高中數(shù)學(xué)關(guān)于三角函數(shù)的解題策略

張 敏，劉偉華

（1.山西省大同市煤礦第一中學(xué)校，山西 大同；2.山西省大同市煤礦第二中學(xué)校，山西 大同）

一、數(shù)形結(jié)合

運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解答三角函數(shù)問題往往會(huì)達(dá)到事半功倍的效果。如在求函數(shù)的最值和周期問題時(shí)，可以通過畫出圖像，觀察圖像經(jīng)過的特殊點(diǎn)以及圖像的對(duì)稱性來解決問題。

（2015全國1卷12題）在平行四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，則AB的取值范圍是 （ ）

解析：這道題考查用數(shù)形結(jié)合思想和正余弦定理來解決問題。如下圖，延長BA，CD交于點(diǎn)E，當(dāng)A，D與E點(diǎn)重合時(shí)，AB最長。在三角形BCE中，∠C=∠B=75°，BC=2，根據(jù)正弦定理可得BEsin∠E=BCsin∠C，即BFsin75°=2sin30°，可解出由此得出AB的取值范圍為

二、轉(zhuǎn)化與化歸法

在三角函數(shù)中，可以根據(jù)題設(shè)，尤其是在求最值問題時(shí)，恰當(dāng)運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸思想，可以簡(jiǎn)化原題的結(jié)構(gòu)，從而提供簡(jiǎn)單快捷的解題思路，可以根據(jù)題型靈活運(yùn)用。

設(shè)t=cosx，t∈［0，1］，

所以f（x）的最大值是1

三、分類討論法

在三角函數(shù)中，有關(guān)三角函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性需要談?wù)?，三角函?shù)的最值問題有時(shí)候也需要討論。這是在高考數(shù)學(xué)三角函數(shù)問題解決中必須要掌握的一種方法。在分類討論中要保證分類科學(xué)，標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一，不重復(fù)不遺漏。

（1）求w的值

（2）討論f（x）在區(qū)間上的單調(diào)性

因?yàn)閒（x）最小正周期為π，且w＞0

所以 2x∈［0，π］

所以f（x）增區(qū)間是減區(qū)間是

四、方程思想

方程思想在三角函數(shù)部分的應(yīng)用非常廣泛。在求三角形面積等題型中都有所涉及。同學(xué)們要正確運(yùn)用方程解決問題，簡(jiǎn)化題干，找到突破口。同時(shí)還要注意總結(jié)，一種方法往往可以用來解決一類題型。

例：（2015新課標(biāo)2）ABC中，D是BC上的點(diǎn)，AD平分∠BAC，ABD面積是ADC面積的2倍。

（2）若AD=1求BD和AC的長

（2）因?yàn)镾△ABD·S△ADC=BD·DC，所以△ADC中，由余弦定理得AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB，AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos∠ADC。

AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.由（Ⅰ）知AB=2AC，所以AC=1在△ABD和

本題考查三角形面積公式，考查了利用余弦定理列方程式解決問題的能力。

總之，三角函數(shù)的解題策略多種多樣，除上述幾種常用方法外，還有特殊值法、對(duì)稱思想等，需要同學(xué)們?cè)谡莆占记傻幕A(chǔ)上進(jìn)行總結(jié)，針對(duì)不同的題型，運(yùn)用不同的解題方法，審題是關(guān)鍵的一步，一定要仔細(xì)分析題干，然后再動(dòng)筆。