概率四問(wèn)待澄清

甘志國(guó)

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能夠培養(yǎng)人的理性思維，在概率中，存在一些似是而非的問(wèn)題，需要通過(guò)明澈的理性思維加以明辨、澄清，以下即為其中四個(gè).

1.已經(jīng)試驗(yàn)過(guò)的事件不是隨機(jī)事件

讀者可以認(rèn)真領(lǐng)會(huì)“已經(jīng)試驗(yàn)過(guò)的事件不是隨機(jī)事件”這句話是正確的，也可參見(jiàn)筆者發(fā)表于《中學(xué)數(shù)學(xué)雜志》2004年第7期的文章《已經(jīng)試驗(yàn)過(guò)的事件不是隨機(jī)事件》.

例1 （某教輔（2012年版）作業(yè)題）下列事件中，隨機(jī)事件的個(gè)數(shù)為

（）

（1）方程ax+b=0有一個(gè)實(shí)數(shù)根；

（2） 2009年5月15日，去美國(guó)旅游的小王感染甲型HIN1流感；

（3）在常溫下，焊錫融化；

（4）若a>b，那么ac>bc.

A.1

B.2

C.3

D.4

錯(cuò)解 選C.（1）、（2）、（4）是隨機(jī)事件，（3）是不可能事件，

注 應(yīng)選B.（2）不是隨機(jī)事件.因?yàn)椤?009年5月1 5日”已經(jīng)過(guò)去，談不上“可能發(fā)生或不發(fā)生”，也談不上“事先預(yù)測(cè)”.若把“2009年5月15日”改成“2019年5月15日”（現(xiàn)在是2018年），則此事件是隨機(jī)事件.

2.概率為1的事件不一定是必然事件，概率為0的事件不一定是不可能事件

有不少讀者認(rèn)為，必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，反過(guò)來(lái)敘述也是正確的，即有：概率為1的事件一定是必然事件，概率為0的事件一定是不可能事件，實(shí)際上，它們均不對(duì)，

這在幾何概型中容易舉出反例：

反例 假設(shè)一質(zhì)點(diǎn)T可隨機(jī)地落在線段[0，2]上，記“質(zhì)點(diǎn)T落在線段[0，2]的中點(diǎn)1上”為事件A，“質(zhì)點(diǎn)T落在線段[0，2]上”為事件B，“質(zhì)點(diǎn)T落在線段[0，2]上但不落在端點(diǎn)0也不落在中點(diǎn)1上”為事件C.

有P（A）=0，P（B）=P（C）=1，但C不是必然事件，A也不是不可能事件.

3.當(dāng)P（A∩ B） =0時(shí)，不能得出A，B互斥；當(dāng)P（A∪ B）=P（A）+P（B）時(shí)，也不能得出A，B互斥

若A，B互斥，則P （A ∩ B）=0；但是，若P（A ∩1B） =O，卻不能得出A，B互斥.這是因?yàn)镻（A∩B）=O即事件A，B同時(shí)發(fā)生的概率為0，但還是可以同時(shí)發(fā)生的，所以它們不互斥.

比如，選A，B為上文所舉反例中的事件A，B，則A ∩B =A，P（A ∩B）=O，而A，B可以同時(shí)發(fā)生，即不互斥.

由公式P（A∪ B）=P（A）+P（B）P （A∩ B）可知，P（A ∪ B）=P（A）+P（B）<=>P （A∩B）=0，所以“當(dāng)P（A∪B）=P（A）+P（B）時(shí)，也不能得出A，B互斥”.

例2 （某教輔（2012年版）作業(yè)題）若P（A∪B）=1，則互斥事件A與B的關(guān)系是 （）

A. A，B之間沒(méi)有關(guān)系

B.A，B是對(duì)立事件

C.A，B不是對(duì)立事件

D.以上都不對(duì)

錯(cuò)解 選B.因?yàn)镻（A∪B）=P（A）+P（B）=1，所以P（A）=1-P（B）.由對(duì)立事件的概率的性質(zhì)和公式知A，B是對(duì)立事件.

注 應(yīng)選D.顯然A，B可以是對(duì)立事件；若選A，B分別為上文所舉反例中的事件A，C，則事件A，B符合題設(shè)，但A，B不是對(duì)立事件.

例3 （普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)3.必修A版>（2007年第3版）第142頁(yè)B組第2題）若P（A∪ B）=P（A）+P（B）=1，則事件A與B的關(guān)系是（）

A. 互斥不對(duì)立

B.對(duì)立不互斥

C.互斥且對(duì)立

D.以上答案都不對(duì)

解 選D.顯然排除選項(xiàng)B（因?yàn)閷?duì)立一定互斥）；選項(xiàng)C的含義就是對(duì)立，這不一定成立，如選A，B分別為上文所舉反例中的事件A，C即知；選項(xiàng)A也未必成立，如選A，B分別為上文所舉反例中的事件A，B即知.

（注：與教科書配套使用的《教師教學(xué)用書》第122頁(yè)只給出了答案“D”，無(wú)任何過(guò)程.）

4.“獨(dú)立”不一定“互斥”，“互斥”也不一定“獨(dú)立”

甲壇子里有3個(gè)白球，2個(gè)黑球；乙壇子里有2個(gè)白球，2個(gè)黑球，從這兩個(gè)壇子里分別摸出1個(gè)球，在這個(gè)問(wèn)題中，記“在甲壇中摸出白球”為事件A，“在乙壇中摸出白球”為事件B，顯然事件A，B相互獨(dú)立，但不互斥，

設(shè)5張票中只有1張是獎(jiǎng)票，甲、乙兩人按先后順序輪流不放回地抽1張票，在這個(gè)問(wèn)題中，記“甲抽到獎(jiǎng)票”為事件A，“乙抽到獎(jiǎng)票”為事件B，顯然事件A，B互斥，但不相互獨(dú)立.

設(shè)5張票中只有2張是獎(jiǎng)票，甲、乙兩人按先后順序輪流不放回地抽1張票.在這個(gè)問(wèn)題中，記“甲抽到獎(jiǎng)票”為事件A，“乙抽到獎(jiǎng)票”為事件B，顯然事件A，B既不互斥也不相互獨(dú)立，

讀者容易舉出兩個(gè)事件既獨(dú)立又互斥的例子：隨機(jī)事件A和不可能事件V.還可證明：若事件A，B既互斥又相互獨(dú)立，則P（A）=0或P（B）=0.

猜想 事件A，B既互斥又相互獨(dú)立<=>A是不可能事件或B是不可能事件.（顯然，只需證明=>.）