。

    表2 ADE-MM算法與其他算法的均值與標準差計算數(shù)據(jù)比較Tab. 2 Average and standard variance comparison of ADE-MM and other algorithms

    4 仿真實驗與數(shù)據(jù)分析

    4.1 均值與標準差分析

    表2顯示了函數(shù)的均值和標準差分別在30維、50維、100維三種的情況下的對比結(jié)果。從表2中可以發(fā)現(xiàn),ADE-MM算法取得全勝,其中包括5個函數(shù)的單獨勝利(f1、f2、f3、f6、f8),3個函數(shù)的并列勝利(f4、f5、f7)。為了說明ADE-MM算法在并列勝利的情況下仍具有優(yōu)勢,把這3個函數(shù)均值的迭代過程繪制成圖3。從圖3可以發(fā)現(xiàn),ADE-MM算法在同時都獲得最優(yōu)值的情況下,尋優(yōu)速度優(yōu)于其他算法,使用更少的迭代次數(shù),更早地獲得最優(yōu)值。在函數(shù)為50維的情況下,ADE-MM算法取得全勝,其中包括6個函數(shù)的單獨勝利(f1、f2、f3、f5、f6、f8),2個函數(shù)的并列勝利(f4、f7)。如圖4所示,同樣在并列取勝的情況下ADE-MM算法尋優(yōu)速度要快于其他對比算法。同時在30維的情況下對f4、f5和f7的測試中,與ADE-MM算法并列取勝的對比算法個數(shù)分別為4、1和2,而在50維的情況下,變?yōu)?、0和3。必須承認,在50維的情況下對f7的測試中并列取勝的對比算法比在30維的情況下多了1個。而在函數(shù)為100維的情況下,ADE-MM算法取得全勝,且為單獨勝利。因此,總體趨勢是隨著維度的增加,與ADE-MM算法并列取勝的測試函數(shù)個數(shù)和對比算法個數(shù)均在漸減少,甚至消失。這說明隨著函數(shù)維度的增加、難度的提高, ADE-MM算法在均值和標準差的比較中的優(yōu)勢更加突顯。

    圖3 ADE-MM算法與其他算法在函數(shù) f4、 f5、 f7的收斂曲線(Nd=30)Fig. 3 Convergence curves of ADE-MM and other algorithms in functions f4, f5, f7(Nd=30)

    圖4 ADE-MM算法與其他算法在函數(shù) f4、 f7的收斂曲線(Nd=50)Fig. 4 Convergence curves of ADE-MM andother algorithms in functions f4, f7(Nd=50)

    4.2 Wilcoxon rank sum test分析

    下面利用Wilcoxon rank sum test[23-24]對仿真數(shù)據(jù)進行分析,確定6種算法中的最優(yōu)算法與其他對比算法是否具有統(tǒng)計學(xué)意義上的差異。針對每一個函數(shù)取出6種算法中均值最優(yōu)解的算法,取其每次尋優(yōu)結(jié)果中最優(yōu)解構(gòu)成由30個元素組成的基量,同理取其他5種算法每次尋優(yōu)結(jié)果中各自最優(yōu)解分別構(gòu)造出5個向量,然后分別與基量進行Wilcoxon rank sum test比較,從中可以獲得p-value值。如果得到的p-value小于0.05,說明此算法與最優(yōu)算法有明顯差距;如果得到的p-value大于0.05,則說明此算法與最優(yōu)算法差距不明顯。 需要說明三點:第一,均值最優(yōu)解相同的,利用標準差的比較結(jié)果來確定基量。如果均值和標準差都一樣,任選一個最優(yōu)值作為基量,此選擇方式不影響最終比較結(jié)果。因為在均值比較中ADE-MM取得了全部的勝利,所以基量均來自ADE-MM算法;第二,當(dāng)兩個對比向量相同,且每個向量內(nèi)元素也相同時, p-value得NaN,需說明的是由于Matlab和R語言的有效值精度問題,此結(jié)果無法與之前標準差對應(yīng),但不影響p-value實驗分析結(jié)果;當(dāng)兩個對比向量相同,但每個向量內(nèi)元素不同時, p-value等于1。以上兩個種情況均認為兩個對比向量是無差別的。第三, p-value值可以表示最優(yōu)算法與其他對比算法測試結(jié)果存在著“明顯區(qū)別”和“不明顯區(qū)別”兩種情況,但不能根據(jù)p-value值的大小顯示同為“明顯區(qū)別”的結(jié)果,區(qū)別程度有多大,也不能根據(jù)p-value值的大小顯示同為“不明顯區(qū)別”的結(jié)果,區(qū)別程度有多大。從表3中可以發(fā)現(xiàn),在單峰測試函數(shù)f1、f2、f3中ADE-MM算法在3種維度情況下的p-value值均為1,而其他對比算法的p-value值沒有出現(xiàn)一個大于0.05,說明此情況下ADE-MM算法不僅在比較中獲勝,而且優(yōu)勢明顯。在多峰測試函數(shù)f4、f5、f6、f7和平移測試函數(shù)f8中,從30維的情況到100維的情況的測試中,ADE-MM算法的p-value值全部等于1或者取NaN,而對比算法的p-value值大于0.05、等于1和取NaN的情況在逐漸減少。說明隨著維度的增加,能夠接近或等于ADE-MM算法的尋優(yōu)結(jié)果的算法越來越少,甚至沒有。這進一步體現(xiàn)了ADE-MM算法的優(yōu)勢,特別是解決高維問題時更明顯。

    4.3 勝率分析

    為了展示最優(yōu)算法與其他對比算法的區(qū)別程度,引入勝率進行比較。關(guān)于勝率比較作出如下解釋:在同一個函數(shù)中,分別取ADE-MM算法的30次尋優(yōu)結(jié)果中的每一次數(shù)值與其他5種算法的30次尋優(yōu)結(jié)果的每一次數(shù)值輪流進行比較,共計進行30×5×30=4 500次,每次比較獲勝的一方加1分,結(jié)果一樣就各加0.5分,輸?shù)囊环讲患臃?最后用獲勝次數(shù)除以比較次數(shù)得到勝率,如果勝率超過50%,說明ADE-MM算法在勝率比較中勝出。

    表3 最優(yōu)算法與其他算法的p-value計算結(jié)果Tab. 3 p-value calculation results of the optimal algorithm and other algorithms

    表4 ADE-MM算法與其他算法的勝率計算結(jié)果 %Tab. 4 Winning rate calculation results of ADE-MM over other algorithms %

    表4中顯示的是30維、50維和100維勝率的結(jié)果。下面以30維為例,結(jié)合均值和p-value值來進行分析。如前文所述,在30維的測試中ADE-MM算法獲得全勝,但是從勝率比較中卻發(fā)現(xiàn),在函數(shù)f2、f8中ADE-MM算法分別輸給了JADE、SaDE。下面將以函數(shù)f2為例說明出現(xiàn)這種情況的原因。如表5所示,在30維的測試中,JADE算法30次的尋優(yōu)值大部分優(yōu)于ADE-MM算法,但是存在3個比較差的尋優(yōu)結(jié)果,最優(yōu)值和最差值之間有1018量級的差距,這三個較差的尋優(yōu)結(jié)果最終影響了JADE算法的均值。反觀ADE-MM算法的30次尋優(yōu)結(jié)果,最優(yōu)值和最差值之間只有104量級的差距,遠遠低于JADE的浮動范圍,相對穩(wěn)定,且其最差值比JADE算法的最差值小了106量級。這就解釋了為什么ADE-MM算法在對f2、f8測試中,均值比較可以獲勝,而勝率比較卻失敗的原因。通常優(yōu)化算法的優(yōu)秀性不僅體現(xiàn)在尋優(yōu)精度和尋優(yōu)速度上,尋優(yōu)穩(wěn)定性也是重要的衡量指標。這也從另一個側(cè)面顯示了ADE-MM算法的優(yōu)秀性。在100維的勝率比較中,ADE-MM算法在和其他5個對比算法的勝率對比結(jié)果均達到或接近100%,此結(jié)果與前面均值、標準差和Wilcoxon rank sum test分析結(jié)果一致,再次說明ADE-MM算法在解決高維度問題時性能優(yōu)異。

    5 算法耗時分析

    由于算法耗時普遍會隨著函數(shù)維度的增加而同步增加,所以只選取函數(shù)為30維的情況來比較各種算法的平均耗時。從表6可以發(fā)現(xiàn),ADE-MM算法對f6和f7兩個函數(shù)測試用時最少。根據(jù)對表2中均值對比,在函數(shù)f7的測試中ADE-MM和JADE、SaDE共3種算法同時取得理論最優(yōu)值0,提前結(jié)束迭代。由此可知,在沒有獲得理論最優(yōu)值的情況下,運行2 000代ADE-MM算法整體運行時間不是最少的,但是在獲得理論最優(yōu)值可以提前結(jié)束迭代的情況下,ADE-MM算法整體用時最少。這說明雖然ADE-MM算法的單次迭代時間不是最短的, 但可以使用更少的迭代次數(shù)完成尋優(yōu)過程。另外,從表6中還可以發(fā)現(xiàn),在8個函數(shù)中相比其他對比算法,ADE-MM算法均不是耗時最多的一個。

    6 結(jié)語

    在對差分進化算法改進中,提高尋優(yōu)速度和擴大尋優(yōu)范圍是一對相對制約的關(guān)系,本文提出的ADE-MM算法通過對前一代向量粒子尋優(yōu)性能的判斷與學(xué)習(xí)來決定下一次迭代中所用到的變異策略和參數(shù)設(shè)置,以達到增強自適應(yīng)性和提高尋優(yōu)速度、精度的目的;同時加入帶有學(xué)習(xí)功能的擾動閾值來改善學(xué)習(xí)過程,擴大尋優(yōu)范圍,防止向量粒子誤入局部最優(yōu)的陷阱,增強尋優(yōu)穩(wěn)定性。本文利用8個函數(shù)分別在30維、50維和100維的情況下進行仿真測試,并采用均值、標準差、 p-value、勝率和算法耗時5個指標對仿真結(jié)果進行分析。結(jié)果表明,ADE-MM算法無論在尋優(yōu)精度、尋優(yōu)速度還是在尋優(yōu)穩(wěn)定性上都優(yōu)于其他對比算法,特別是在解決高維問題的優(yōu)勢尤為明顯,為解決此類復(fù)雜優(yōu)化問題提供了選擇。此外,改進的DE算法已經(jīng)被應(yīng)用在路程規(guī)劃、電力系統(tǒng)經(jīng)濟調(diào)度的優(yōu)化問題中,并且在其中加入約束處理方法,希望能更快速、準確地找到最優(yōu)的可行解。

    表5 在測試函數(shù)f2下ADE-MM算法與JADE算法30次最優(yōu)解(Nd=30)Tab. 5 Thirty best solutions of ADE-MM algorithm and JADE algorithm in the test function f2(Nd=30)

    表6 ADE-MM算法與其他算法平均耗時計算結(jié)果(Nd=30)Tab. 6 Average time-consuming calculation results of ADE-MM and other algorithms (Nd=30)

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