學(xué)習(xí)處處有算法

渠慎情

教材中的流程框圖與偽代碼都是算法的外在體現(xiàn)形式，而算法的本質(zhì)就是對(duì)一類問(wèn)題的機(jī)械的、統(tǒng)一的求解方法.在我們的高中數(shù)學(xué)必修一與必修二教材里，處處閃耀著算法思想的光輝，

函數(shù)解題循套路

函數(shù)的學(xué)習(xí)是高中數(shù)學(xué)的重中之重.會(huì)學(xué)，妙不可言；不會(huì)學(xué)，玄之又玄.其實(shí)，學(xué)習(xí)函數(shù)也有機(jī)械的、統(tǒng)一的學(xué)法.

我曾這樣說(shuō)過(guò)：函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性及周期性像朵朵花兒，靜靜地生長(zhǎng)在函數(shù)這條枝蔓上，因此，要想學(xué)好函數(shù)，就要一一學(xué)好函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性及周期性.各個(gè)擊破，融會(huì)貫通，你的函數(shù)也就學(xué)好了.

下面找些與函數(shù)有關(guān)，且很有算法風(fēng)格的問(wèn)題與大家共同探討.

一、證函數(shù)單調(diào)性

證明或是判斷函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性時(shí)，大家常會(huì)看到一個(gè)個(gè)很好的套路或步驟，如“一取二比三定論”：取值，作差（商），比較，下結(jié)論（或設(shè)量，作差（商），判號(hào)，比較，下結(jié)論）.雖然，學(xué)無(wú)定法，但是證明函數(shù)是否單調(diào)的機(jī)械性與統(tǒng)一性在這里還是體現(xiàn)得淋漓盡致，當(dāng)然，上面的任何一個(gè)具體的套路，都能很好地解決函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，

可以用流程圖來(lái)表達(dá)上面的某些步驟，如圖1所示：

二、判函數(shù)奇偶性

判斷函數(shù)的奇偶性，也是有章可循的。

一般地，先求定義域，再判斷定義域是否關(guān)于數(shù)零對(duì)稱，若不對(duì)稱，則函數(shù)非奇非偶，否則繼續(xù)判斷函數(shù)f（-x）與f（x）是相等還是相反關(guān)系.

若f（-x）與f（x）是相等關(guān)系，則函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；若f（-x）與f（x）是相反關(guān)系，則函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；若.f（-x）與f（x）既相等又相反，則函數(shù)f （x）既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)；若f（-x）與f（x）既不相等也不相反，則函數(shù)f（x）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，如圖2所示：

三、定函數(shù)零點(diǎn)區(qū)間

在判定圖象不間斷的函數(shù)的某一零點(diǎn)是否在某區(qū)間內(nèi)時(shí)，結(jié)合二分法，找尋零點(diǎn)所在區(qū)間的過(guò)程顯得十分機(jī)械化.

一般地，要先結(jié)合函數(shù)圖象，定下函數(shù)某一零點(diǎn)大致所在區(qū)間（a，b）（在此區(qū)間上有唯一零點(diǎn)），即對(duì)端點(diǎn)a與b求函數(shù)值f（a）與f（b），判斷f（a）.f（b）的正負(fù).若負(fù)，則零點(diǎn)在該區(qū)間內(nèi)；若正，則不符合我們的要求，找到符合要求的區(qū)間（a，6）后，結(jié)合區(qū)間中點(diǎn)二分該區(qū)間，得區(qū)間（a，a+b/2）與（a+b/2，b），然后對(duì)這兩個(gè)區(qū)間繼續(xù)求端點(diǎn)值，判斷端點(diǎn)值乘積的正負(fù)，依此類推……

除了函數(shù)到處體現(xiàn)著算法的思想，立體幾何、解析幾何中算法的思想也是無(wú)處不在，

“立幾”、“解幾”有算法

高中立體幾何（有時(shí)簡(jiǎn)稱“立幾”）的問(wèn)題中，證明線面平行與線面垂直是最常見(jiàn)的.而這里也有機(jī)械統(tǒng)一的解決問(wèn)題的思想方法.

一、環(huán)環(huán)相扣論線面

如圖3，看看證明線面平行的一般步驟：先找線線平行，再說(shuō)明一條直線在面內(nèi)，一條直線在面外.如此三步，線面平行證得，

如圖4，再看看線面垂直：證線線垂直，再證線線垂直，弄清線線相交，最后說(shuō)明兩線在面內(nèi).此乃證明線面垂直之五步.

四個(gè)公理、三個(gè)推論、八個(gè)定理構(gòu)建起高中立體幾何證明的依據(jù)平臺(tái)，再加上一定的邏輯表達(dá)，即可證明直線與平面之間的平行和垂直關(guān)系.

立體幾何如此，解析幾何（有時(shí)簡(jiǎn)稱“解幾”）亦如此.

二、步步嚴(yán)謹(jǐn)求切線

在直線與圓的位置關(guān)系中還是有些值得探討的問(wèn)題，下面就來(lái)看看在直線與圓之間有何問(wèn)題能機(jī)械統(tǒng)一地求解，

若已知點(diǎn)的坐標(biāo)，如何求過(guò)該已知點(diǎn)的圓的切線方程呢？

第一步要做什么呢？設(shè)切線的斜率嗎？不是！

第一步是要判斷已知點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，即點(diǎn)在圓外，圓內(nèi)，還是圓上.這樣，如果點(diǎn)在圓外，則必有兩條切線；如果點(diǎn)在圓上，則僅有一條切線；如果點(diǎn)在圓內(nèi)，則過(guò)點(diǎn)的直線必與圓相交，絕不相切.若點(diǎn)在圓外，且僅求得一條切線的方程，則要看看你是否少了一條斜率不存在的切線，

第二步，又要怎么做呢？設(shè)切線的斜率嗎？還不是！

看切線的斜率是否存在，結(jié)合圖形，若斜率不存在滿足與圓相切，則得一切線；若切線的斜率都存在，則可執(zhí)行第三步，

第三步，設(shè)切線的斜率為k，根據(jù)直線與圓的相切的關(guān)系，由“圓心到直線的距離d等于圓的半徑r”構(gòu)造關(guān)于參數(shù)k的方程，繼而解之，得k.

第四步，由已知點(diǎn)與所求k確定直線的方程，

簡(jiǎn)言之，判定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，確定切線斜率存在與否，設(shè)直線斜率并求之，最后得方程.如圖5所示：

依據(jù)上面四步，可求圓的切線方程.此法可機(jī)械且統(tǒng)一地解決如此一類問(wèn)題，算法思想便再次得以體現(xiàn)，當(dāng)然，算法并不唯一，上面的四步自然也不是求圓切線方程的唯一方法.

三、點(diǎn)點(diǎn)明確定未知

曾無(wú)數(shù)次在課堂上向?qū)W生們夸下?？凇灰o我三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，你讓我求啥，我就能求啥！其實(shí)，只要掌握了解決問(wèn)題的關(guān)鍵方案，你也能輕松解決問(wèn)題，

學(xué)生們最喜歡問(wèn)的一個(gè)問(wèn)題是：已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，如何求它的內(nèi)切圓方程.

我們分析一下：

求內(nèi)切圓的方程，就是求圓的方程；要求圓的方程，就要求該圓圓心坐標(biāo)與半徑大??；求三角形內(nèi)切圓的圓心，就是求該三角形的內(nèi)心，即角平分線的交點(diǎn)；要求角平分線的交點(diǎn)，要先求角平分線的方程，而求角平分線的方程才是大家認(rèn)為內(nèi)切圓難求的主要原因，

如何求角平分線的方程呢？

有一種方法是這樣的：設(shè)角平分線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），則該點(diǎn)到相應(yīng)兩邊的距離相等，根據(jù)該條件構(gòu)造關(guān)系式，簡(jiǎn)化關(guān)系式后得到的方程就是角平分線的方程，簡(jiǎn)言之，設(shè)點(diǎn)，構(gòu)造方程，化簡(jiǎn).

如此，再求另一條角平分線的方程，繼而求兩角平分線的交點(diǎn)，即為三角形的內(nèi)心，也就是該三角形內(nèi)切圓的圓心，

如何求半徑呢？圓心到任意一邊的距離就是圓的半徑.那么，邊所在直線的方程怎么求呢？呵呵，你懂的，

上面說(shuō)得看似有點(diǎn)復(fù)雜，畫個(gè)簡(jiǎn)單的流程圖就容易看懂：

算法，未必是一個(gè)框圖、一個(gè)偽代碼.有時(shí)，它更是一種思想.按部就班的套路.機(jī)械統(tǒng)一的解決問(wèn)題的方案，就是算法.無(wú)論是函數(shù)，還是立體幾何，解析幾何，探索數(shù)學(xué)未知的路還很長(zhǎng).借助算法的原則性，您可以不斷地總結(jié)出一些有用的經(jīng)驗(yàn)，再加上您思維的靈活性，以不變應(yīng)萬(wàn)變，也許，您在這條學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的路上能走得更順一些！