基于改進模糊熵和證據(jù)推理的多屬性決策方法

熊寧欣,王應(yīng)明

(福州大學(xué) 經(jīng)濟與管理學(xué)院,福州 350116)(*通信作者電子郵箱531626142@qq.com)

0 引言

證據(jù)推理(Evidential Reasoning,ER)方法作為處理不確定性多屬性決策問題的描繪工具,受到了國內(nèi)外廣大學(xué)者的重視,目前已成功應(yīng)用于決策分析[1]、雙邊匹配[2]、績效評估[3]、系統(tǒng)預(yù)測[4]等領(lǐng)域。證據(jù)推理方法是在證據(jù)理論(Dempster-Shafer Theory, DST)和決策理論的基礎(chǔ)上經(jīng)歷20多年的歷程發(fā)展而來的。其中證據(jù)理論由Dempster[5]在1967年首次提出,他的學(xué)生Shafer[6]對該理論進行了系統(tǒng)的研究,最終形成了目前的證據(jù)理論。它是一種能夠?qū)ψC據(jù)進行融合的數(shù)學(xué)工具,在處理不確定性多源信息的過程中起了重要作用。1994年,Yang等[7]在證據(jù)理論的基礎(chǔ)上,結(jié)合評估分析模型,首次將證據(jù)理論引入多屬性決策領(lǐng)域,提出了不確定情況下的證據(jù)推理方法,并給出了ER證據(jù)組合規(guī)則。2002年,Yang等[8]研究開發(fā)了滿足四個合成公理的證據(jù)推理算法,即遞歸證據(jù)推理算法。2006年,Wang等[9]在遞歸證據(jù)推理算法的基礎(chǔ)上,進一步提出計算更加簡便的解析證據(jù)推理算法。至此,奠定了證據(jù)推理方法的理論基礎(chǔ),驗證了該方法的有效性。

隨著研究的深入,證據(jù)推理方法在識別框架的構(gòu)建、評估信息轉(zhuǎn)換、證據(jù)融合規(guī)則等方面的理論體系已逐步完善,并取得了一定的研究成果,但仍面臨著證據(jù)權(quán)重難以獲取及量化的問題。目前,在基于證據(jù)推理的客觀賦權(quán)法研究中,主要存在以下三類研究：第一類從解決證據(jù)沖突的角度出發(fā),根據(jù)Jousselme等[10]給出的證據(jù)距離定義,建立最小化理想距離模型以確定屬性權(quán)重。如王小藝等[11]通過建立各個加權(quán)證據(jù)與期望證據(jù)之間的距離最優(yōu)化模型,獲得最優(yōu)的證據(jù)權(quán)重分配。陸文星等[12]提出一種基于證據(jù)距離的客觀權(quán)重確定方法,使證據(jù)體與系統(tǒng)中其他證據(jù)的總距離達到最小以確定權(quán)重。第二類方法主要是利用屬性權(quán)重的不完全信息建立非線性規(guī)劃模型求解權(quán)重。王堅強[13]結(jié)合屬性權(quán)重和等級效用的不完全確定信息建立非線性規(guī)劃模型,利用遺傳算法求解得到各屬性的權(quán)重。朱建軍等[14]結(jié)合原始專家信息,建立了基于專家意見偏差最小的非線性優(yōu)化模型計算屬性權(quán)重。第三類則是基于信息熵方法確定熵權(quán)。尹德進等[15]將定量、定性、模糊和不完全等各種特征的信息統(tǒng)一轉(zhuǎn)換到信度框架下,通過不確定信息熵模型求取各屬性的熵權(quán)值。Bao等[16]通過對屬性權(quán)重與熵、交叉熵、期望值三個指標之間進行相關(guān)性分析,在權(quán)重不完全且未知的情況下建立了屬性權(quán)重的識別優(yōu)化模型求解權(quán)重。

在已有的權(quán)重求解方法中,通常無法充分利用證據(jù)推理信度框架中的原始信息,從而很大程度影響了決策過程的客觀性。本文提出一種基于改進模糊熵和證據(jù)推理的不確定多屬性決策方法,更加客觀地確定屬性權(quán)重。首先,定義一種基于三角函數(shù)的改進模糊熵公式,能夠刻畫屬性的模糊性及屬性間信息量的差異程度,并能夠同時處理屬性權(quán)重完全未知和屬性權(quán)重信息部分已知兩種情況。其次,針對屬性權(quán)重完全未知的情況,結(jié)合模糊熵和熵權(quán)法的基本思想計算屬性權(quán)重;針對屬性權(quán)重信息部分已知的情況,定義加權(quán)模糊熵,建立期望模糊熵最小的線性規(guī)劃模型求解最優(yōu)屬性權(quán)重。最后,利用證據(jù)推理算法融合屬性值,結(jié)合期望效用理論對方案進行優(yōu)劣排序,以實例說明該方法的可行性、有效性。

1 證據(jù)推理算法

1.1 證據(jù)理論概述

則稱m為基本可信度分配(Basic Probability Assignment,BPA)或信念結(jié)構(gòu)。設(shè)兩個獨立證據(jù)A和B,按照Dempster-Shafer組合規(guī)則融合后的結(jié)果為:

1.2 基于證據(jù)推理的多屬性決策問題描述

S(ei(al))={(Hn,βn,i(al))|n=1,2,…,N;

i=1,2,…,L;l=1,2,…,M}

1.3 證據(jù)推理融合算法

在證據(jù)推理框架下,所有基本屬性的信度值βn,i(al)必須使用Dempster-Shafer組合規(guī)則進行信息融合獲得方案綜合分布評價信度βn(al)。

令mn,i(al)為基本概率分配函數(shù),表示方案al在廣義屬性y下屬于評價等級Hn的信任度。

mn,i(al)=wiβn,i(al)

(1)

令mH,i(al)為未分配概率指派函數(shù),表示對于廣義屬性y,方案al在屬性ei下未分配給任何評價等級Hn的信任度。

(2)

(3)

(4)

(5)

證據(jù)推理通過建立廣義屬性綜合評價與基本屬性原始評價之間的非線性關(guān)系,將各個證據(jù)進行逐步融合,不斷循環(huán)直至將所有證據(jù)融合完畢。首先假定:

mn,I(1)=mn,1

mH,I(1)=mH,1

具體融合算法[8]如下:

{Hn}:mn,I(i+1)=KI(i+1)[mn,I(i)mn,i+1+mH,I(i)mn,i+1+

mn,I(i)mH,i+1]

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

其中:I(i+1)表示融合i+1個基本屬性；KI(i+1)表示第i次集結(jié)時的歸一化系數(shù)。在所有基本屬性評估信息集結(jié)完成后,使用如下標準化過程逆向轉(zhuǎn)換為方案的廣義屬性綜合信任度:

(11)

(12)

其中：βn表示為方案al分配給評價等級Hn的信任度；βH表示廣義評估中的未分配信度。因此,方案ai的廣義分布評價為:

S(y)={(Hn,βn(al))|n=1,2,…,N;l=1,2,…,M}

其中：S(y)表示方案ai在廣義屬性y下被評為等級Hn的支持度為βn。

2 基于三角函數(shù)的改進模糊熵公式

(13)

其中：En表示信任度框架下方案al在屬性ei下被評為不同評價等級的信任度偏差。定義證據(jù)推理信度決策矩陣框架下,基于三角函數(shù)的模糊熵公式為:

(14)

從式(14)可以看出,信度框架下基于三角函數(shù)的模糊熵公式不僅包含了信任偏差度,且包含因無知而引起的不確定指數(shù),能夠較好地刻畫信息不確定程度。

定義1 稱函數(shù)E(A)為模糊熵,若其滿足如下拓展的公理化要求:

條件1E(A)=0當且僅當A為傳統(tǒng)精確集;

條件2E(A)=1當且僅當對于每一個βn,i(al)都有βn,i(al)=βn, j(al)成立;

條件3E(A)=E(Ac);

條件4 若βH,A=βH,B時,有En(A)≤En(B),或者當En(A)=En(B)時,有βH,A≥βH,B,均有E(A)≥E(B)。

定理1 由式(14)定義的E是一個模糊熵。

證明 要證明由式(14)定義的E是一個模糊熵,只需證明其滿足定義1中的四個條件。

對于條件3,由于(En)C=En,顯然有E(A)=E(Ac)。

對于條件4,改進的模糊熵是關(guān)于En的減函數(shù),關(guān)于βH,i的增函數(shù)。βH,A=βH,B時,若En(A)≤En(B),表示A中支持各等級的證據(jù)越相近,或者當En(A)=En(B)時, 若βH,A≥βH,B,表示A中的證據(jù)更少,均有E(A)≥E(B)。

由此,可進一步總結(jié)證據(jù)推理框架下的三角模糊熵具有的幾點特點:

1)顯然,0≤E(s(ei(al)))≤1恒成立。

2)當n=1,β1,1(al)=1時,模糊熵取最小值0。

3)對某個S(ei(al))而言,若En=0且n>1,模糊熵取最大值1,意味著方案al在屬性ei下被評為各評價等級的信任度是相等的,即支持不同評價等級的證據(jù)一樣多。

4)n值越大,表示方案al在屬性ei下支持各評價等級的證據(jù)越分散。

5)En的值越小,方案al在屬性ei下支持各評價等級的偏差越小,意味著支持各評價等級的證據(jù)越相近,從而模糊性增加,模糊熵值越大。

6)βH,i的值越小,表示因無知而引起的不確定信息越少,支持各評價等級的證據(jù)越多,模糊熵相應(yīng)減小。

3 本文方法

針對基于證據(jù)推理的不確定多屬性決策問題,對于基本屬性與廣義屬性評價集不一致的情況,首先對模糊決策信息進行信息技術(shù)轉(zhuǎn)化,實現(xiàn)從基本評價到廣義分布評價的統(tǒng)一形式。其次,本文開發(fā)一種適用于證據(jù)推理分布信度決策矩陣的改進模糊熵公式,能夠處理屬性權(quán)重完全未知以及屬性權(quán)重信息部分已知的兩種情況?；诟倪M模糊熵和證據(jù)推理的多屬性決策方法具體步驟如下。

步驟1 轉(zhuǎn)化決策信息,構(gòu)建信度決策矩陣。

證據(jù)推理決策框架采用分布式信度結(jié)構(gòu)表示,屬性值可以用決策者主觀定性評價表示,也可通過定量評估確定,最后轉(zhuǎn)換為統(tǒng)一的分布式信度結(jié)構(gòu)形式。在實際情形中,為了方便原始數(shù)據(jù)的收集,往往單獨為基礎(chǔ)屬性定義一組評價等級,因此存在基本屬性與廣義屬性評價集不完全一致的情況,需要對基本屬性分布評價進行等價變換。本文采用文獻[18]方法對單值、區(qū)間值、語言變量等屬性類型進行轉(zhuǎn)化。

步驟2 計算屬性權(quán)重。

當屬性權(quán)重信息完全未知時,基于信度框架下三角模糊熵和熵權(quán)法的基本思想計算屬性權(quán)重,計算方法如下:

(15)

當屬性權(quán)重信息部分已知時,定義加權(quán)模糊熵,建立線性規(guī)劃模型求解屬性權(quán)重,計算方法如下:

E(S(ei(ai)))=

(16)

模糊熵值越小,即屬性評價信息的模糊程度越小,從而決策確定性信息量越多,即方案越優(yōu)。由此需要綜合所有候選方案的模糊熵,令期望模糊熵取最小值,建立如下線性規(guī)劃模型:

(17)

步驟3 對方案進行證據(jù)融合,得到廣義分布評價。

使用證據(jù)推理信息融合算法,即利用式(1)～(12)可計算備選方案的廣義分布評價。

步驟4 計算方案效用值,根據(jù)方案平均效用值對方案進行排序,選擇最滿意方案。

在證據(jù)理論中,通常用以基本信度值βn為下界,以βn+βH為上界所構(gòu)成的區(qū)間值描述命題獲得的信度,即以[βn,βn+βH]作為方案ai在廣義屬性y下被評為等級Hn的信任區(qū)間。明顯地,若方案為完全評價,則區(qū)間信度退化為單值βn。

根據(jù)區(qū)間信度可定義方案ai的效用值。假設(shè)各等級的效用排序為u(H1)

(18)

(19)

(20)

對方案al和ak,若uavg(al)

4 實例分析

4.1 問題描述

某房地產(chǎn)經(jīng)營項目考慮三個備選方案a1、a2、a3,根據(jù)項目開發(fā)方案的經(jīng)濟效益、風(fēng)險程度、環(huán)境效益、社會效益四個基本屬性對項目進行綜合評價,選出最優(yōu)投資方案。四個屬性分別表示為E={e1,e2,e3,e4}。具體數(shù)值如表1所示。

表1 某房地產(chǎn)投資項目三個方案屬性Tab. 1 Attributes of three schemes for some real estate investment project

4.2 決策過程

步驟1 轉(zhuǎn)化決策信息,構(gòu)建信度決策矩陣。

參照文獻[18]的等價規(guī)則及分布評價等價規(guī)則,針對基本屬性分布評價與廣義屬性分布評價等級不一致的情況進行模糊轉(zhuǎn)化。如表2所示,信息轉(zhuǎn)化后的證據(jù)推理框架下信度決策矩陣記為Dg=(S(ei(al)))M×L。

表2 信度決策矩陣Tab. 2 Belief decision matrix

步驟2 計算屬性權(quán)重。

首先根據(jù)第2章提出的模糊熵公式計算各屬性模糊熵,計算結(jié)果如表3所示。

表3 屬性模糊熵Tab. 3 Fuzzy entropies of attributes

當屬性權(quán)重完全未知時,根據(jù)式(15)可確定最優(yōu)屬性權(quán)重向量為w*=(0.141 1,0.453 9,0.210 2,0.194 8)。

當屬性權(quán)重信息部分已知時,假設(shè)決策者給出不完全確定的屬性權(quán)重信息為0.2≤w1≤0.4,0.12≤w2≤0.3, 0.1≤w3≤0.25,0.1≤w4≤0.25。參照式(16)定義加權(quán)模糊熵,根據(jù)式(17)可建立如下線性模型:

minE(DM×L)=2.378w1+w2+2.073w3+2.142w4

s.t 0.25≤w1≤0.4

0.12≤w2≤0.3

0.1≤w3≤0.25

0.1≤w4≤0.25

w1+w2+w3+w4=1

通過求解上述線性規(guī)劃模型,可以得到最優(yōu)屬性權(quán)重為:

w*=(0.25,0.3,0.25,0.2)

步驟3 對方案進行證據(jù)融合,得到廣義分布評價。

當屬性權(quán)重完全未知時,可得廣義分布評價為:

S(y(a1))={(H1,0.578 4),(H2,0.113 4),

(H3,0.114 1),(H4,0.147 1),

(H5,0.047 0)}

S(y(a2))={(H1,0.121 3),(H2,0.150 8),

(H3,0.476 4),(H4,0.251 4)}

S(y(a3))={(H3,0.067 9),(H4,0.235 9),

(H5,0.696 2)}

當屬性權(quán)重部分信息已知時,廣義分布評價結(jié)果為:

S(y(a1))={(H1,0.353 2),(H2,0.156 0),

(H3,0.149 8),(H4,0.235 4),

(H5,0.105 7)}

S(y(a2))={(H1,0.165 6),(H2,0.253 0),

(H3,0.438 7),(H4,0.146 2)}

S(y(a3))={(H3,0.122 7),(H4,0.375 8),

(H5,0.501 5)}

步驟4 計算方案效用值,根據(jù)方案平均效用值對方案進行排序,選擇最滿意方案。

首先定義廣義評價集各等級效用值為u(H1)=0,u(H2)=0.25,u(H3)=0.5,u(H4)=0.75,u(H5)=1,在屬性權(quán)重完全未知的情況下,各方案效用值為:

umax(a1)=umin(a1)=uave(a1)=0.242 8

umax(a2)=umin(a2)=uave(a2)=0.464 5

umax(a3)=umin(a3)=uave(a3)=0.907 1

根據(jù)平均效用值的方案排序結(jié)果為a1a2a3,即a3為最佳投資方案。

在屬性權(quán)重部分信息已知的情況下,各方案效用值為:

umax(a1)=umin(a1)=uave(a1)=0.396 1

umax(a2)=umin(a2)=uave(a2)=0.389 6

umax(a3)=umin(a3)=uave(a3)=0.844 7

根據(jù)平均效用值的方案排序結(jié)果為a2a1a3,即a3為最佳投資方案。

4.3 比較分析

首先利用文獻[19]中提出的證據(jù)信息熵公式計算本文案例的權(quán)重結(jié)果,求得本文案例各方案屬性證據(jù)信息熵如表4所示。

表4 屬性證據(jù)信息熵Tab. 4 Evidence information entropies of attributes

文獻[19]只提出了屬性權(quán)重信息部分已知情況下的線性規(guī)劃求解方法,因此進一步計算得權(quán)重完全未知情況下的權(quán)重為w=(0.25,0.3,0.2,0.25)。證據(jù)融合后的廣義分布評價結(jié)果為:

S(y(a1))={(H1,0.340 6),(H2,0.121 3),

(H3,0.159 1),(H4,0.273 6),

(H5,0.105 4)}

S(y(a2))={(H1,0.141 6),(H2,0.238 8),

(H3,0.478 5),(H4,0.141 1)}

S(y(a3))={(H3,0.115 7),(H4,0.352 6),

(H5,0.531 7)}

各方案效用值為:

umax(a1)=umin(a1)=uave(a1)=0.420 5

umax(a2)=umin(a2)=uave(a2)=0.404 8

umax(a3)=umin(a3)=uave(a3)=0.854 0

根據(jù)平均效用值的方案排序結(jié)果為a2a1a3,即a3為最佳投資方案。

該方法與本文屬性權(quán)重部分信息已知情況下的排序結(jié)果相同,驗證了本文方法的有效性。但文獻[19]中的證據(jù)信息熵權(quán)重法只適用于屬性權(quán)重信息部分已知的情況,本文方法能夠同時處理屬性權(quán)重信息部分已知和屬性權(quán)重信息完全未知的兩種情況,適用范圍更廣。利用本文改進模糊熵公式確定權(quán)重時不僅考慮了信度決策矩陣的信任偏差度,且考慮了因無知而引起的不確定指數(shù),能最大限度地保留原始信息,因此本文方法更具優(yōu)越性。另外,再結(jié)合傳統(tǒng)熵權(quán)法[18]與主觀權(quán)重法[20]的排序結(jié)果進行比較分析,結(jié)果如表5所示。

表5 不同賦權(quán)法的結(jié)果比較Tab. 5 Comparative analysis of different weight methods

比較分析表5中五種不同賦權(quán)法產(chǎn)生的決策排序結(jié)果可知:首先,五種方法中的最佳方案均為a3,表明了本文方法的可行性和有效性。其次,當權(quán)重信息部分已知時,本文方法整體排序結(jié)果與文獻[20]中采用主觀估計法直接獲得權(quán)重的結(jié)果一致；當權(quán)重信息完全未知時,本文方法排序結(jié)果與文獻[18]中的采用傳統(tǒng)熵權(quán)法的權(quán)重獲取方法結(jié)果一致。當獲取權(quán)重考慮主觀因素時,次選方案為a1,屬性權(quán)重完全未知時,次選方案則為a2。兩種不同情況下排序結(jié)果的差異說明,當帶有主觀因素時,決策者可能更傾向于考慮投資方案的經(jīng)濟效益和風(fēng)險程度,而忽視投資對象的環(huán)境效益和社會效益,因此造成了主客觀情況下次選排序結(jié)果不一致的情況,這也說明了主、客觀方法對決策結(jié)果有著重要影響。

本文方法通過定義基于三角函數(shù)的模糊熵客觀地確定屬性權(quán)重,減少了決策者在決策過程中的主觀隨意性；同時,本文方法不僅能夠處理屬性權(quán)重完全未知的情況,還適用于在屬性權(quán)重信息部分已知的情況,更符合實際決策過程的需要。

5 結(jié)語

為解決證據(jù)推理方法應(yīng)用中屬性權(quán)重難以獲取的問題,本文提出一種基于改進模糊熵和證據(jù)推理的不確定多屬性決策方法,給出了具體計算步驟和算例分析。所構(gòu)造的基于三角函數(shù)的改進模糊熵公式不僅體現(xiàn)了證據(jù)推理信度決策矩陣內(nèi)部的信任度偏差,且包含了因無知而引起的不確定性對決策的影響,從而能夠更充分地反映決策信息的差異性、不確定性及未知性程度,避免了有效決策信息的丟失,更具優(yōu)越性。更進一步,該方法可同時處理屬性權(quán)重信息部分已知和屬性權(quán)重信息完全未知兩種情況,更具一般性。實例表明,該方法能夠很好地適應(yīng)不確定環(huán)境下的基于證據(jù)推理方法的多屬性決策問題,客觀性較強,能夠運用到投資方案選擇、供應(yīng)商評估等實際管理問題中。