換元積分法方法研究與總結(jié)

張紅，馮馳

摘 要：換元積分法是不定積分教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)。文中詳細(xì)討論和總結(jié)了換元積分法的常用解題技巧，并實(shí)例分析。

關(guān)鍵詞：湊微分；拆微分

換元積分法（Integration By Substitution）是求積分的一種方法，主要通過(guò)引進(jìn)中間變量作變量替換使原式簡(jiǎn)易，從而來(lái)求較復(fù)雜的不定積分。它是由鏈?zhǔn)椒▌t和微積分基本定理推導(dǎo)而來(lái)的。

1 第一類換元法——湊微分法

Th1 若∫f（x）dx=F（x）+c，？準(zhǔn)（x）連續(xù)可導(dǎo)，則

∫f（？準(zhǔn)（x））？準(zhǔn)'（x）dx=F（？準(zhǔn)（x））+c。

常見微分湊法：

湊法1 f（ax+b）dx=■f（ax+b）d（ax+b）

湊法2 xk-1f（xk）dx=■f（xk）d（xk）

湊法3 f（sin x）cos xdx=f（sin x）dsin x

f（cos x）sin xdx=-f（sin x）dsin x

f（tgx）sec2 xdx=f（tgx）dtgx

f（ctgx）csc2 xdx=-f（ctgx）dctgx

湊法4 exf（ex）dx=f（ex）dex

湊法5 f（ln x）■=f（ln x）d ln x

湊法6

2 第二類換元法——拆微法

Th2 設(shè)x=？準(zhǔn)（t）是單調(diào)的可微函數(shù)，并且？準(zhǔn)（t）≠0，又f（？準(zhǔn)（t））？準(zhǔn)'（t）具有原函數(shù)，則有換元公式

常用代換有所謂無(wú)理代換，三角代換，雙曲代換，倒代換，萬(wàn)能代換，Euler代換等。我們著重介紹三角代換和無(wú)理代換。

2.1 三角代換

（1）正弦代換： 正弦代換簡(jiǎn)稱為“弦換”。是針對(duì)型如■（a>0）的根式施行的，目的是去掉根號(hào)。方法：令x=asint，（a>0），■=acost，dx=a costdt，t=arcsin■。

（2）正切代換：正切代換簡(jiǎn)稱為“切換”。是針對(duì)型如■（a>0）的根式施行的，目的是去掉根號(hào)。方法是：利用三角公式sec2t-tg2t=1即tg2t+1=sec2t令x=atgt，（a>0），■=asect，t=arctg■，dx=a sec2tdt，變量變換時(shí)，常用輔助三角形法。

（3）正割代換：正割代換簡(jiǎn)稱為“割換”。是針對(duì)型如■（a>0）的根式施行的，目的是去掉根號(hào)。方法是：利用三角公式sec2t-tg2t=1令x=asect，（a>0），■=atgt，dx=asect·tgtdt。變量變換時(shí)，常用輔助三角形法。

2.2 無(wú)理代換

若被積函數(shù)是■，■…■ 的有理式時(shí)，設(shè)n為ni（l？燮ni？燮k）的最小公倍數(shù)，作代換x=tn，dx=ntn-1dt，t=■，可化被積函數(shù)為t的有理函數(shù)。

若被積函數(shù)中只有一種根式■或■可試作代換t=■或t=■。從中解出x來(lái)。

2.3 雙曲代換：利用雙曲函數(shù)恒等式ch2x-sh2x=1，令x=asht，可去掉型如■的根。dx=achtdt?；?jiǎn)時(shí)常用到雙曲函數(shù)的一些恒等式，如：

2.4 倒代換：當(dāng)分母次數(shù)高于分子次數(shù)，且分子分母均為“因式”時(shí)，可試用倒代換x=■，dx=■dt。

2.5 萬(wàn)能代換：萬(wàn)能代換常用于三角函數(shù)有理式的積分令t=tg■，就有

3 例題

采用總結(jié)的解題技巧對(duì)下面例題給予解答。

（1）解：設(shè)x=■sec t并限制0

則

本題同時(shí)采用湊微分和拆微分，較為靈活地解決了不定積分問題。

4 小結(jié)

換元積分法是數(shù)學(xué)分析中求積分的重要方法。要求牢記換元積分公式和選取替換函數(shù)（或湊微分）的原則，并能恰當(dāng)?shù)剡x取替換函數(shù)（或湊微分），熟練地應(yīng)用換元積分公式，從而逐步達(dá)到快而準(zhǔn)的求出不定積分。

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